Qutu-qulp diaqramı

• 6.63
• 11-ci sinif
• Statistika

Qutu-qulp diaqramı

15 şagird məktəbə 6 dəqiqədən 44 dəqiqəyə qədər vaxt sərf edir. Bu uzun sıranı bir baxışda necə oxumaq olar? Cavab beş ədəddədir: 12, 18, 24 və iki kənar qiymət.

Bu dərsdə

• tək və cüt sayda məlumatın medianını və kvartillərini tapacaqsan;
• beş mühüm qiymətə görə qutu-qulp diaqramını quracaqsan;
• diaqramı şərh edəcək, kənaraçıxmanı yoxlayacaq və iki məlumatı müqayisə edəcəksən.

15 şagirdin məktəbə gəlmə vaxtı nöqtələrdən qutu-qulp diaqramına çevrilir

BaşlaYenidənYenidən

1. Kəşf et
2. Beş qiymət
3. Qur
4. Oxu
5. Kənaraçıxma
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Uzun sıranı yarıya bölürük

Sinifdə 15 şagirddən məktəbə gəlmək üçün neçə dəqiqə sərf etdiklərini soruşduq: 18, 6, 24, 12, 29, 15, 9, 21, 44, 14, 20, 11, 26, 17, 23.

Belə sıradan heç nə görünmür. Əvvəlcə onu artan sıra ilə düzürük. Xatırla: sıralanmış məlumatın ortasındakı ədəd mediandır; hədlərin sayı cüt olarsa, ortadakı iki ədədin ədədi ortasıdır.

1. 6
2. 9
3. 11
4. 12
5. 14
6. 15
7. 17
8. 18
9. 20
10. 21
11. 23
12. 24
13. 26
14. 29
15. 44

15 ədədin ortası 8-ci ədəddir: median 18. Mediandan soldakı 7 ədəd (mavi) aşağı yarımhissə, sağdakı 7 ədəd (yaşıl) yuxarı yarımhissədir. İndi hər yarımhissənin də ortasını tapsaq, sıra dörd hissəyə bölünəcək.

2 · Beş qiymət

Kvartillər və beş mühüm qiymət

Yadda saxla

Birinci kvartil Q₁ aşağı yarımhissənin medianıdır, üçüncü kvartil Q₃ yuxarı yarımhissənin medianıdır, median Q₂ isə bütün məlumatın medianıdır.

Qutu-qulp diaqramı beş qiymətə görə qurulur:

ən kiçik · Q₁ · Q₂ · Q₃ · ən böyük

Kvartillər fərqi Q₃ − Q₁ qutunun uzunluğudur.

Qutu-qulp diaqramının hissələri: sol qulp ən kiçik qiymətdən Q₁-ə, qutu Q₁-dən Q₃-ə, qutu içində median xətti, sağ qulp Q₃-dən ən böyük qiymətə

Qutu Q₁-dən Q₃-ə qədər çəkilir, median onu iki hissəyə bölür; qulplar ən kiçik qiymətdən Q₁-ə və Q₃-dən ən böyük qiymətə qədərdir.

Tək sayda hədd

Median sıranın tam ortasındakı ədəddir və heç bir yarımhissəyə daxil edilmir. 15 ədəddə yarımhissələr 7-şər ədəddir.

Cüt sayda hədd

Sıra iki bərabər yarıya bölünür; median ortadakı iki ədədin ortasıdır. 10 ədəddə yarımhissələr 5-ər ədəddir.

3 · Qur

Diaqramı addım-addım qururuq

Nümunə 1Tək sayda: 15 şagird

6, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 26, 29, 44 — beş mühüm qiyməti tapın.

1. Ən kiçik qiymət 6, ən böyük qiymət 44-dür.
2. Median 8-ci ədəddir: Q₂ = 18.
3. Aşağı yarımhissə 6, 9, 11, 12, 14, 15, 17; onun ortası 4-cü ədəddir: Q₁ = 12.
4. Yuxarı yarımhissə 20, 21, 23, 24, 26, 29, 44; ortası: Q₃ = 24.
5. Kvartillər fərqi: Q₃ − Q₁ = 24 − 12 = 12. 6 · 12 · 18 · 24 · 44

Qurma addımları: ox və bölgülər, beş nöqtə (6, 12, 18, 24, 44), 12-dən 24-ə qutu, 18-də median xətti, qulplar 6-ya və 44-ə qədər

Qurma addımları: 1) ox çəkilir; 2) məlumatın dəyişmə diapazonuna görə bölgülər qoyulur; 3) beş qiymət qeyd edilir; 4) Q₁-dən Q₃-ə qutu çəkilir və medianda bölünür; 5) ən kiçik qiymətdən Q₁-ə və Q₃-dən ən böyük qiymətə qulplar çəkilir.

