Viyet teoremi

• 3.14
• 8-ci sinif
• Kvadrat tənliklər

Viyet teoremi

x² − 31x + 184 = 0 tənliyinin köklərini diskriminantsız tapmaq olarmı? Olar: əmsallar köklərin cəmini — 31 və hasilini — 184 artıq deyir. Cəmi 31, hasili 184 olan iki ədəd 8 və 23-dür.

Bu dərsdə

• köklərin cəmini və hasilini tənliyi həll etmədən əmsallardan yazacaq və bunun niyə doğru olduğunu kök düsturu ilə izah edəcəksən;
• kökləri seçmə üsulu ilə tapacaq, bir kökə görə digərini və naməlum əmsalı, köklərin ifadələrini və işarələrini müəyyən edəcəksən;
• tərs teoremlə verilmiş köklərə görə tənlik quracaq və həllini cəm və hasillə yoxlayacaqsan.

Əmsallardan köklərə: x² − 31x + 184 = 0

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Teorem
3. Ümumi tənlik
4. Hesabla
5. Tərs teorem
6. Diqqət
7. Cavabı yoxla
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

Köklər əmsallarla necə bağlıdır?

Yadına sal: birinci əmsalı 1 olan x² + px + q = 0 tənliyi çevrilmiş kvadrat tənlik adlanır; p — ikinci əmsal (x-in əmsalı), q — sərbəst hədddir. Aşağıdakı üç tənliyin köklərini kök düsturu ilə əvvəlcədən tapmışıq. İndi köklərin cəmini və hasilini hesablayıb əmsallarla müqayisə edək.

Üç həll olunmuş tənlik

Cədvəl dar ekranda yana sürüşür.

Hər sətirdə eyni şey görünür: köklərin cəmi x-in əmsalının əksinə (−p), hasili isə sərbəst həddə (q) bərabərdir. Üçüncü tənliyin kökləri irrasional olsa da, cəmdə √6-lar bir-birini silir, hasildə isə kvadratlar fərqi tam ədəd verir.

Dərslik də eyni sualı verir: «Oxşar xassə istənilən çevrilmiş tənlik üçün doğrudurmu?» Üç misal sübut deyil — ümumi isbat lazımdır.

2 · Teorem

Viyet teoremi və onun isbatı

Yadda saxla

Dərslikdəki ifadə: «Çevrilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə ikinci əmsala, köklərinin hasili isə sərbəst həddə bərabərdir.»

x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q

Teorem tənliyin həqiqi kökləri olduqda (D ≥ 0) işləyir, çünki onu kök düsturundan alırıq.

İsbat: kök düsturundan

Çevrilmiş tənliyin diskriminantı D = p² − 4q-dir və D ≥ 0 olsun. Kök düsturu:

x₁ = −p − √D2 / , x₂ = −p + √D2 /

Cəm Kəsrləri toplayanda −√D və +√D bir-birini silir:

x₁ + x₂ = −p − √D − p + √D2 / = −2p2 / = −p

Hasil Surətlərin hasili kvadratlar fərqidir: (a − b)(a + b) = a² − b².

x₁ · x₂ = (−p)² − (√D)²4 / = p² − D4 / = p² − p² + 4q4 / = q

İsbatın şəkli: √D-lər silinir

Başla Yenidən Yenidən

Cəmdə kökün «±» hissəsi itir, ona görə cəm yalnız p-dən asılıdır. Hasildə D = p² − 4q yerinə yazılır və yalnız q qalır.

3 · Ümumi tənlik

Birinci əmsal 1 deyilsə

Dərslikdə deyildiyi kimi, istənilən ax² + bx + c = 0 tənliyinin hər iki tərəfini a-ya bölməklə onu eynigüclü (eyni kökləri olan) çevrilmiş tənliklə əvəz edə bilərik:

x² + ba / x + ca / = 0⇒ x₁ + x₂ = −ba / , x₁ · x₂ = ca /

Nümunə 1a-ya bölməyi unutma

5x² + 8x − 4 = 0 tənliyinin köklərinin cəmini və hasilini tapın.

