Tənlikləri həll etmədən müəyyən edin: hansı tənliyin iki həqiqi kökü var və hər iki kökü mənfidir?
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Viyet teoremi
Əsas fikir
x² + px + q = 0 tənliyi üçün x₁ + x₂ = −p və x₁ · x₂ = q (Viyet teoremi). İşarəni üç addımda müəyyən edirik:
- D = p² − 4q < 0 olarsa, həqiqi kök yoxdur — işarədən danışmaq olmaz.
- Hasil q < 0 olarsa, köklər müxtəlif işarəlidir (bu halda D həmişə müsbətdir).
- Hasil q > 0 və D ≥ 0 olarsa, köklər eyni işarəlidir: cəm −p > 0 olanda hər ikisi müsbət, −p < 0 olanda hər ikisi mənfidir.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqHəll etmədən köklərin işarəsini müəyyən etmək
Hansı tənliyin iki mənfi həqiqi kökü var?
- Hər tənlik üçün D, hasil (q) və cəm (−p) hesablanır — cədvələ baxın.
- Hasili mənfi olan x² + 9x − 5 = 0 və x² − 3x − 5 = 0 tənliklərinin kökləri müxtəlif işarəlidir.
- x² + 3x + 5 = 0 tənliyində D = 9 − 20 = −11 < 0 — həqiqi kök yoxdur, cəm və hasilin işarəsinə baxmağın mənası yoxdur.
- x² − 9x + 5 = 0: D > 0, hasil 5 > 0, cəm 9 > 0 — hər iki kök müsbətdir.
- x² + 9x + 5 = 0: D = 81 − 20 = 61 > 0, hasil 5 > 0 (eyni işarə), cəm −9 < 0 — hər iki kök mənfidir.
- Cavab: x² + 9x + 5 = 0
İşarə cədvəli
| Tənlik | D | x₁ · x₂ | x₁ + x₂ | Nəticə |
|---|---|---|---|---|
| x² − 9x + 5 = 0 | 61 | 5 | 9 | ikisi də müsbət |
| x² + 3x + 5 = 0 | −11 | — | — | həqiqi kök yoxdur |
| x² + 9x − 5 = 0 | 101 | −5 | −9 | müxtəlif işarəli |
| x² − 3x − 5 = 0 | 29 | −5 | 3 | müxtəlif işarəli |
| x² + 9x + 5 = 0 | 61 | 5 | −9 | ikisi də mənfi |
x² + 9x + 5 = 0 tənliyinin kökləri ədəd oxunda
x² + 9x + 5 = 0: hasil müsbət olduğuna görə köklər eyni işarəli, cəm mənfi olduğuna görə hər ikisi sıfırdan soldadır (kök düsturu: x = (−9 ± √61)/2).
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Kök düsturu ilə: x = (−9 ± √61)/2. √61 ≈ 7,8 < 9 olduğundan hər iki ədəd mənfidir: təxminən −0,6 və −8,4.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- x² + 3x + 5 = 0Hasil müsbət, cəm mənfidir, amma D = 9 − 20 < 0 — həqiqi kökü yoxdur. İşarə qaydası yalnız həqiqi köklər olanda işləyir.
- x² − 9x + 5 = 0Köklər eyni işarəlidir (hasil 5 > 0), amma cəm 9 > 0 — hər ikisi müsbətdir.
- x² + 9x − 5 = 0Hasil −5 < 0 — köklər müxtəlif işarəlidir. Cəmin mənfi olması yalnız mənfi kökün modulca böyük olduğunu göstərir.
- x² − 3x − 5 = 0Hasil −5 < 0 — köklər müxtəlif işarəlidir.