İrrasional tənliklər: şam işığında tapmaca

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: noyabr axşamıdır, çöldə güclü yağış yağır. Ləman və onun əkiz qardaşı Vüsal mətbəxdə, masa arxasında dərs hazırlayırlar. İkisi də doqquzuncu sinifdə oxuyur. Birdən işıqlar sönür və bütün məhəllə qaranlığa qərq olur. Anaları şkafdan şam tapıb yandırır və masanın ortasına qoyur. Şam işığında nə yazmaq olur, nə də oxumaq. Ləman təklif edir: «Gəl ağılda tapmaca oynayaq. Hər şey başda olacaq.» Ləman başlayır: «Bir ədəd tutmuşam. Həmin ədədə on üç əlavə et və alınan cəmin kvadrat kökünü al. Mənim ədədimdən yeddi az olan ədəd alınacaq. Hansı ədədi tutmuşam?» Vüsal bir az fikirləşir. «Kök mane olur,» deyir, «ondan qurtulmaq lazımdır. Hər iki tərəfi kvadrata yüksəldirəm, kök yox olur və kvadrat tənlik alınır. Bu tənliyi həll edirəm və iki cavab tapıram: on iki və üç. Ya on iki tutmusan, ya da üç!» Ləman gülür: «Mən bir ədəd tutmuşam, iki yox. Bu ikisindən biri mənim tapmacama heç uyğun gəlmir.» Bəs hansı? Və o artıq cavab haradan gəldi? Bu suallar bizi bugünkü mövzuya, irrasional tənliklərə gətirir. Salam! Bu, doqquzuncu sinif riyaziyyatından dinləmə dərsidir, mövzumuz isə irrasional tənliklərdir. Siz kvadrat tənlikləri həll etməyi və kvadrat kökü bilirsiniz. Bu gün onları birləşdirəcəyik. Dərs dörd fəsildən ibarətdir. Əvvəl irrasional tənliyin nə olduğunu və onu hansı addımlarla həll etdiyimizi öyrənəcəyik. Sonra artıq cavabın haradan gəldiyini tapacağıq. Üçüncü fəsildə kvadrat kökün nə vaxt heç bir cavab vermədiyini, dördüncüdə isə dəyişən tənlikdə iki dəfə görünəndə nə etdiyimizi görəcəyik. Arada sizə suallar verəcəyəm: qısa fasilə olacaq, cavabı ağılda tapın, sonra birlikdə yoxlayaq. Birinci fəsil: irrasional tənlik nədir. Dərslik belə deyir: dəyişəni radikal işarəsi altında, yəni kök altında olan tənliklərə irrasional tənliklər deyilir. Dəyişən kəsr üstlü qüvvətdə olanda da tənlik irrasionaldır. Ləmanın tapmacası məhz belə tənlikdir. Tutulan ədədi iks adlandıraq və tənliyi bir dəfə yavaş-yavaş oxuyaq. Kökü həmişə belə oxuyacağam: əvvəl «kvadrat kök altında» deyəcəyəm, sonra kök altında nə varsa, kök bitəndə isə «kök altından çıxırıq» deyəcəyəm. Tənlik belədir: kvadrat kök altında iks üstəgəl on üç; kök altından çıxırıq; bərabərdir iks çıx yeddi. Belə tənliyi necə həll edirik? Kök bizə mane olur. Kvadrat kökü kvadrata yüksəltsək, kök yox olur və kök altındakı ifadə qalır. Buna görə hər iki tərəfi kvadrata yüksəldirik. Amma bundan əvvəl kök bir tərəfdə tək qalmalıdır. Dərslik bu addımları belə adlandırır: radikal təklənir, sonra kvadrata yüksəldilərək radikaldan azad edilir, sonra alınmış tənlik həll edilir. Və sonda dördüncü addım gəlir: yoxlama. Yadda saxlayın: təklə, kvadrata yüksəlt, həll et, yoxla. Təkləmənin nə demək olduğunu Vüsalın tapmacası ilə görək. Vüsal deyir: «İndi mənim növbəmdir. Ədədimdən üç çıx, kvadrat kökünü al, sonra iki əlavə et: altı alınır.» Burada kök tək deyil, yanında iki var. Ləman son addımı geri qaytarır: iki əlavə etmişik və altı alınıb, deməli, kökün özü dördə bərabərdir. İndi kök təkdir. İndi kvadrata yüksəldirik: ədəddən üç çıxanda on altı alınır. Deməli, ədəd on doqquzdur. Yoxlayaq: on doqquzdan üç çıxsaq, on altı qalır. On altının kvadrat kökü dörddür, dördə iki əlavə etsək, altı alınır. Tənlik ödənir. Bəs kökü təkləmədən dərhal kvadrata yüksəltsək? Bu halda «kök üstəgəl iki» ifadəsini kvadrata yüksəltməli