Kvadrat tənliklər: fəvvarədəki damcı və sıfır kökü

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: isti yay axşamıdır, şəhər parkındayıq. Meydançanın ortasında yerdən fəvvarə vurur. Su şırnağı düz yuxarı qalxır, bir anlıq havada dayanır və yenidən daş döşəməyə tökülür. Səkkizinci sinif şagirdi Mələk kiçik qardaşı Cavidlə fəvvarənin yanında dayanıb. Cavid şırnağa baxıb soruşur: «Bir damcı yuxarı qalxıb geri düşənə qədər nə qədər vaxt keçir?» Mələk telefonunda saniyəölçəni açır. Damcı ucluqdan çıxanda düyməni basır, geri düşəndə yenə basır. Bir neçə dəfə ölçürlər və hər dəfə eyni nəticə alınır: bir saniyədən bir az çox. Mələk fizikadan bir qaydanı xatırlayır. Havanın müqavimətini nəzərə almasaq və hesabı bir az sadələşdirsək, düz yuxarı vuran suyun hündürlüyünü belə tapmaq olar: keçən saniyələri sürətə vururuq, sonra saniyələrin kvadratının beş mislini çıxırıq. Tutaq ki, bu fəvvarədə su ucluqdan saniyədə yeddi metr sürətlə çıxır. Damcı ucluğa qayıdanda hündürlük sıfır olur. Mələk dəftərçəsinə yazır: yeddi t çıx beş t kvadrat bərabərdir sıfıra. Bir-iki sətirdən sonra Mələk iki cavab alır: sıfır və bir tam onda dörd. Cavid gülür: «Sıfır? Sıfırıncı saniyədə damcı hələ heç yerə uçmamışdı!» Mələk isə fikrə gedir. Hesabda səhv yoxdur. Bəs tənlik niyə iki cavab verdi və onlardan biri niyə məhz sıfırdır? Bu tənliyin adı nədir və Mələk onu bu qədər tez necə həll etdi? Cavablara dərsin sonunda qayıdacağıq. Salam! Bu dinləmə dərsində kvadrat tənliklərlə tanış olacağıq. Əvvəlcə kvadrat tənliyin nə olduğunu və hissələrinin adlarını öyrənəcəyik. Sonra istənilən kvadrat tənliyi standart şəklə, oradan da çevrilmiş şəklə gətirməyi görəcəyik. Ən sonda isə natamam kvadrat tənlikləri, yəni Mələyin tənliyi kimi bəzi hədləri olmayan tənlikləri həll etməyin üç yolunu öyrənəcəyik. Əvvəlcə bir addan başlayaq. Dərsliyimiz kvadrat tənliklər bölməsini əl-Xarəzminin xatirəsi ilə açır. Onu cəbrin atası adlandırırlar. Dərsliyin yazdığına görə, əl-Xarəzmi indiki Özbəkistanın Xivə şəhərində doğulub, doğum ili yeddi yüz səksən göstərilir. O, Bağdadda yaşayıb və cəbrə aid bilgiləri sistemləşdirib. «Cəbr» sözü onun «Əl-cəbr vəl-müqabələ» adlı əsərinin adından gəlir. Adı isə Avropa dillərində dəyişə-dəyişə «alqoritm» sözünə çevrilib. İndi Mələyin tənliyinə baxaq. Orada bir məchul var: keçən saniyələrin sayı. Bu məchul tənlikdə bir dəfə adi şəkildə, bir dəfə də kvadratda iştirak edir. Deməli, məchulun ən yüksək dərəcəsi ikidir. Belə tənliklərə kvadrat tənliklər deyilir. Əvvəllər həll etdiyimiz birməchullu xətti tənliklərdə isə məchul kvadratda olmurdu. Dərslik tərifi belə verir: a sıfırdan fərqli olmaqla, a iks kvadrat üstəgəl b iks üstəgəl c bərabərdir sıfıra şəklində olan tənliyə kvadrat tənlik deyilir. Burada a, b və c verilmiş ədədlərdir, iks isə məchuldur. Bu dərsdə səsləndirəcəyim yeganə ümumi düstur budur. Onu bir də sözlə deyək: bir tərəfdə məchulun kvadratı olan hədd, məchulun özü olan hədd və adi bir ədəd toplanır, o biri tərəfdə isə sıfır durur. Bəs a niyə sıfır olmamalıdır? Çünki a sıfır olsa, kvadratlı hədd yox olar və geriyə yalnız b iks üstəgəl c qalar. Bu isə artıq xətti tənlikdir. Eyni tələ başqa yerdə də gizlənir. Tənliyi sadələşdirəndə kvadratlı hədlər bir-birini silirsə, o, kvadrat tənlik deyil. Məxrəcində məchul olan tənlik də bu tərifə uyğun gəlmir. Ona görə tənliyi kvadrat adlandırmazdan əvvəl onu sadələşdirib yoxlamaq lazımdır. Üç