Xəta məsələləri. Mütləq xəta

• 2.50
• 7‑ci sinif
• Situa­siya məsə­lə­ləri

Xəta məsə­lə­ləri. Mütləq xəta

Xətkeşlə pozanın uzun­lu­ğunu ölçdün: 5,3 sm. Bu, onun dəqiq uzun­lu­ğu­durmu? Yox. Xətkeşin ən kiçik bölgüsü 0,1 sm‑dir, ona görə dəqiq uzunluq 5,2 sm ilə 5,4 sm arasında bir yerdədir. Ölçmə bir ədəd yox, bir aralıq verir.

Bu dərsdə

• ölçmənin niyə təqribi olduğunu izah edəcək, mütləq xətanı |a − x| kimi tapa­caq­san;
• a = x ± b yazı­lı­şını oxuyacaq və dəqiq qiymətin sər­həd­lə­rini tapa­caq­san;
• yol verilən xətanı yuvar­laq­laş­dır­mada, alətin şka­la­sında və təkrar ölç­mə­lərdə müəyyən edə­cək­sən.

Pozanın uzunluğu 5,3 sm ± 0,1 sm: dəqiq uzunluq 5,2 sm ilə 5,4 sm arasındadır

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Mütləq xəta
3. Yuvar­laq­laş­dırma
4. Alətin bölgüsü
5. Təkrar ölçmə
6. Hesabla
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Dəqiq qiymət harada ola bilər?

Hər ölçmədə alınan ədəd dəqiq qiy­mət­dən bir qədər fərq­lə­nir. Səbəb çoxdur: alətin şka­la­sında ən kiçik bölgü var və ondan kiçik hissəni görə bilmirik, göz cismin kənarını bölgü ilə tam bərabər tutmur, cismin kənarı da ideal düz deyil. Uzunluq, kütlə, həcm, sürət — hansı kəmiy­yəti ölçsək, nəticə təqribi olur.

Bir tele­fo­nun enini üç alətlə ölçək. Aləti seç: üst ox 6 sm‑dən 8 sm‑ə qədərdir, alt ox isə onun 7,1–7,3 sm his­sə­sini 10 dəfə böyüdür. Lime zolaq tele­fo­nun dəqiq eninin ola biləcəyi yerdir.

Zolaq labo­ra­to­ri­yasıtele­fo­nun eni, sm

Ölçü aləti

tikiş lenti xətkeş ştan­gen­pər­gar

Telefonun eni: dəqiq qiymətin zolağı alətə görə

• göstəriş (təqribi qiymət)
• dəqiq qiymət bu zolaq­da­dır
• böyü­dü­lən hissə

Alət

tikiş lenti

Bölgünün qiyməti

1 sm

Göstəriş

7 sm

Nəticə

7 sm ± 1 sm

Dəqiq en

6 sm ilə 8 sm arasında, uclar da daxil

Zolağın eni

2 sm, yəni iki bölgü

Alət

xətkeş

Bölgünün qiyməti

0,1 sm

Göstəriş

7,2 sm

Nəticə

7,2 sm ± 0,1 sm

Dəqiq en

7,1 sm ilə 7,3 sm arasında, uclar da daxil

Zolağın eni

0,2 sm, yəni iki bölgü

Alət

ştan­gen­pər­gar

Bölgünün qiyməti

0,01 sm (0,1 mm)

Göstəriş

7,18 sm

Nəticə

7,18 sm ± 0,01 sm

Dəqiq en

7,17 sm ilə 7,19 sm arasında, uclar da daxil

Zolağın eni

0,02 sm, yəni iki bölgü

Alətin bölgüsü nə qədər kiçik olsa, zolaq bir o qədər dar olur: burada hər addımda 10 dəfə. Amma zolaq heç vaxt bir nöqtəyə çev­ril­mir. Ən dəqiq alət də dəqiq qiyməti vermir, yalnız onun yerini daraldır.

