Tənliklər sistemi: yağışlı axşamda dəniz döyüşü

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: noyabr axşamıdır, çöldə yağış pəncərəni döyür. Doqquzuncu sinif şagirdləri Gülay və onun əmisi oğlu Tofiq çay içib damalı dəftərlərini açırlar: «Dəniz döyüşü» oynayacaqlar. Hər biri öz dəftərində on xanaya on xanalıq meydan çəkib. Sütunları da, sətirləri də ədədlərlə nömrələyiblər. Gizli gəminin yeri iki ədədlə deyilir: birinci ədəd soldan neçənci sütun olduğunu, ikinci ədəd isə aşağıdan neçənci sətir olduğunu göstərir. Bu dəfə Gülay oyunu çətinləşdirir. Meydanında cəmi bir kiçik gəmi gizlədir, bir xanalıq. Tofiqə isə kağızda ipucu verir: «Gəminin sütun nömrəsi iksdir, sətir nömrəsi iqrekdir. Birinci tənlik: iks vur iqrek bərabərdir on səkkiz. İkinci tənlik: iqrek bərabərdir iks üstəgəl yeddi. Gəmi hər iki tənliyin ödəndiyi xanadadır.» Tofiq bir anda hesablayır: «Doqquzu ikiyə vursaq, on səkkiz alınır! Doqquzuncu sütun, ikinci sətir. Atəş!» Gülay gülümsəyir: «Boşdur.» Tofiq təəccüblənir: «Necə boş? Hasil düz on səkkizdir!» Bəs Tofiq harada səhv etdi? Gəmi hansı xanadadır? Və bir sual da: belə ipucuna uyğun yer cəmi bir dənədirmi? Gəlin birlikdə araşdıraq. Salam! Bu, doqquzuncu sinif riyaziyyatından dinləmə dərsidir və mövzumuz tənliklər sistemidir. Yeddinci sinifdə siz xətti tənliklər sistemi ilə tanış olmusunuz. Bu gün daha geniş baxacağıq: tənlikdə kvadrat da, dəyişənlərin hasili də ola bilər. Əvvəl ikidəyişənli tənliyin həllini, sonra tənliyin dərəcəsini öyrənəcəyik. Ardınca belə tənliyin qrafikinə baxacağıq, sonra tənliklər sistemi və onun həlli haqqında danışacağıq. Sonda isə verilmiş həlldən tənlikdəki naməlum ədədi tapacağıq. Həlləri tapmaq üsulları növbəti dərslərdədir, bu günün əsas bacarığı yoxlamaqdır. Yol boyu sizə suallar verəcəyəm: qısa fasilə olacaq, cavabı ağılda tapın, sonra birlikdə yoxlayaq. Birinci fəsil: ikidəyişənli tənlik və onun həlli. Gülayın hər iki tənliyində iki dəyişən var: iks və iqrek. Belə tənliyə ikidəyişənli tənlik deyilir. Belə tənliyin həlli bir ədəd deyil, ədədlər cütüdür: iks üçün bir qiymət, iqrek üçün bir qiymət. Dərslik belə deyir: cüt tənliyi doğru ədədi bərabərliyə çevirirsə, o, tənliyin həllidir. Cütü mötərizədə yazırıq və həmişə eyni sıra ilə: birinci ədəd iksin, ikinci ədəd iqrekin qiymətidir. Bu dərsdə cütləri belə deyəcəyəm: məsələn, iks ikiyə, iqrek doqquza bərabər olanda. Gəlin birinci tənliyə baxaq: iks vur iqrek bərabərdir on səkkiz. İks ikiyə, iqrek doqquza bərabər olanda hasil on səkkizdir, deməli, bu cüt həlldir. İks birə, iqrek on səkkizə bərabər olanda da həlldir. İks yarıma bərabər olanda iqrek otuz altı olmalıdır, yenə həll. Əslində iksə sıfırdan başqa istənilən qiymət