ədədin öz adları var. a birinci əmsal, yaxud baş əmsal adlanır, b ikinci əmsal, c isə sərbəst hədd. Mələyin tənliyində məchul iks yox, t hərfidir, amma bunun fərqi yoxdur. Gəlin onu düzgün sıra ilə yazaq: əvvəl kvadratlı hədd, sonra t hərfli hədd, sonda adi ədəd. Onda birinci əmsal mənfi beşdir, ikinci əmsal yeddi, sərbəst hədd isə sıfır. Burada iki tipik səhv olur. Birincisi, əmsalları yazıldığı yerə görə seçmək. Mələyin dəftərində yeddi əvvəldə yazılıb, amma o, birinci əmsal deyil. Birinci əmsal həmişə məchulun kvadratının yanındakı ədəddir. İkincisi, işarəni unutmaq. Kvadratlı həddin qarşısında çıxma işarəsi var, ona görə birinci əmsal beş yox, mənfi beşdir. İşarə həmişə əmsalla birlikdə gedir. İndi ikinci addıma keçək: tənliyi standart şəklə gətirmək. Məsələdən gələn tənlik heç də həmişə hazır şəkildə olmur. Parkın o biri başında düzbucaqlı hovuz var. Tutaq ki, onun uzunluğu enindən üç metr çoxdur, sahəsi isə əlli dörd kvadrat metrdir. Eni iks metr götürək. Onda uzunluq iks üstəgəl üç metr olur, sahə isə enin uzunluğa hasilidir. Mötərizəni açaq. İks ilə iksin hasili iks kvadratdır, iks ilə üçün hasili isə üç iks. Deməli, iks kvadrat üstəgəl üç iks əlli dördə bərabərdir. İndi əlli dördü sol tərəfə keçirək ki, sağda sıfır qalsın. Keçirəndə onun işarəsi dəyişir: iks kvadrat üstəgəl üç iks çıx əlli dörd bərabərdir sıfıra. Bu, standart şəkildir. Birinci əmsal bir, ikinci əmsal üç, sərbəst hədd mənfi əlli dörd. Üç həddin hamısı olan belə tənlikləri həll etməyi növbəti dərslərdə öyrənəcəyik. Standart şəkildən sonra daha bir sadə addım var. Tənliyin hər iki tərəfini birinci əmsala bölsək, məchulun kvadratının qarşısında bir qalar. Belə tənliyə çevrilmiş kvadrat tənlik deyilir. Mələyin tənliyinə qayıdaq. Birinci əmsal mənfi beşdir, ona görə hər iki tərəfi mənfi beşə bölürük. Kvadratlı həddin əmsalı bir olur. Yeddini mənfi beşə böləndə mənfi bir tam onda dörd alınır. Sıfırı böləndə isə yenə sıfır qalır. Nəticədə t kvadrat çıx bir tam onda dörd t bərabərdir sıfıra. Bu iki tənlik eynigüclüdür, yəni onların kökləri eynidir. Bölmə kökləri dəyişmir, yalnız yazılışı sadələşdirir. Burada da tələ var. Mənfi beş yerinə sadəcə beşə bölsək, kvadratlı həddin qarşısında mənfi bir qalar və tənlik çevrilmiş olmaz. Birinci əmsal mənfidirsə, bölmə bütün işarələri dəyişir. Bir də unutmayın: bölürüksə, hər həddi bölürük, yalnız birini yox. İndi dərsin əsas hissəsinə, natamam kvadrat tənliklərə gəlirik. Kvadrat tənlikdə ikinci əmsal ilə sərbəst həddin heç olmasa biri sıfırdırsa, ona natamam kvadrat tənlik deyilir. Üç hal ola bilər: ikisi də sıfırdır, yalnız sərbəst hədd sıfırdır, ya da yalnız ikinci əmsal sıfırdır. Hər halın öz həll yolu var. Birinci hal ən sadəsidir: tənlikdə yalnız kvadratlı hədd qalır. Məsələn, səkkiz iks kvadrat bərabərdir sıfıra. Hər iki tərəfi səkkizə bölürük və iks kvadrat sıfıra bərabər olur. Hansı ədədin kvadratı sıfırdır? Yalnız sıfırın. Dərslik deyir ki, belə tənliyin iki kökü bərabərdir və ikisi də sıfırdır. Diqqət edin: bu, «kökü yoxdur» demək deyil. Sıfır tam hüquqlu kökdür. İkinci hal Mələyin tənliyidir: sərbəst hədd sıfırdır, ikinci əmsal isə sıfır deyil. Burada hər iki həddə məchul var, ona görə onu ortaq vuruq kimi mötərizədən kənara çıxarırıq. Mələk də belə etdi və iki vuruğun hasilini aldı: birinci vuruq t, ikinci vuruq yeddi çıx beş t. Hasil sıfırdırsa, vuruqlardan heç olmasa biri sıfırdır. Ya t sıfırdır, ya da yeddi