1. D D = 8² − 4 · 5 · (−4) = 64 + 80 = 144 > 0 — iki həqiqi kök var.
2. Cəm −ba / = −85 / = −1,6.
3. Hasil ca / = −45 / = −0,8.
4. Yoxlama: kök düsturu x = (−8 ± 12) : 10, yəni 0,4 və −2. 0,4 + (−2) = −1,6, 0,4 · (−2) = −0,8. x₁ + x₂ = −1,6; x₁ · x₂ = −0,8

D = 0: iki bərabər kök

x² + 6x + 9 = 0

x₁ = x₂ = −3. Cəm −6, hasil 9 — teorem burada da doğrudur. Dərslik: «D = 0 olan halda da Viyet teoremi öz qüvvəsində qalır».

D < 0: kök yoxdur

x² + x + 7 = 0

D = 1 − 28 = −27 < 0. Həqiqi kök yoxdursa, «köklərin cəmi −1, hasili 7» demək mənasızdır. Əvvəlcə D-ni yoxla.

4 · Hesabla

Teorem nəyə yarayır?

Teorem tənliyi həll etmədən dörd işi görür: kökləri tapmaq (seçmə üsulu), bir kökə görə digərini tapmaq, köklərin ifadələrini hesablamaq və köklərin işarəsini bilmək.

Nümunə 2Seçmə üsulu

x² + 5x − 24 = 0 tənliyinin köklərini seçmə üsulu ilə tapın.

1. x₁ + x₂ = −5, x₁ · x₂ = −24. Hasil mənfidir — köklər müxtəlif işarəlidir; cəm mənfidir — mənfi kökün modulu böyükdür.
2. Hasili −24 olan cütləri yazıb cəmlərinə baxırıq: −24-ün vuruqları Vuruqların cəmi 1 · (−24) −23 2 · (−12) −10 3 · (−8) −5 ✓ 4 · (−6) −2
3. Yoxlama: 3² + 5 · 3 − 24 = 0, (−8)² + 5 · (−8) − 24 = 64 − 40 − 24 = 0. x₁ = 3, x₂ = −8

Nümunə 3Bir kök məlumdur

4x² + bx − 6 = 0 tənliyinin köklərindən biri 2-dir. Digər kökü və b-ni tapın.

1. Hasil b məlum deyil, amma hasil məlumdur: x₁ · x₂ = ca / = −64 / = −32 / . Deməli, x₂ = −32 / : 2 = −34 / .
2. Cəm 2 + (−34 / ) = 54 / və bu, −b4 / -ə bərabərdir, ona görə b = −5.
3. Yoxlama: 4 · 2² − 5 · 2 − 6 = 16 − 10 − 6 = 0. x₂ = −0,75; b = −5

Nümunə 4Həll etmədən hesabla

x² − 5x − 7 = 0 tənliyinin kökləri x₁ və x₂-dir. a) x₁² + x₂²; b) (x₁ − x₂)²; c) x₁³ + x₂³ ifadələrinin qiymətini tapın.

1. D D = 25 + 28 = 53 > 0. Köklər irrasionaldır, onları tapmaq əvəzinə x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = −7 ilə işləyirik.
2. a) (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂², ona görə x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 25 − 2 · (−7) = 39.
3. b) (x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = 25 + 28 = 53. Deməli, köklərin fərqinin modulu √53-dür.
4. c) Kubların cəmi düsturu: x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² − x₁x₂ + x₂²) = 5 · (39 + 7) = 230. 39; 53; 230

Köklərin işarəsi — tənliyi həll etmədən

Əvvəlcə D ≥ 0 olduğunu yoxla. Sonra: hasil mənfidirsə, köklər müxtəlif işarəlidir; hasil müsbətdirsə, eyni işarəlidir və bu işarəni cəm göstərir. Qısa yol: q < 0 olanda D = p² − 4q > 0 həmişə doğrudur, çünki −4q müsbətdir.

Üç tənliyin kökləri ədəd oxunda

Təxmini qiymətlər yalnız şəkil üçündür; nəticəni cədvəldəki işarələr verir. c)-də kiçik kök sıfıra çox yaxındır, amma yenə soldadır.

5 · Tərs teorem

Köklərdən tənliyə

Viyet teoreminin tərsi

Dərslik: «m və n ədədlərinin cəmi −p-yə, hasili isə q-yə bərabər olarsa, bu ədədlər x² + px + q = 0 tənliyinin kökləridir.» Başqa sözlə, istənilən m və n ədədləri bu tənliyin kökləridir:

x² − (m + n)x + m · n = 0

Yoxlama: x = m yazanda m² − (m + n)m + mn = m² − m² − mn + mn = 0.