verin, ona uyğun iqrek də tapılacaq. Deməli, ikidəyişənli tənliyin adətən sonsuz sayda həlli olur. Tofiq məhz buna görə tələsdi: birinci tənliyə uyğun xana çoxdur. İndi sıra məsələsi. İks ikiyə, iqrek doqquza bərabər olanda və iks doqquza, iqrek ikiyə bərabər olanda: hər iki cüt birinci tənliyi ödəyir, çünki vurmada vuruqların yerini dəyişmək hasili dəyişmir. Amma bunlar fərqli cütlərdir və meydanda fərqli xanalardır: biri ikinci sütun, doqquzuncu sətir, digəri doqquzuncu sütun, ikinci sətir. Çox tənlikdə isə sıra hətta cavabı dəyişir. Məsələn, iqrek bərabərdir iks kvadrat üstəgəl iks. İks üçə, iqrek on ikiyə bərabər olanda: üçün kvadratı doqquzdur, doqquza üçü əlavə etsək, on iki alınır. Cüt həlldir. Yerlərini dəyişək: iks on ikiyə, iqrek üçə bərabər olanda. On ikinin kvadratı çox böyük ədəddir, üç alınmaz. Bu cüt həll deyil. Sizin növbənizdir. Elə həmin tənlik: iqrek bərabərdir iks kvadrat üstəgəl iks. İks mənfi dördə, iqrek on ikiyə bərabər olanda bu cüt tənliyin həllidirmi? Diqqət: iks mənfidir. Mənfi dördün kvadratı müsbət on altıdır. On altıya mənfi dördü əlavə edirik, yəni on altıdan dördü çıxırıq: on iki alınır. Bəli, bu cüt də həlldir. Tələ buradadır: mənfi ədədin kvadratı həmişə müsbətdir. Maraqlıdır ki, iks üçə və iks mənfi dördə bərabər olanda iqrek eyni çıxır: on iki. İkinci fəsil: tənliyin dərəcəsi. Dərslikdəki qayda belədir: tənliyin sağ tərəfi sıfır, sol tərəfi standart şəkildə çoxhədli olarsa, bu çoxhədlinin dərəcəsi tənliyin dərəcəsidir. Hər həddin dərəcəsi isə həmin həddəki dəyişənlərin üstlərinin cəmidir. Gülayın birinci tənliyinə baxaq. On səkkizi sol tərəfə keçirək: iks vur iqrek çıx on səkkiz bərabərdir sıfır. İks vur iqrek həddində iks birinci dərəcədədir, iqrek də birinci dərəcədədir. Bir üstəgəl bir ikiyə bərabərdir. Deməli, bu tənlik ikidərəcəlidir, halbuki orada heç bir kvadrat görünmür. İkinci tənlik isə birdərəcəlidir: orada iks də, iqrek də yalnız birinci dərəcədədir. Bir xəbərdarlıq: dərəcəni tənliyin görünüşünə görə demək olmaz. Əvvəl bütün hədləri bir tərəfə keçirin və oxşar hədləri islah edin. Bəzən iki tərəfdəki kvadratlar bir-birini yox edir və dərəcə kiçilir. Bunu oxu dərsində addım-addım görəcəksiniz. İndi siz deyin: iks kvadrat vur iqrek kvadrat bərabərdir doqquz. Bu tənliyin dərəcəsi neçədir? Hədd bir dənədir: iks kvadrat vur iqrek kvadrat. İksin üstü ikidir, iqrekin üstü də ikidir. İkiyə ikini əlavə etsək, dörd alınır. Deməli, tənlik dördüncü dərəcəlidir. Tələsən adam «iki» deyə bilər, amma bir həddin içində üstlər toplanır. Üçüncü fəsil: tənliyin qrafiki. Hər həll cütünü koordinat müstəvisində bir nöqtə kimi göstərmək olar: birinci ədəd üfüqi ox boyunca, ikinci ədəd şaquli ox boyunca. Gülayın