BaşlaYenidənYenidən

Nümunə 2Cüt sayda: 10 şagird

10 şagirdin yayda oxuduğu kitabların sayı: 7, 3, 12, 4, 8, 6, 9, 4, 5, 8. Kvartilləri tapın.

1. Sıralayırıq: 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 12.
2. 10 cütdür: median 5-ci və 6-cı ədədlərin ortasıdır: (6 + 7) : 2 = 6,5.
3. Yarımhissələr 5-ər ədəddir: 3, 4, 4, 5, 6 və 7, 8, 8, 9, 12.
4. Onların ortaları: Q₁ = 4, Q₃ = 8; kvartillər fərqi 8 − 4 = 4. 3 · 4 · 6,5 · 8 · 12

Mavi — aşağı, yaşıl — yuxarı yarımhissə; median 6 ilə 7-nin arasına düşür:

1. 3
2. 4
3. 4
4. 5
5. 6
6. 7
7. 8
8. 8
9. 9
10. 12

4 · Oxu

Diaqram nə danışır?

Beş qiymət sıranı dörd hissəyə bölür və hər hissəyə qiymətlərin təxminən dörddə biri düşür. «Təxminən» deyirik, çünki təkrarlanan qiymətlər olanda hissələr dəqiq bərabər olmaya bilər.

Dörd hissə: 6–12, 12–18, 18–24, 24–44, hər biri təxminən 25%; qutu təxminən 50%, Q₃ − Q₁ = 12

Gəlmə vaxtları: hər mötərizədə şagirdlərin təxminən 25%-i var; qutuda — təxminən 50%-i.

Qutu

≈ 50%

Şagirdlərin təxminən yarısı 12–24 dəqiqəyə gəlir; bu aralığın genişliyi Q₃ − Q₁ = 12-dir.

Sol qulp

6–12

Ən tez gələn 25% bir-birinə yaxın vaxtlarla gəlir — qulp qısadır.

Sağ qulp

24–44

Ən gec gələn 25%-in vaxtları geniş aralığa səpələnib — qulp uzundur. Bu, orada daha çox şagird olması demək deyil.

5 · Kənaraçıxma

Çox uzaq qiyməti tanıyırıq

Qiymətlərin əksəriyyətindən böyük fərqlə ayrılan qiymət kənaraçıxma adlanır. Kvartillərə görə sərhədlər qəbul edilmiş qayda ilə tapılır:

Sərhəd qiymətlər

aşağı sərhəd:

Q₁ − 1,5·(Q₃ − Q₁)

yuxarı sərhəd:

Q₃ + 1,5·(Q₃ − Q₁)

Aşağı sərhəddən kiçik və ya yuxarı sərhəddən böyük qiymət kənaraçıxmadır; sərhədin özü kənaraçıxma sayılmır.

Nümunə 344 dəqiqə kənaraçıxmadırmı?

1. Q₃ − Q₁ = 24 − 12 = 12; 1,5 · 12 = 18.
2. Aşağı sərhəd: 12 − 18 = −6. Yuxarı sərhəd: 24 + 18 = 42.
3. 44 > 42, ona görə 44 bu məlumat üçün kənaraçıxmadır. 6 isə −6-dan böyükdür — kənaraçıxma deyil. 44 — kənaraçıxma

Sərhədlər −6 və 42; 44 yuxarı sərhəddən böyükdür, kənaraçıxmadır

Qırmızı qırıq xətlər sərhədlərdir; 44 (dairə içində) yuxarı sərhəddən kənardadır. Dərslikdə qulp yenə də ən böyük qiymətə qədər çəkilir.

6 · Diqqət

Tez-tez edilən səhvlər

Səhv

44 − 6 = 38

Bu, dəyişmə diapazonudur, kvartillər fərqi deyil.

Düzgün

24 − 12 = 12

Kvartillər fərqi yalnız qutunun uzunluğudur.

Səhv

18, 6, 24 … → Q₁?

Sıralanmamış məlumatdan kvartil götürmək olmaz.

Düzgün

6, 9, 11, 12 …

Əvvəl sırala, sonra medianı və yarımhissələri tap.

Uzun qulp ≠ çox qiymət. Hər qulpa qiymətlərin təxminən 25%-i düşür. Uzun qulp yalnız həmin qiymətlərin geniş yayıldığını göstərir. Q₁-dən kiçik qiymət də avtomatik kənaraçıxma deyil — sərhəd ayrıca hesablanır.