çıx beş t sıfırdır. İkinci haldan beş t yeddiyə bərabər olur, t isə bir tam onda dörd. Buradan vacib bir nəticə alınır. Belə tənliyin həmişə iki kökü var və onlardan biri həmişə sıfırdır. İkinci kök ikinci əmsalın birinci əmsala nisbətidir, amma əks işarə ilə. Mələyin tənliyində yeddinin mənfi beşə nisbəti mənfi bir tam onda dörddür, əks işarəlisi isə bir tam onda dörd. Tipik səhv də burada olur: tələsən şagird tənliyin hər iki tərəfini məchula bölür və sıfır kökünü itirir. Məchula bölmək əvəzinə onu mötərizədən kənara çıxarın. Üçüncü halda ikinci əmsal sıfırdır, yəni məchul yalnız kvadratda iştirak edir. Burada sərbəst həddi o biri tərəfə keçirib birinci əmsala bölürük və iks kvadratın nəyə bərabər olduğunu tapırıq. Məsələn, beş iks kvadrat çıx otuz beş bərabərdir sıfıra. Otuz beşi sağa keçiririk və beşə bölürük: iks kvadrat yeddiyə bərabər olur. Kvadratı yeddi olan iki ədəd var. Biri yeddidən çıxarılan kvadrat kökdür, o biri isə onun əksi, yəni mənfi işarəli eyni kök. Köklər tam ədəd olmaya da bilər, amma onlar var. İndi siz düşünün. Üç iks kvadrat üstəgəl iki bərabərdir sıfıra. Bu tənliyin həqiqi kökü varmı? Hər hansı ədədin kvadratı heç vaxt mənfi olmur. Deməli, üç iks kvadrat ya sıfırdır, ya da müsbətdir. Ona iki əlavə edəndə nəticə ən azı iki olur. Sol tərəf heç vaxt sıfıra çata bilməz, ona görə bu tənliyin həqiqi kökü yoxdur. Bu iki misal bir qaydanı göstərir. Birinci əmsal ilə sərbəst hədd eyni işarəlidirsə, iks kvadrat mənfi ədədə bərabər alınır və həqiqi kök olmur. Onlar müxtəlif işarəlidirsə, iks kvadrat müsbət olur və tənliyin bir-birinin əksi olan iki kökü var. Burada tipik səhv yalnız müsbət kökü yazıb mənfisini unutmaqdır. İndi parka, fəvvarənin yanına qayıdaq. Mələyin tənliyi ikinci növ natamam tənlik idi, çünki onda sərbəst hədd sıfırdır. Bəs bu sıfır nəyi göstərir? Damcının başlanğıc hündürlüyünü. Damcı yolunu ucluğun özündən, sıfır hündürlükdən başlayır. Məhz buna görə tənliyin bir kökü sıfırdır. Tənlik yalnız bir sual verir: hündürlük nə vaxt sıfıra bərabərdir? Damcı üçün belə iki an var: ucluqdan ayrıldığı an, yəni sıfırıncı saniyə, və geri qayıtdığı an, bir tam onda dörd saniyə sonra. Cavid haqlı idi: sıfırıncı saniyədə damcı hələ uçmamışdı. Amma elə o anda ucluqda idi, hündürlüyü də sıfır idi. Tənlik iki doğru cavab verdi, lazım olanı isə məsələnin mənası seçir. «Damcı nə vaxt geri qayıdır?» sualının cavabı bir tam onda dörd saniyədir. Saniyəölçənin göstərdiyi «bir saniyədən bir az çox» da elə budur. Dərslikdə də buna oxşar bir sual var. Orada hündürlükdən düşən cisim haqqında soruşulur: bu məsələnin bir müsbət, bir mənfi cavabı var demək doğrudurmu? Tənliyin həqiqətən bir müsbət, bir mənfi kökü olur, amma məsələnin cavabı birdir, çünki zaman mənfi ola bilməz. Yəni kökləri tapmaq işin yarısıdır. O biri yarısı onları məsələnin mənası ilə yoxlamaqdır. Gəlin bir fikri yadda saxlayaq. Kvadrat tənlikdə məchulun ən yüksək dərəcəsi ikidir və birinci əmsal sıfır ola bilməz. Natamam tənlikləri tanımaq asandır. Yalnız kvadratlı hədd qalıbsa, hər iki kök sıfırdır. Sərbəst hədd yoxdursa, məchulu mötərizədən çıxarırıq və bir kök həmişə sıfır olur. İkinci əmsal yoxdursa, birinci əmsalla sərbəst həddin işarələrinə baxırıq. Addım-addım hesablamaları oxu dərsində və videoda görəcəksiniz. Növbəti dəfə fəvvarənin yanından keçəndə bir damcını izləyin və xatırlayın: sıfır da cavabdır. Sağ olun, növbəti dərsdə görüşənədək!