2 · Qayda

Mütləq xəta və a = x ± b

Yadda saxla

Kəmiy­yə­tin dəqiq qiyməti a, təqribi qiyməti x olsun. Dəqiq qiymətlə təqribi qiymətin fərqinin moduluna təqribi qiymətin mütləq xətası deyilir:

mütləq xəta = |a − x|

Mütləq xəta təqribi qiymətin dəqiq qiy­mət­dən nə qədər fərq­lən­di­yini göstərir. Modul ona görədir ki, x dəqiq qiy­mət­dən böyük də ola bilər, kiçik də, xəta isə həmişə müsbət və ya sıfırdır.

Bəs a‑nı bil­mi­riksə, mütləq xətanı necə tapaq? Ölçmədə dəqiq qiymət adətən məlum olmur: elə onu bil­mə­di­yi­miz üçün ölçürük. Ona görə xətanın özünü yox, onun ən çox nə qədər ola bilə­cə­yini deyirik.

Yazılış

Mütləq xəta b‑dən çox deyilsə, dəqiq qiymət x‑dən hər iki tərəfə ən çox b qədər uzaqlaşa bilər:

|a − x| ≤ b ⇔ x − b ≤ a ≤ x + b

Bunu qısa yazırıq: a = x ± b. Dərs­likdə b yol verilən xəta adlanır. Məsələn, a = 5,3 ± 0,1 sm yazılışı 5,2 sm ≤ a ≤ 5,4 sm deməkdir.

a = x ± b ədəd oxunda

Başla Yenidən Yenidən

Mavi üçbucaq təqribi qiymət x, narıncı ölçü xətləri yol verilən xəta b, lime zolaq isə dəqiq qiymətin ola biləcəyi yerdir. Uclar doludur: dəqiq qiymət x − b və ya x + b də ola bilər.

Sərhəd də olar

|a − x| = b

Dəqiq qiymət zolağın ucunda da ola bilər. Ona görə ≤ yazırıq və uclar dolu çəkilir.

Nəticəni necə yazırıq

7,2 sm ± 0,1 sm

Əvvəl təqribi qiymət, sonra ± və yol verilən xəta. Vahidi unutma.

Dəqiq qiymət məlum olanda

|a − x|

Kütləsi əvvəl­cə­dən dəqiq bilinən etalon çəki ilə yox­la­yanda mütləq xətanı birbaşa hesab­la­yı­rıq (Nümunə 4).

3 · Yuvar­laq­laş­dırma

Yuvar­laq­laş­dır­ma­nın xətası

Ədədi yuvar­laq­laş­dı­randa da xəta yaranır. 3,684 ədədini onda birlərə qədər yuvar­laq­laş­dı­raq: 3,684 ≈ 3,7. Burada dəqiq qiymət 3,684, təqribi qiymət 3,7‑dir:

|3,684 − 3,7| = |−0,016| = 0,016

Bəs hansı ədədlər 3,7‑yə yuvar­laq­la­şır? 3,65‑dən baş­la­ya­raq 3,75‑ə qədər olanlar; 3,75‑in özü artıq 3,8 olur:

3,65 ≤ a < 3,75

3,7-yə yuvarlaqlaşan ədədlər: 3,65 ≤ a < 3,75

Zolaq­dakı hər ədəd 3,7‑yə yuvar­laq­la­şır və 3,7‑dən ən çox 0,05 uzaq­da­dır. Sol uc dolu, sağ uc boşdur.

Deməli, onda birlərə qədər yuvar­laq­laş­dı­randa mütləq xəta 0,05‑dən çox olmur, yəni o mər­tə­bə­nin vahi­di­nin yarı­sın­dan. Eyni qayda başqa mər­tə­bə­lərə də aiddir:

Yuvar­laq­laş­dır­ma­nın ən böyük xətası

Nümunə 1Üç mərtəbə

8,163 ədədini tək­lik­lərə, onda birlərə və yüzdə birlərə qədər yuvar­laq­laş­dı­rın. Hər dəfə mütləq xətanı tapın.