Nümunə 5Tam köklər

Kökləri 7 və −8 olan çevrilmiş kvadrat tənlik qurun.

1. Cəm 7 + (−8) = −1, deməli x-in əmsalı −(−1) = 1.
2. Hasil 7 · (−8) = −56 — sərbəst hədd. x² + x − 56 = 0

Nümunə 6Qoşma irrasional köklər

Kökləri 4 − √23 və 4 + √23 olan çevrilmiş kvadrat tənlik qurun.

1. Cəm √23-lər silinir: 4 + 4 = 8.
2. Hasil kvadratlar fərqi: (4 − √23)(4 + √23) = 16 − 23 = −7.
3. Yoxlama: D = 64 + 28 = 92 = 4 · 23, x = (8 ± 2√23) : 2 = 4 ± √23. x² − 8x − 7 = 0

6 · Diqqət

Beş tipik səhv

Səhvlərin çoxu işarədə və a-ya bölməkdədir. Hər cütdə əvvəl səhv düşüncə, sonra düzgün yol.

Cəmin işarəsi

Səhv

x² + 6x − 1 = 0: x₁ + x₂ = 6

Cəm ikinci əmsalın özü deyil.

Düz

x₁ + x₂ = −6

Cəm ikinci əmsalın əksidir: −p.

a-ya bölmək

Səhv

3x² − 8x − 2 = 0: cəm 8, hasil −2

Birinci əmsal 1 deyil, amma tənlik çevrilmiş kimi oxunub.

Düz

cəm 83 / , hasil −23 /

Həm cəmi, həm hasili a = 3-ə bölürük.

Kvadratların cəmi

Səhv

x² − 3x − 7 = 0: x₁² + x₂² = 3² = 9

(x₁ + x₂)² açılanda 2x₁x₂ həddi də var.

Düz

9 − 2 · (−7) = 23

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂.

Tərs teoremdə işarə

Səhv

köklər 8 və −1: x² + 7x − 8 = 0

Bu tənliyin kökləri −8 və 1-dir.

Düz

x² − 7x − 8 = 0

x-in əmsalı cəmin əksidir: −(8 − 1) = −7.

D-ni yoxlamamaq

Səhv

x² + 4x + 6 = 0: hər iki kök mənfidir

Cəm −4 < 0 və hasil 6 > 0 görülüb, amma kök olub-olmadığı yoxlanmayıb.

Düz

D = 4² − 4 · 6 = −8 < 0

Həqiqi kök yoxdur, işarədən danışmaq olmaz.

7 · Cavabı yoxla

Cəm və hasil — həllin yoxlanışı

Kök düsturu ilə həll edəndə işarə və kəsr səhvləri asan olur. Viyet teoremi cavabı yerinə yazmadan iki ədədlə yoxlamağa imkan verir.

Aysel və Murad 3x² + 7x + 2 = 0 tənliyini həll ediblər. Teoremə görə köklərin cəmi −73 / , hasili 23 / olmalıdır.

Murad hər iki kökün işarəsini dəyişib. Hasil bu səhvi tutmur — iki mənfi ədədin hasili ilə iki müsbət ədədin hasili eynidir; səhvi cəm tutur. Ona görə həmişə ikisini birlikdə yoxla.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Hər sualın altında həll var.