olardıq. Cəmin kvadratı isə kvadratların cəmi deyil: arada iki misli hasil də yaranır və o hasildə kök yenə qalır. Yəni kökdən qurtula bilmirik. Buna görə əvvəl kökü təkləyirik. İkinci fəsil: artıq cavab haradan gəlir. Mətbəxə qayıdaq. Vüsalın iki namizədi var: on iki və üç. Tapmacanı hər biri ilə yoxlayaq. Əvvəl on iki. On ikiyə on üç əlavə etsək, iyirmi beş alınır. İyirmi beşin kvadrat kökü beşdir. İndi sağ tərəf: on ikidən yeddini çıxsaq, beş qalır. Beş beşə bərabərdir. Tənlik ödənir. İndi üç. Üçə on üç əlavə etsək, on altı alınır. On altının kvadrat kökü dörddür. Sağ tərəf: üçdən yeddini çıxsaq, mənfi dörd alınır. Sol tərəfdə dörd, sağ tərəfdə mənfi dörd. Dörd mənfi dördə bərabər deyil! Tənlik ödənmir. Deməli, Ləmanın ədədi on ikidir, üç isə artıq cavabdır. Bəs üç haradan gəldi? Kvadrata yüksəldəndə nə baş verdiyinə baxaq. Dördün kvadratı on altıdır. Mənfi dördün kvadratı da on altıdır. Kvadrat işarəni unudur: dördü də, mənfi dördü də eyni on altıya çevirir. Üç üçün tapmaca «dörd bərabərdir mənfi dörd» kimi yalan bərabərlik verirdi. Kvadrata yüksəldəndə isə bu bərabərlik «on altı bərabərdir on altı» oldu, yəni doğruya çevrildi. Belə yaranan namizədə artıq kök deyilir: o, kvadrata yüksəldilmiş tənliyi ödəyir, verilmiş tənliyi isə ödəmir. Dərslik bunu belə izah edir: cüt dərəcədən qüvvətə yüksəltmə aparıldıqda yeni tənlikdə dəyişənin mümkün qiymətləri çoxluğu genişlənə bilər. Buna görə alınmış köklərin verilmiş tənliyi ödəyib-ödəmədiyini yoxlamaq lazımdır. Yəni yoxlama burada nəzakət deyil, həllin bir hissəsidir. Qısa yol da var. Bərabərliyin sağ tərəfi kvadrat kökə bərabərdir, kvadrat kök isə mənfi olmur. Deməli, iks çıx yeddi mənfi ola bilməz, yəni ədəd yeddidən kiçik ola bilməz. Üç yeddidən kiçikdir, ona görə hesablamadan atılır. Sizin növbənizdir. İndi Vüsal tapmaca qurur: «Ədədimə otuz bir əlavə et, kvadrat kökünü al: ədədimdən on bir az olan ədəd alınacaq.» Ləman kvadrata yüksəldir və iki namizəd tapır: on səkkiz və beş. Hansı Vüsalın ədədidir? Hər birini yoxlayın. On səkkizlə başlayaq. On səkkizə otuz bir əlavə etsək, qırx doqquz alınır, qırx doqquzun kvadrat kökü yeddidir. On səkkizdən on biri çıxsaq da, yeddi qalır. Tənlik ödənir. İndi beş. Beşə otuz bir əlavə etsək, otuz altı alınır, kvadrat kökü altıdır. Beşdən on biri çıxsaq, mənfi altı alınır. Altı mənfi altıya bərabər deyil. Vüsalın ədədi on səkkizdir, beş isə artıq kökdür. Qısa yol da eyni şeyi deyir: ədəd on birdən kiçik ola bilməz, beş isə kiçikdir. Üçüncü fəsil: kvadrat kök mənfi ola bilməz. Şam titrəyir, yağış hələ də pəncərəyə döyür. Ləman yeni tapmaca deyir: «Ədədimə üç əlavə et, kvadrat kökünü al, sonra səkkiz də əlavə et: iki alınır.» Vüsal kökü təkləməyə başlayır və dayanır. Səkkiz əlavə etmişik və iki alınıb. Deməli, kökün özü ikidən səkkizi çıxanda alınan ədəddir, yəni mənfi altıdır. Amma dərslik deyir: hesabi kvadrat kök mənfi olmayan ədəddir. Kvadrat kök heç vaxt mənfi altı ola bilməz. Deməli, belə ədəd yoxdur: tənliyin kökü yoxdur, cavab boş çoxluqdur. Vüsal gülür: «Bu dəfə sən hiylə qurmusan!» Bəs biri bunu görməyib kvadrata yüksəltsə? Bu halda ədədlə üçün cəmi otuz altı olar, ədədin özü isə otuz üç. Yoxlayaq: otuz üçə üç əlavə etsək, otuz altı alınır, kvadrat kökü altıdır. Altıya səkkiz əlavə etsək, on dörd alınır, iki yox. Yoxlama da eyni hökmü verir. Bu qayda daha bir fikir verir: dəyişənin mümkün qiymətləri. Kvadrat kök altında mənfi ədəd də