1. Tək­lik­lərə: onda birlər rəqəmi 1 < 5, ona görə 8,163 ≈ 8; |8,163 − 8| = 0,163.
2. Onda birlərə: yüzdə birlər rəqəmi 6 ≥ 5, ona görə 8,163 ≈ 8,2; |8,163 − 8,2| = 0,037.
3. Yüzdə birlərə: mində birlər rəqəmi 3 < 5, ona görə 8,163 ≈ 8,16; |8,163 − 8,16| = 0,003. 0,163; 0,037; 0,003

Hər xəta cəd­vəl­dəki sər­həd­dən kiçikdir: 0,163 < 0,5, 0,037 < 0,05, 0,003 < 0,005. Mərtəbə kiçil­dikcə xəta azalır.

4 · Alətin bölgüsü

Şkalanı oxu

Ölçü alətinin şkalası böl­gü­lər­dən iba­rət­dir. Ölçmənin dəqiq­liyi bir bölgünün qiy­mə­tin­dən asılıdır. Onu dərs­lik­dəki kimi tapırıq: şkalada yazılmış iki qonşu ədədin fərqini onların ara­sın­dakı böl­gü­lə­rin sayına bölürük.

bölgünün qiyməti = (qonşu ədəd­lə­rin fərqi) : (böl­gü­lə­rin sayı)

Dərs­likdə bir ölçmənin yol verilən xətası kimi alətin bir böl­gü­sü­nün qiyməti götü­rü­lür. Məsələn, bölgüsü 0,1 sm olan xətkeşlə 8,3 sm ölçü­lübsə, nəticə 8,3 sm ± 0,1 sm yazılır.

Aləti seç. Şkalanın böyü­dül­müş his­sə­sində mavi gös­tə­rici var, altın­dakı ədəd oxunda isə [x − b; x + b] zolağı.

Şkala labo­ra­to­ri­yasıbir ölçmə, b = bir bölgü

Alət

xətkeş menzurka mətbəx tərəzisi spi­do­metr

Şkalanın böyüdülmüş hissəsi və ədəd oxunda zolaq

• gös­tə­rici: x
• bir bölgü
• [x − b; x + b]

Alət

xətkeş

Qonşu ədədlər

8 və 9, ara­la­rında 10 bölgü

Bölgünün qiyməti

(9 − 8) : 10 = 0,1 sm

Göstəriş

x = 8,3 sm

Nəticə

8,3 sm ± 0,1 sm

Dəqiq qiymət

8,2 sm ≤ a ≤ 8,4 sm

Alət

menzurka (ölçü silindri)

Qonşu ədədlər

40 və 50, ara­la­rında 5 bölgü

Bölgünün qiyməti

(50 − 40) : 5 = 2 ml

Göstəriş

x = 46 ml

Nəticə

46 ml ± 2 ml

Dəqiq qiymət

44 ml ≤ a ≤ 48 ml

Alət

mətbəx tərəzisi

Qonşu ədədlər

200 və 300, ara­la­rında 10 bölgü

Bölgünün qiyməti

(300 − 200) : 10 = 10 q

Göstəriş

x = 270 q

Nəticə

270 q ± 10 q

Dəqiq qiymət

260 q ≤ a ≤ 280 q

Alət

spi­do­metr

Qonşu ədədlər

60 və 80, ara­la­rında 4 bölgü

Bölgünün qiyməti

(80 − 60) : 4 = 5 km/saat

Göstəriş

x = 75 km/saat

Nəticə

75 km/saat ± 5 km/saat

Dəqiq qiymət

70 km/saat ≤ a ≤ 80 km/saat

Labo­ra­to­ri­yada yoxla:

1. Xətkeşdə 8 ilə 9 arasında neçə xətt, neçə bölgü var? Nə gördün? 11 xətt (8 və 9 da daxil), amma 10 bölgü: bölgü iki qonşu xəttin ara­sın­dakı ara­lıq­dır. Ona görə (9 − 8) : 10 = 0,1 sm.
2. Men­zur­kada qonşu ədədlər 10 ml fərq­lə­nir. Niyə bölgü 1 ml yox, 2 ml‑dir? Nə gördün? 40 ilə 50 arasında 10 yox, 5 bölgü var: 10 : 5 = 2 ml. Bölgünün qiy­mə­tini həmişə saymaqla tap, təxmin etmə.