dəftərindəki meydan da elə budur: sütun iksdir, sətir iqrekdir. Dərslik deyir: tənliyin qrafiki koordinatları onun həlləri olan nöqtələr çoxluğudur. Təsəvvür edin ki, Gülay birinci tənliyin bütün həllərini nöqtə ilə qeyd edir. İks ikiyə, iqrek doqquza bərabər olan nöqtə yuxarıdadır, iks doqquza, iqrek ikiyə bərabər olan nöqtə isə sağda, aşağıdadır. Aralarında saysız nöqtə var və onlar hamar bir əyri xətt əmələ gətirir. Bu, səkkizinci sinifdən tanış olan hiperboladır. İkinci tənliyin nöqtələri isə düz xətt boyunca düzülür: iks bir vahid artanda iqrek də bir vahid artır. Başqa tənliklər başqa xətlər verir. İqrek bərabərdir iks kvadrat üstəgəl iks tənliyinin qrafiki parabola olur. İks kvadrat üstəgəl iqrek kvadrat bərabərdir qırx doqquz tənliyinin qrafiki isə çevrədir: Pifaqor teoreminə görə bu nöqtələrin hamısı koordinat başlanğıcından yeddi vahid uzaqdadır. İki qəribə hal da var. Kvadrat heç vaxt mənfi olmur. Buna görə iks çıx dörd ifadəsinin kvadratı ilə iqrek çıx bir ifadəsinin kvadratının cəmi sıfıra bərabərdirsə, hər iki kvadrat sıfır olmalıdır. Yeganə həll: iks dördə, iqrek birə bərabər olanda. Belə tənliyin qrafiki cəmi bir nöqtədir. Sınayın: iks kvadrat üstəgəl iqrek kvadrat bərabərdir mənfi doqquz. Bu tənliyin qrafikində neçə nöqtə var? Heç bir nöqtə yoxdur. İki kvadratın cəmi sıfır və ya müsbət olur, mənfi doqquz ola bilməz. Bu tənliyin həlli yoxdur, qrafiki boş çoxluqdur. Beləliklə, ikidəyişənli tənliyin qrafiki düz xətt, parabola, çevrə və ya hiperbola ola bilər, bəzən isə cəmi bir nöqtə və ya heç nə. Dördüncü fəsil: tənliklər sistemi. Gülayın ipucunda iki tənlik var və gəmi hər ikisini ödəyən xanadadır. Dərslik bunu belə deyir: bir neçə tənliyin hər birini ödəyən həlli tapmaq tələb olunanda tənliklər fiqurlu mötərizə ilə birgə yazılır və onlara tənliklər sistemi deyilir. Sistemin hər tənliyini ödəyən cütə sistemin həlli, belə cütlərin çoxluğuna isə sistemin həllər çoxluğu deyilir. Açar söz «hər biri»dir: bir tənliyi ödəmək kifayət deyil. İndi Tofiqin atəşini yoxlayaq: iks doqquza, iqrek ikiyə bərabər olanda. Birinci tənlik: doqquzu ikiyə vursaq, on səkkiz alınır. Ödəyir. İkinci tənlik: iqrek iks üstəgəl yeddiyə bərabər olmalıdır. Doqquza yeddini əlavə etsək, on altı alınır, iqrek isə ikidir. Ödəmir. Deməli, bu cüt sistemin həlli deyil və xana boşdur. Tofiq bu dəfə birinci tənliyin həllərini bir-bir ikinci tənlikdə yoxlayır və iks ikiyə, iqrek doqquza bərabər olan xananı seçir. Birinci tənlik: ikini doqquza vursaq, on səkkiz alınır. İkinci tənlik: ikiyə yeddini əlavə etsək, doqquz alınır. Hər ikisi ödənir. «Atəş!» «Vurdun!» deyir Gülay. Meydanda bu nöqtə hiperbolanın da, düz xəttin də üzərindədir: sistemin həlli