1. Asan x² − 8x − 9 = 0 tənliyinin köklərinin cəmi və hasili hansıdır? Cavab variantları cəm −8, hasil −9 cəm 8, hasil −9 cəm 8, hasil 9 cəm −9, hasil 8 Düzdür! Cəm −p = 8, hasil q = −9. Yox. Cəm ikinci əmsalın əksidir, hasil sərbəst həddin özüdür — işarəsi ilə birlikdə. Həllə bax q = −9 < 0, deməli D > 0 və iki həqiqi kök var. p = −8, ona görə x₁ + x₂ = 8; x₁ · x₂ = −9. «Cəm −8» — cəmdə işarə dəyişdirilməyib; «hasil 9» — hasilin işarəsi dəyişdirilib; «cəm −9, hasil 8» — rollar qarışıb.
2. Asan 4x² − 3x − 8 = 0 tənliyinin köklərinin hasili neçədir? Cavab variantları −8 −2 2 34 / Əla! c/a = −8 : 4 = −2. Yox. Birinci əmsal 4-dür: hasil c/a-dır, işarəsi saxlanır. Həllə bax c/a = −2 < 0 olduğundan D > 0 (D = 9 + 128 = 137). Hasil c/a = −8 : 4 = −2. «−8» — 4-ə bölünməyib; «2» — işarə itib; «3/4» — bu, köklərin cəmidir (−b/a).
3. Orta x² + 4x − 32 = 0 tənliyinin kökləri hansılardır? Cavab variantları −4 və 8 1 və −32 4 və −8 −4 və −8 Düzdür! 4 + (−8) = −4, 4 · (−8) = −32. Yox. Seçdiyin cütün həm cəmini (−4 olmalıdır), həm hasilini (−32) yoxla. Həllə bax Cəm −4, hasil −32: köklər müxtəlif işarəlidir, mənfi kökün modulu böyükdür. Cütlər: 1 · (−32) → −31, 2 · (−16) → −14, 4 · (−8) → −4 ✓. «−4 və 8» — cəmi 4 olur (işarələr yerini dəyişib); «1 və −32» — hasil düzdür, cəm yox; «−4 və −8» — hasili 32 olur.
4. Orta x² + px − 27 = 0 tənliyinin köklərindən biri 3-dür. p-ni tapın. Cavab variantları −9 −6 6 Düzdür! x₂ = −9, x₁ + x₂ = −6 = −p, p = 6. Yox. Əvvəl hasildən digər kökü tap, sonra cəmin əksini götür — sual p-ni soruşur. Həllə bax Hasil: 3 · x₂ = −27, x₂ = −9. Cəm: 3 + (−9) = −6 = −p, ona görə p = 6. Yoxlama: 9 + 18 − 27 = 0. «−9» — digər kökdə dayanılıb; «−6» — p cəmin özü sayılıb.
5. Çətin x² − 3x − 9 = 0 tənliyinin kökləri x₁ və x₂-dir. x₁² + x₂² neçədir? Cavab variantları 9 27 −9 Əla! 9 − 2 · (−9) = 27. Yox. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ — hasilin işarəsinə diqqət et. Həllə bax q < 0, deməli D > 0. x₁ + x₂ = 3, x₁x₂ = −9. x₁² + x₂² = 3² − 2 · (−9) = 9 + 18 = 27. «9» — (x₁ + x₂)² götürülüb, −2x₁x₂ unudulub; «−9» — +2x₁x₂ yazılıb.
6. Çətin Kökləri 3 − √6 və 3 + √6 olan çevrilmiş kvadrat tənlik hansıdır? Cavab variantları x² + 6x + 3 = 0 x² − 6x − 3 = 0 x² − 6x + 3 = 0 x² + 6x − 3 = 0 Düzdür! Cəm 6, hasil 9 − 6 = 3. Yox. x-in əmsalı cəmin əksidir; hasil kvadratlar fərqidir: 3² − (√6)². Həllə bax Cəm: 3 + 3 = 6, ona görə x-in əmsalı −6. Hasil: (3 − √6)(3 + √6) = 9 − 6 = 3. Tənlik x² − 6x + 3 = 0; yoxlama: D = 36 − 12 = 24, x = (6 ± 2√6) : 2 = 3 ± √6. «+6x» — cəmin işarəsi; «−3» — hasil 3 − 6 kimi hesablanıb.

9 · Yekun

Üç şeyi yadda saxla

• x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = qÜmumi tənlikdə −b/a və c/a. Teorem kök düsturundan gəlir, ona görə əvvəl D ≥ 0 olduğunu yoxla.
• Cəm və hasil kifayətdirKökləri seçmək, digər kökü və əmsalı tapmaq, x₁² + x₂² kimi ifadələri və köklərin işarəsini tənliyi həll etmədən bilmək olar.
• x² − (m + n)x + mn = 0Tərs teorem verilmiş köklərə görə tənlik qurur; həllini də cəm və hasillə yoxla.

Növbəti mövzu: 3.15 Kvadrat tənliyə gətirilən tənliklər

Mənbə: «Riyaziyyat» — 8-ci sinif üçün dərslik, «Viyet teoremi», səh. 63–65 (teorem, isbat, ümumi tənlik, D = 0 halı, seçmə üsulu, tərs teorem). Tipik səhvlər DİM-in «Test toplusu» (2023, 2025) və «Güvən» tapşırıqlar toplusundakı tapşırıq növlərinə əsaslanır. Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.