5 · Təkrar ölçmə

Bir neçə ölçmədən bir nəticə

Eyni kəmiy­yəti bir neçə dəfə ölçəndə nəti­cə­lər bir-birindən bir az fərq­lə­nir. Dərs­likdə belə halda təqribi qiymət kimi ən böyük və ən kiçik nəti­cə­nin ortası, yol verilən xəta kimi isə onların fərqinin yarısı götü­rü­lür:

x = (ən böyük + ən kiçik) : 2b = (ən böyük − ən kiçik) : 2

Nümunə 2Otağın uzunluğu

Beş şagird sinif otağının uzun­lu­ğunu lentlə ölçdü: 6,43 m; 6,47 m; 6,46 m; 6,41 m; 6,45 m. Nəticəni a = x ± b şəklində yazın.

Beş ölçmə: 6,44 m ± 0,03 m

Başla Yenidən Yenidən

1. Ən böyük nəticə 6,47 m, ən kiçik nəticə 6,41 m‑dir (narıncı halqalar).
2. Təqribi qiymət: (6,47 + 6,41) : 2 = 12,88 : 2 = 6,44 m.
3. Yol verilən xəta: (6,47 − 6,41) : 2 = 0,06 : 2 = 0,03 m. a = 6,44 m ± 0,03 m

Yəni 6,41 m ≤ a ≤ 6,47 m, və beş nəti­cə­nin hamısı zolağın için­də­dir. Beş nəti­cə­nin ədədi ortası 6,444 m‑dir, amma dərs­lik­dəki üsul ədədi ortanı yox, ən böyük və ən kiçik nəticəni götürür.

6 · Hesabla

Sər­həd­ləri tap, xətanı hesabla

Nümunə 3Ən az və ən çox

Su butul­ka­sı­nın üzərində yazılıb: 1,5 l ± 0,02 l. Butul­kada ən az və ən çox nə qədər su ola bilər?

1. Təqribi qiymət x = 1,5 l, yol verilən xəta b = 0,02 l.
2. Ən az: 1,5 − 0,02 = 1,48 l; ən çox: 1,5 + 0,02 = 1,52 l. 1,48 l ≤ a ≤ 1,52 l

Nümunə 4Etalon çəki

Kütləsi dəqiq 500 q olan etalon çəki iki tərəzidə çəkildi: birinci tərəzi 503 q, ikincisi 498 q göstərdi. Hansı tərə­zi­nin gös­tə­ri­şi­nin mütləq xətası kiçikdir?

1. Burada dəqiq qiymət məlumdur: a = 500 q.
2. Birinci tərəzi: |500 − 503| = |−3| = 3 q.
3. İkinci tərəzi: |500 − 498| = 2 q. ikinci tərə­zi­nin: 2 q < 3 q

İkinci tərəzi az göstərsə də, onun xətası kiçikdir: modul fərqin işa­rə­sinə yox, böyük­lü­yünə baxır.

7 · Diqqət

Tez-tez bura­xı­lan səhvlər

Modul unudulub

3,684 − 3,7 = −0,016

Mütləq xəta mənfi ola bilməz.

Düzgün

|3,684 − 3,7| = 0,016

Fərqin modulu götü­rü­lür.

Xətlər sayılıb

(9 − 8) : 11 ≈ 0,09 sm

8 ilə 9 arasında 11 xətt var, amma bölgü iki xəttin ara­sın­dakı ara­lıq­dır.

Ara­lıq­lar sayılıb

(9 − 8) : 10 = 0,1 sm

10 bölgü, hər biri 0,1 sm.

Bütün en götü­rü­lüb

b = 6,47 − 6,41 = 0,06

Bu, zolağın bütün enidir, ± isə hər tərəfə ayrıca əlavə olunur.