ola bilməz. Məsələn, ədəddən dörd çıxıb kvadrat kökünü alırıqsa, ədəd dörddən kiçik ola bilməz. Bəzən bu şərt tək başına göstərir ki, tənliyin kökü yoxdur, ya da hansı namizədin atılacağını əvvəlcədən deyir. Bəs kub kök necə? Ləman növbəti tapmacanı deyir: «Ədədimə dörd əlavə et və kub kökünü al: mənfi iki alınır.» Sual sizədir: bu tənliyin kökü varmı, yoxsa yenə boş çoxluqdur? Kökü var! Kub kök mənfi ola bilər. Məsələn, mənfi ikinin kubu mənfi səkkizdir. Deməli, ədəd üstəgəl dörd mənfi səkkizə bərabərdir və ədəd mənfi on ikidir. Yoxlayaq: mənfi on ikiyə dörd əlavə etsək, mənfi səkkiz alınır, onun kub kökü isə mənfi ikidir. Kuba yüksəldəndə işarə itmir. Buna görə kub kökdə artıq kökdən qorxmağa ehtiyac yoxdur. «Kvadrat kök mənfi ola bilməz» qaydası yalnız kvadrat kökə, yəni cüt dərəcəli kökə aiddir. Dördüncü fəsil: dəyişən həm kök altında, həm də kökdən kənarda olanda. Vüsal sonuncu tapmacasını deyir: «Ədədimdən öz kvadrat kökünü çıxsan, otuz qalır.» Burada eyni ədəd iki dəfə görünür: bir dəfə özü, bir dəfə də kök altında. Belə tənlikdə yeni dəyişən kömək edir. Ədədin kvadrat kökünü te hərfi ilə işarə edək. Kökün kvadratı ədədin özüdür, deməli, ədəd te-nin kvadratıdır. Tapmaca belə olur: te-nin kvadratından te-ni çıxanda otuz qalır. Bu, adi kvadrat tənlikdir və iki kökü var: altı və mənfi beş. Mənfi beş atılır, çünki kvadrat kök mənfi olmur. Deməli, te altıya bərabərdir, ədəd isə altının kvadratı, yəni otuz altıdır. Diqqət edin: cavab te deyil, ədədin özüdür. Yoxlayaq: otuz altının kvadrat kökü altıdır, otuz altıdan altını çıxsaq, otuz qalır. Dərslikdə bu yolun qohumu da var. Tənlikdə kök əvəzinə üstü üçdə bir olan qüvvət dura bilər. Yol eynidir: ifadəni kvadrat üçhədli kimi vuruqlara ayırırıq və hər vuruğu sıfıra bərabər edirik. Amma unutmayın: mənfi ədədlər üçün kəsr üstlü qüvvətə baxılmır. Buna görə belə qüvvətin mənfi ədədə bərabər olduğu vuruq heç bir cavab vermir. Tənlikdə iki kvadrat kök olanda da plan dəyişmir. Birini təkləyib kvadrata yüksəldirik. İkinci kök hələ qalırsa, onu da təkləyib bir dəfə də kvadrata yüksəldirik. Hər kvadrata yüksəltmə yeni artıq kök gətirə bilər, ona görə sonda yoxlama mütləqdir. Bu addımları oxu dərsində yazılı şəkildə görəcəksiniz. Belə tənliklər həyatda da çıxır: iki nöqtə arasındakı məsafə Pifaqor teoremi ilə kvadrat kök kimi yazılır və naməlum uzunluğu axtaranda irrasional tənlik alınır. Gəlin mətbəxə son dəfə baxaq. Birdən soyuducu uğuldayır və işıqlar yanır. Ləman cibindən kiçik bir kağız çıxarır: işıqlar sönməmişdən əvvəl ədədini oraya yazıbmış. Kağızda on iki yazılıb. Vüsal başını yelləyir: üç kvadrat tənliyi ödəyirdi, amma Ləmanın tapmacasını yox. Üç yoxlananda sol tərəf dörd, sağ tərəf mənfi dörd idi. Kvadrata yüksəldəndə ikisi də on altı oldu və yalan bərabərlik doğruya çevrildi. Artıq cavab məhz buradan gəlirdi. Bugünkü dərsdən bir fikri yadda saxlayın: kvadrat işarəni unudur, ona görə kvadrata yüksəldəndən sonra hər namizədi verilmiş tənlikdə yoxlayırıq. Plan dörd addımdır: təklə, kvadrata yüksəlt, həll et, yoxla. Kvadrat kök mənfi ola bilməz, kub kök isə ola bilər. Dəyişən həm kök altında, həm də kökdən kənarda olanda yeni dəyişən kömək edir. Növbəti mövzuda tənliklər sistemini öyrənəcəyik. Düşünmək üçün bir tapmaca: «Ədədimə iyirmi iki əlavə et, kvadrat kökünü al: ədədimdən səkkiz az olan ədəd alınacaq.» Hansı ədəd tutulub və hansı namizəd artıqdır? Növbəti dərsə qədər, sağ olun!