Təsadüfi hadisələr və ehtimal

• 6.64
• 11-ci sinif
• Statistika və ehtimal

Təsadüfi hadisələr və ehtimal

Zər atılır, 6 düşmə ehtimalı 1/6-dır. Bəs kimsə «düşən xal cütdür» desə? İndi yalnız 2, 4, 6 qalır və şans 1/3-ə qalxır. Məlumat ehtimalı dəyişir — bu dərs bunun qaydalarıdır.

Bu dərsdə

• sınağın elementar hadisələr fəzasını yazıb klassik ehtimalı hesablayacaqsan;
• hadisələrin birləşməsi, kəsişməsi və tamamlayıcı hadisə ilə ehtimalları toplayacaqsan;
• şərti ehtimalı tapacaq, asılı və asılı olmayan hadisələrdə vurma qaydasını tətbiq edəcəksən.

Zərin altı nəticəsi və «cüt xal» şərti

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Klassik ehtimal
3. Hadisələr üzərində əməllər
4. İki zər
5. Şərti ehtimal
6. Asılılıq və vurma
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Sınaq, nəticə, hadisə

Zəri atmaq bir sınaqdır. Onun hər ayrılmayan nəticəsi — 1, 2, …, 6 xal — elementar hadisədir. Bütün elementar hadisələrin çoxluğu elementar hadisələr fəzası (sınaq fəzası) adlanır və U ilə işarə olunur: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Fəzanın istənilən alt çoxluğu bir hadisədir. Hadisə seç və hansı nəticələrin ona daxil olduğuna bax.

Hansı hadisə?

Cüt xal 4-dən böyük 7 xal 1-dən 6-ya qədər

Zərin altı üzü

Cüt xal: A = {2, 4, 6}. 6 nəticədən 3-ü əlverişlidir: P(A) = 3/6 = 1/2.

4-dən böyük: B = {5, 6}. P(B) = 2/6 = 1/3.

7 xal: heç bir nəticə uyğun gəlmir, hadisə boş çoxluqdur, Ø. Bu, mümkün olmayan hadisədir: P = 0.

1-dən 6-ya qədər: bütün nəticələr daxildir, hadisə U-nun özüdür. Bu, yəqin hadisədir: P = 1.

Hər hadisə nəticələrin çoxluğudur; ehtimalı əlverişli nəticələrin payıdır.

Fəzada n nəticə varsa, onun alt çoxluqlarının, yəni mümkün hadisələrin sayı 2n-dir: zər üçün 26 = 64 hadisə.

2 · Qayda

Klassik ehtimal

Yadda saxla

Elementar nəticələri eyniimkanlı olan sınaqda A hadisəsinin ehtimalı ona əlverişli nəticələrin sayının bütün nəticələrin sayına nisbətidir:

P(A) = əlverişli nəticələrbütün nəticələr /

«Eyniimkanlı» şərti vacibdir: düstur nəticələrin hər birinin eyni şansı olanda işləyir.

Sərhədlər

0 ≤ P(A) ≤ 1

Mümkün olmayan hadisə üçün 0, yəqin hadisə üçün 1.

Cəm

∑ P(Ei) = 1

Bütün elementar hadisələrin ehtimallarının cəmi 1-dir.

Tamamlayıcı hadisə

P(Ā) = 1 − P(A)

Ā — A-ya daxil olmayan bütün nəticələr («A baş vermədi»).

3 · Qayda

Hadisələr üzərində əməllər

Hadisələr çoxluq olduğu üçün onlar üzərində çoxluq əməlləri aparılır.

• Birləşmə A ∪ B — A və ya B-dən heç olmasa biri baş verir.
• Kəsişmə A ∩ B — həm A, həm B baş verir.
• Uyuşmayan hadisələr — ortaq nəticələri yoxdur: A ∩ B = Ø.

Birləşmənin ehtimalı

A və B toplananda kəsişmə iki dəfə sayılır, ona görə onu bir dəfə çıxırıq:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

− P(A ∩ B)

Uyuşmayan hadisələrdə kəsişmə boşdur: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Voleybol və basketbol: Venn diaqramı

V ∩ B — 6 şagird; onlar həm 18-ə, həm 12-yə daxildir.

Nümunə 1Heç birini oynamayan

30 şagirdlik sinifdə 18 nəfər voleybol, 12 nəfər basketbol oynayır, 6 nəfər isə hər ikisini oynayır. Təsadüfən seçilən şagirdin bu oyunlardan heç birini oynamaması ehtimalını tapın.

1. P(V) = 18/30, P(B) = 12/30, P(V ∩ B) = 6/30.
2. Heç olmasa birini oynayır: P(V ∪ B) = (18 + 12 − 6)/30 = 24/30.
3. «Heç biri» — birləşmənin tamamlayıcısıdır: 1 − 24/30 = 6/30. P = 1/5

4 · Hesabla

İki zər: 36 eyniimkanlı nəticə

İki zər atılanda nəticə nizamlı cütdür: (birinci zər; ikinci zər). (1; 6) ilə (6; 1) fərqli nəticələrdir. Cəmi 6 · 6 = 36 nəticə var və hamısı eyniimkanlıdır. Xalların cəmi isə eyniimkanlı deyil: cəm 2 bir yolla, cəm 7 altı yolla alınır.