Yarısı

b = 0,06 : 2 = 0,03

Zolağın eni 2b‑dir.

Bir tərəfi unutma. a = 7,2 sm ± 0,1 sm yalnız 7,2‑dən 7,3‑ə qədər demək deyil: dəqiq qiymət 7,1 sm ilə 7,3 sm ara­sın­da­dır.

8 · Həyatda

Soyuducu yerinə sığa­caqmı?

Mağazada yazılıb: soyu­du­cu­nun eni 59,5 sm ± 0,2 sm. Mətbəxdə şkaflar ara­sın­dakı yer 60 sm ± 0,1 sm ölçülüb. Ən pis halı yoxlayaq: soyuducu ən enli, yer isə ən dar olsun.

Soyuducu 59,5 ± 0,2 sm, yer 60 ± 0,1 sm

Narıncı zolaq soyu­du­cu­nun, mavi zolaq yerin ola biləcəyi enlərdir. Zolaqlar üst-üstə düşmür: ara­la­rında boşluq qalır.

soyuducu ən çox: 59,5 + 0,2 = 59,7 smyer ən az: 60 − 0,1 = 59,9 smboşluq ən az: 59,9 − 59,7 = 0,2 sm

Ən pis halda da 0,2 sm boşluq qalır: soyuducu sığır. Yer 59,8 sm ± 0,1 sm ölçül­səydi, ən dar yer də 59,7 sm olardı və heç bir ehtiyat qalmazdı.

Şərti nümu­nə­dir: ölçülər bu dərs üçün seçilib.