7 · Həyatda

Hansı avtobusu seçək?

İki marşrutda avtobus gözləmə vaxtı bir ay ərzində qeyd olunub. Diaqramlar ortaq ox üzərindədir, beş qiymət cədvəldədir.

İki marşrut: A 2, 5, 7, 9, 20; B 4, 6, 7, 8, 11 dəqiqə; medianlar eynidir, B-nin qutusu daha qısadır

A mavi, B narıncı: medianlar eynidir (7 dəq), B-nin qutusu və qulpları daha qısadır.

Beş mühüm qiymət, dəqiqə ilə

Tipik gözləmə hər ikisində 7 dəqiqədir. Lakin A-da kvartillər fərqi 9 − 5 = 4, B-də 8 − 6 = 2; diapazon A-da 18, B-də 7 dəqiqədir. Deməli, B daha proqnozlaşdırılandır: nə vaxt gəlsən, gözləmə vaxtı az dəyişir. Median «tipik» qiyməti, qutu və qulplar isə yayılmanı göstərir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Qutu-qulp diaqramında qutunun içindəki xətt nəyi göstərir? Cavab variantları ədədi ortanı medianı modanı Düzdür! Xətt sıranın ortasıdır — median. Yox. Qutunu bölən xətt sıradakı yerə görə tapılan ortadır. Həllə bax Qutunun içindəki xətt median Q₂-dir; ədədi orta və moda diaqramda göstərilmir.
2. Asan Q₁ = 14, Q₃ = 22 olarsa, kvartillər fərqi neçədir? Cavab variantları 36 18 8 Əla! 22 − 14 = 8. Yox. Kvartillər fərqi çıxma ilə tapılır: Q₃ − Q₁. Həllə bax Q₃ − Q₁ = 22 − 14 = 8 — qutunun uzunluğu.
3. Orta 2, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15 məlumatının üçüncü kvartili neçədir? Cavab variantları 12 11 13 Düzdür! (11 + 13) : 2 = 12. Yox. Yuxarı yarımhissə 9, 11, 13, 15-dir — onun ortadakı iki ədədinin ortasını tap. Həllə bax 8 ədəd var, yarımhissələr 4-ər ədəddir. Yuxarı yarımhissə 9, 11, 13, 15; Q₃ = (11 + 13) : 2 = 12.
4. Orta Q₁ = 20, Q₃ = 30 olan məlumatda hansı qiymət kənaraçıxmadır? Cavab variantları 44 47 6 Əla! Yuxarı sərhəd 45-dir, 47 > 45. Yox. Əvvəl sərhədləri tap: 20 − 15 və 30 + 15. Həllə bax Q₃ − Q₁ = 10, 1,5 · 10 = 15. Sərhədlər 5 və 45. 6 və 44 içəridədir, 47 > 45 kənaraçıxmadır.
5. Çətin İki qutu-qulp diaqramının medianı eynidir, amma A-nın qutusu B-nin qutusundan iki dəfə uzundur. Bu nə deməkdir? Cavab variantları A-da ortadakı yarı daha geniş yayılıb A-da daha çox qiymət var A-nın ədədi ortası böyükdür Düzdür! Qutunun uzunluğu Q₃ − Q₁ — ortadakı yarının genişliyidir. Yox. Qutunun uzunluğu qiymətlərin sayını yox, yayılmasını göstərir. Həllə bax Hər qutuda qiymətlərin təxminən 50%-i var. Uzun qutu həmin yarının daha geniş aralığa səpələndiyini göstərir; say və ədədi orta haqqında diaqram bunu demir.

Xülasə

Yadda qalanlar

• 5 qiymətən kiçik, Q₁, median, Q₃, ən böyük — sıranı təxminən dörd 25%-lik hissəyə bölür.
• Q₃ − Q₁Qutunun uzunluğu — ortadakı yarının yayılması; diapazonla qarışdırma.
• ±1,5 · (Q₃ − Q₁)Q₁-dən aşağı və ya Q₃-dən yuxarı bundan çox uzaqlaşan qiymət kənaraçıxmadır.

Növbəti mövzu: 6.64 Təsadüfi hadisələr və ehtimal

Mənbə: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, «Qutu-qulp diaqramı», səh. 274–277 (tərif, beş məlumat, qurma addımları, kənaraçıxma qaydası); median anlayışı: Ü. Adıgözəlov, Ş. Rəcəbov, «Riyaziyyat. Dərs vəsaiti və tapşırıqlar toplusu» (Güvən, 2024), səh. 406. Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.