İki zərin 36 nəticəsi və cəm 7

Başla Yenidən Yenidən

Cəm 7 diaqonalda altı dəfə gəlir — bütün cəmlər arasında ən çox.

Nümunə 2Cəm 7

İki zər atılır. Xalların cəminin 7 olması ehtimalını tapın.

1. Bütün nəticələr: 36.
2. Əlverişli cütlər: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) — 6 nəticə.
3. P = 6/36. P(cəm 7) = 1/6

Nümunə 3Heç olmasa bir 6

İki zər atılır. Heç olmasa bir zərdə 6 xal düşməsi ehtimalını tapın.

1. Tamamlayıcı hadisə: «heç bir zərdə 6 yoxdur». Hər zərdə 5 imkan qalır: 5 · 5 = 25 nəticə.
2. P(heç bir 6 yoxdur) = 25/36.
3. P = 1 − 25/36 = 11/36. Yoxlama: 6-lı sətir və sütunda 6 + 6 − 1 = 11 xana var. P = 11/36

5 · Qayda

Şərti ehtimal

Girişdəki suala qayıdaq. «Cüt xal düşdü» məlumatı fəzanı {2, 4, 6}-ya daraldır. Bu üç nəticə yenə eyniimkanlıdır, onlardan biri 6-dır: şans 1/3 olur.

Yadda saxla

B hadisəsinin baş verməsi şərti daxilində A-nın ehtimalına şərti ehtimal deyilir və P(A | B) kimi yazılır:

P(A | B) = P(A ∩ B)P(B) / , P(B) > 0

Buradan vurma qaydası alınır: P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B).

Zər üçün: P(6 ∩ cüt) = 1/6, P(cüt) = 1/2, deməli P(6 | cüt) = (1/6) : (1/2) = 1/3.

40 şagirdin seçdiyi dərnək

Nümunə 4Cədvəldən şərti ehtimal

İncəsənət dərnəyinə gedənlər arasından təsadüfən bir şagird seçilir. Onun qız olması ehtimalı nədir?

1. Şərt fəzanı incəsənət sütununa daraldır: 18 şagird (mavi sütun).
2. Onlardan qızlar: 12.
3. P(qız | incəsənət) = 12/18. Düsturla da: (12/40) : (18/40) = 12/18. P = 2/3

6 · Hesabla

Asılı və asılı olmayan hadisələr

Əgər P(A | B) = P(A), yəni B-nin baş verməsi A-nın ehtimalını dəyişmirsə, A və B asılı olmayan hadisələrdir. Onda vurma qaydası sadələşir: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). A və B asılı deyilsə, Ā ilə B də asılı deyil.

Asılı olmayan

1/2 · 1/6 = 1/12

Metal pul və zər birlikdə atılır: «gerb və 6». Pulun nəticəsi zərə təsir etmir.

Asılı

3/8 · 2/7 = 3/28

Torbadan kürə qaytarılmadan çıxarılır: birinci çəkiliş ikincinin tərkibini dəyişir.

Qaytarılmadan iki kürə: ehtimal ağacı

Birinci ağ kürə çıxandan sonra torbada 7 kürə, onlardan 2-si ağ qalır — ona görə ikinci budaqda 2/7 yazılıb.

Nümunə 5Qaytarılmadan və qaytarmaqla

Torbada 3 ağ və 5 qara kürə var. Ardıcıl iki kürə çıxarılır. Hər ikisinin ağ olması ehtimalını a) kürə qaytarılmadan; b) birinci kürə geri qaytarılmaqla tapın.

1. a) P(1-ci ağ) = 3/8. Sonra 7 kürədən 2-si ağdır: P(2-ci ağ | 1-ci ağ) = 2/7. Vurma qaydası: 3/8 · 2/7 = 6/56 = 3/28.
2. b) Kürə qaytarılırsa, tərkib dəyişmir və çəkilişlər asılı deyil: 3/8 · 3/8 = 9/64. a) 3/28 b) 9/64

7 · Diqqət

İki tipik qarışıqlıq

Səhv düşüncə

«Uyuşmayan» = «asılı olmayan»

Uyuşmayan hadisələr birlikdə baş vermir: biri baş verdisə, digərinin ehtimalı 0 olur. Deməli, ehtimalları müsbətdirsə, onlar asılıdır.

Düzgün

Uyuşmayan → toplayırıq; asılı olmayan → vururuq

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) uyuşmayanlar üçündür, P(A ∩ B) = P(A) · P(B) asılı olmayanlar üçün.

Səhv düşüncə

P(qız | incəsənət) = 12/20

12/20 — qızlar arasından incəsənətçi seçmək, yəni P(incəsənət | qız) = 3/5-dir.