9 · Özünü yoxla

Baca­rı­ğını sına

Cavabı seç: düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıq­la­na­caq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 5,28 ədədini onda birlərə qədər yuvar­laq­laş­dı­rın. Mütləq xəta nəyə bəra­bər­dir? Cavab variant­ları 0,08 0,02 −0,02 0,05 Düzdür! 5,28 ≈ 5,3 və |5,28 − 5,3| = 0,02. Yox. Əvvəl düzgün yuvar­laq­laş­dır, sonra fərqin modulunu tap. 0,05 yalnız ola biləcək ən böyük xətadır. Həllə bax Yüzdə birlər rəqəmi 8 ≥ 5, ona görə 5,28 ≈ 5,3. Mütləq xəta |5,28 − 5,3| = |−0,02| = 0,02. 0,08 ədədi 5,2‑yə yuvar­laq­laş­dı­randa alınar, −0,02 cava­bında modul unudulub, 0,05 isə onda birlərə yuvar­laq­laş­dır­mada xətanın yalnız ən böyük qiy­mə­ti­dir.
2. Asan a = 9,4 ± 0,3 olarsa, a hansı ara­lıq­da­dır? Cavab variant­ları 9,4 ≤ a ≤ 9,7 9,25 ≤ a ≤ 9,55 9,1 ≤ a ≤ 9,7 9,1 ≤ a ≤ 9,4 Əla! 0,3 hər iki tərəfə: 9,1‑dən 9,7‑yə qədər. Yox. ± işarəsi b‑ni həm çıxmaq, həm də əlavə etmək deməkdir. Həllə bax x − b = 9,4 − 0,3 = 9,1, x + b = 9,4 + 0,3 = 9,7. Deməli, 9,1 ≤ a ≤ 9,7. 9,25 ≤ a ≤ 9,55 varian­tında 0,3 zolağın bütün eni kimi götü­rü­lüb.
3. Orta Şkalada 50 və 60 ədədləri arasında 4 bölgü var. Bir bölgünün qiyməti nədir? Cavab variant­ları 2 2,5 0,4 10 Düzdür: (60 − 50) : 4 = 2,5. Yox. Qonşu ədəd­lə­rin fərqini böl­gü­lə­rin sayına böl. Həllə bax Fərq 60 − 50 = 10, böl­gü­lə­rin sayı 4: 10 : 4 = 2,5. 2 cavabı 5 xətt sayı­landa alınır, 0,4 cava­bında bölmə tərsinə aparılıb, 10 isə bütün aralığın uzun­lu­ğu­dur.
4. Orta Kitabın uzunluğu dörd dəfə ölçüldü: 27,3 sm; 27,8 sm; 27,7 sm; 27,6 sm. Dərs­lik­dəki üsulla nəticə necə yazılır? Cavab variant­ları 27,6 sm ± 0,25 sm 27,55 sm ± 0,5 sm 27,55 sm ± 0,25 sm 27,6 sm ± 0,2 sm Əla! Ortası 27,55, fərqin yarısı 0,25. Yox. Yalnız ən böyük (27,8) və ən kiçik (27,3) nəticəni götür: ortası və fərqinin yarısı. Həllə bax x = (27,8 + 27,3) : 2 = 27,55, b = (27,8 − 27,3) : 2 = 0,25. 27,6 dörd nəti­cə­nin ədədi orta­sı­dır, 0,5 isə fərqin yarısı yox, özüdür.
5. Çətin Hansı ədəd onda birlərə qədər yuvar­laq­laş­dı­rı­landa 6,3 alınır? Cavab variant­ları 6,35 6,24 6,349 6,2 Düzdür: 6,25 ≤ 6,349 < 6,35. Yox. 6,3‑ə yuvar­laq­la­şan ədədlər 6,25 ≤ a < 6,35 ara­lı­ğın­da­dır; sağ uc daxil deyil. Həllə bax 6,349 ədədində yüzdə birlər rəqəmi 4 < 5, ona görə 6,349 ≈ 6,3. 6,35 ədədi 6,4‑ə, 6,24 isə 6,2‑yə yuvar­laq­la­şır; 6,2 artıq onda bir­lə­rə­dək yazılmış başqa ədəddir.
6. Çətin Bölgüsü 0,1 sm olan xətkeşlə ölçülən uzunluq 15,3 sm‑dir. Dəqiq uzunluq hansı ola bilməz? Cavab variant­ları 15,2 sm 15,35 sm 15,4 sm 15,18 sm Düzdür! 15,18 < 15,2, zolaqdan kənar­da­dır. Yox. Zolağı yaz: 15,3 ± 0,1, yəni 15,2‑dən 15,4‑ə qədər, uclar da daxildir. Həllə bax Bir ölçmənin yol verilən xətası bir bölgüdür: a = 15,3 sm ± 0,1 sm, yəni 15,2 sm ≤ a ≤ 15,4 sm. 15,2 və 15,4 sər­həd­də­dir, 15,35 için­də­dir, 15,18 isə 15,2‑dən kiçikdir.

Xülasə

Yadda qalanlar

• |a − x|Mütləq xəta dəqiq və təqribi qiymətin fərqinin modu­lu­dur. Ölçmədə dəqiq qiymət adətən məlum olmur.
• a = x ± bx − b ≤ a ≤ x + b: dəqiq qiymət eni 2b olan zolaq­da­dır, uclar da daxil.
• b haradan?Yuvar­laq­laş­dır­mada mərtəbə vahi­di­nin yarısı (onda birlərdə 0,05), alətdə bir bölgü, təkrar ölçmədə ən böyük və ən kiçik nəti­cə­nin fərqinin yarısı.

Növbəti mövzu: 2.51 Nisbi xəta. Ölçülən kəmiy­yət­lər çox fərqli olanda hansı ölçmə daha dəqiqdir?

Mənbə: «Riya­ziy­yat» — 7‑ci sinif üçün dərslik (S. İsma­yı­lova, S. Abdu­ra­hi­mov), Bölmə 10 · 1 «Xəta məsə­lə­ləri. Mütləq xəta», səh. 202–205: mütləq xətanın tərifi |a − x|, a = x ± b yazılışı və «yol verilən xəta», alət böl­gü­sü­nün qiy­mə­ti­nin tapıl­ması, təkrar ölç­mə­lərdə ən böyük və ən kiçik nəticə üsulu. Dərsdəki bütün ölçmələr və ədədlər bu dərs üçün seçilmiş şərti nümu­nə­lər­dir.