hər iki qrafikin ortaq nöqtəsidir. Sizin növbənizdir. Yeni sistem. Birinci tənlik: iqrek bərabərdir iks kvadrat üstəgəl iks. İkinci tənlik: iks üstəgəl iqrek bərabərdir on beş. İks üçə, iqrek on ikiyə bərabər olanda bu cüt sistemin həllidirmi? Bəs iks mənfi dördə, iqrek on ikiyə bərabər olanda? Birinci tənliyi artıq yoxlamışıq: hər iki cüt onu ödəyir. İndi ikinci tənlik. Üçə on ikini əlavə etsək, on beş alınır: birinci cüt sistemin həllidir. Mənfi dördə on ikini əlavə etsək, səkkiz alınır, on beş yox. Deməli, ikinci cüt yalnız birinci tənliyi ödəyir və sistemin həlli deyil. Beşinci fəsil: həlldən naməlum ədədə. Növbəti oyunda gəmini Tofiq gizlədir və ipucunu özü yazır. Gülay bir neçə atəşdən sonra gəmini vurur: o, iks dördə, iqrek doqquza bərabər olan xanada imiş. Bu vaxt çay stəkanı aşır və kartdakı bir ədəd pozulur. Birinci tənlik: iqrek bərabərdir iks kvadrat çıx pozulmuş ədəd. İkinci tənlik: iks üstəgəl iqrek bərabərdir on üç. Gəminin yerini bildiyimiz üçün pozulmuş ədədi bərpa etmək olar. Necə? Fikirləşin. Gəminin yeri sistemin həllidir, deməli, hər iki tənliyi ödəyir. Birinci tənlikdə iksin yerinə dörd, iqrekin yerinə doqquz yazaq: doqquz bərabərdir on altı çıx pozulmuş ədəd. On altıdan neçə çıxsaq, doqquz qalar? Yeddi. Pozulmuş ədəd yeddidir. İkinci tənliyi də yoxlayaq: dördə doqquzu əlavə etsək, on üç alınır. Hər şey uyğundur. Gəlin o yağışlı axşama qayıdaq. Tofiqin səhvi nə idi? O, yalnız birinci tənliyi yoxladı və sıranı nəzərə almadı. Doqquzuncu sütun, ikinci sətir ilə ikinci sütun, doqquzuncu sətir fərqli xanalardır. Oyunun sonunda Gülay daha bir sirr açır: «Mənim sistemimin daha bir həlli var, sadəcə meydana sığmır: iks mənfi doqquza, iqrek mənfi ikiyə bərabər olanda.» Yoxlayaq. İki mənfi ədədin hasili müsbətdir, yəni hasil on səkkizə bərabərdir. Mənfi doqquza yeddini əlavə etsək, nəticə mənfi ikidir. Hər iki tənlik ödənir. Deməli, bu sistemin həllər çoxluğunda ən azı iki cüt var. Başqa həll olub-olmadığını necə bilmək və həlləri təxminsiz necə tapmaq olar? Bunu növbəti dərslərdə öyrənəcəyik. Bugünkü dərsdən bir fikri yadda saxlayın: ikidəyişənli tənliyin həlli ədədlər cütüdür və cütdə sıra vacibdir: əvvəl iks, sonra iqrek. Bir tənliyin həlləri çox vaxt bütöv bir xətt əmələ gətirir, sistemin həlli isə bütün tənlikləri birlikdə ödəyən cütdür. Cütü yoxlayanda heç vaxt bir tənliklə kifayətlənməyin. Dərəcə və qrafik növləri ilə bağlı daha çox nümunəni oxu dərsində və videoda tapa bilərsiniz. Növbəti mövzuda bir tənliyi birdərəcəli, digəri ikidərəcəli olan sistemlərə keçəcəyik. Düşünmək üçün bir sual: iks səkkizə, iqrek on beşə bərabər olanda bu cüt Gülayın sisteminin hansı tənliyini ödəyir? Növbəti dərsə qədər, sağ olun!