Düzgün

P(qız | incəsənət) = 12/18 = 2/3

Şərtdəki hadisə məxrəcdədir. Birgə ehtimal isə başqadır: P(qız ∩ incəsənət) = 12/40 = 3/10.

8 · Həyatda

Keyfiyyət yoxlaması: «ən azı biri»

Zavodda hər detalın qüsurlu çıxma ehtimalı 0,05-dir və detallar bir-birindən asılı olmayaraq qüsurlu olur. Real istehsalda belə ehtimal çoxlu yoxlamaların tezliyindən təxmin edilir. Usta 4 detal götürür. Onlardan ən azı birinin qüsurlu olması ehtimalı nə qədərdir?

Dörd detal: tamamlayıcı hadisə

«Ən azı biri» hadisəsini birbaşa saymaq çətindir: 1, 2, 3 və ya 4 qüsurlu detal ola bilər. Tamamlayıcısı isə bir haldır.

P(hamısı qüsursuz) = 0,95⁴ ≈ 0,815P(ən azı biri qüsurlu) = 1 − 0,815 ≈ 0,185

Yəni təxminən hər beş yoxlamadan birində ən azı bir qüsurlu detal tapılacaq — tək detal üçün 5% az görünsə də.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Zər atılır. Düşən xalın 5-dən kiçik olması ehtimalı neçədir? Cavab variantları 5/6 2/3 1/2 Düzdür! {1, 2, 3, 4} — 4 nəticə: 4/6 = 2/3. Yox. «5-dən kiçik» 5-i daxil etmir: yalnız 1, 2, 3, 4. Həllə bax Əlverişli nəticələr 1, 2, 3, 4 — 4 dənə, bütün nəticələr 6: P = 4/6 = 2/3.
2. Asan P(A) = 0,35 olarsa, P(Ā) neçədir? Cavab variantları 0,35 1,35 0,65 Əla! 1 − 0,35 = 0,65. Yox. Ā — «A baş vermədi»: onun ehtimalı P(A)-nı 1-dən çıxmaqla tapılır və 0 ilə 1 arasında olur. Həllə bax P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − 0,35 = 0,65.
3. Orta A və B uyuşmayan hadisələrdir, P(A) = 0,5, P(B) = 0,3. P(A ∪ B) neçədir? Cavab variantları 0,8 0,15 0,65 Düzdür! Uyuşmayanlarda kəsişmə yoxdur: 0,5 + 0,3. Yox. Uyuşmayan hadisələr vurulmur, toplanır; kəsişmələri boşdur. Həllə bax A ∩ B = Ø, ona görə P(A ∪ B) = 0,5 + 0,3 = 0,8. 0,15 hasildir (asılı olmayanlar üçün), 0,65 isə hasili lazımsız yerə çıxmaqdır.
4. Orta Torbada 2 ağ və 3 qara kürə var. Qaytarılmadan iki kürə çıxarılır. Hər ikisinin qara olması ehtimalı neçədir? Cavab variantları 9/25 3/10 3/5 Əla! 3/5 · 2/4 = 3/10. Yox. Kürə qaytarılmır: ikinci çəkilişdə 4 kürə, onlardan 2-si qara qalır. Həllə bax P(1-ci qara) = 3/5, P(2-ci qara | 1-ci qara) = 2/4. Hasil: 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10. 9/25 qaytarmaqla olardı.
5. Çətin İki zər atılıb, xalların cəminin 10 olduğu məlumdur. Hər iki zərdə eyni xal düşməsi ehtimalı neçədir? Cavab variantları 1/36 1/2 1/3 Düzdür! Cəm 10: (4; 6), (5; 5), (6; 4) — eyni xal yalnız (5; 5). Yox. Şərt fəzanı cəmi 10 olan nizamlı cütlərə daraldır; (4; 6) və (6; 4) ayrı nəticədir. Həllə bax Şərt: cəm 10 → 3 nizamlı cüt. Onlardan biri (5; 5). P = 1/3. 1/36 şərtsiz P(5; 5)-dir, 1/2 isə nizamsız cütləri saymaqdan yaranır.

Xülasə

Yadda qalanlar

• P(A) = əlverişli / bütünYalnız eyniimkanlı nəticələrdə; 0 ≤ P(A) ≤ 1 və P(Ā) = 1 − P(A).
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)Uyuşmayan hadisələrdə kəsişmə boşdur və ehtimallar sadəcə toplanır.
• P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B)Şərt fəzanı daraldır; asılı olmayanlarda P(A | B) = P(A) və hasil P(A) · P(B) olur.

Növbəti mövzu: 6.65 İrrasional tənliklər və bərabərsizliklər

Mənbələr: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, «Təsadüfi hadisələr və ehtimal», səh. 278–283; Ü. Adıgözəlov, Ş. Rəcəbov, «Riyaziyyat. Dərs vəsaiti və tapşırıqlar toplusu» (Güvən, 2024), səh. 418–419; DİM, «Riyaziyyat. Test toplusu 2025, II hissə», ehtimal nəzəriyyəsi bölməsi. Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.