Bərabəryanlı və bərabərtərəfli üçbucağın xassələri

• 2.49
• 7‑ci sinif
• Həndəsə

Bə­ra­bər­yanlı və bə­ra­bər­tə­rəfli üç­bu­cağın xas­sə­ləri

Bə­ra­bər­yanlı üç­bu­cağı ka­ğızdan kəs və bərabər tə­rəf­ləri üst-üstə gələcək şəkildə qatla: iki yarı tam üst-üstə düşür. Bu bir qat­la­mada dərsin bütün xas­sə­ləri giz­lənib — bu­caqlar, otu­ra­cağın ya­rı­ları və düz bucaq.

Bu dərsdə

• yan tə­rəf­ləri, otu­ra­cağı və təpə bu­ca­ğını ta­nı­yacaq, otu­ra­cağa bitişik bu­caq­ların niyə bərabər ol­du­ğunu konq­ru­yentlik əlaməti ilə gös­tə­rə­cəksən;
• otu­ra­cağa çə­kilmiş median, tən­bölən və hün­dür­lüyün üst-üstə düş­dü­yünü, başqa təpədən çə­ki­ləndə isə düş­mə­di­yini gö­rə­cəksən;
• bə­ra­bər­tə­rəfli üç­bu­cağın hər bu­ca­ğının 60° ol­du­ğunu çı­xa­racaq, bu­caq­ları qısa ad­dım­larla he­sab­la­ya­caqsan.

Bərabəryanlı üçbucaq simmetriya oxu boyunca qatlanır

Başla Yenidən Yenidən

1. Adlar
2. Xassə 1 və 2
3. La­bo­ra­to­riya
4. Yalnız otu­ra­cağa
5. Bə­ra­bər­tə­rəfli
6. Hesabla
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Hansı his­sələr üst-üstə düşür?

Yadına sal: tə­rəf­lə­rinə görə üçbucaq müx­təlif tərəfli, bə­ra­bər­yanlı və ya bə­ra­bər­tə­rəfli olur. Dərslik bə­ra­bər­yanlı üç­bu­cağı belə təyin edir.

Tərif

Bə­ra­bər­yanlı üçbucaq – iki tərəfi konq­ru­yent olan üç­bu­caqdır. Konq­ru­yent tə­rəflər onun yan tə­rəf­ləri, üçüncü tərəf isə otu­ra­ca­ğıdır.

Yan tə­rəf­lərin ortaq tə­pə­sin­dəki bucaq təpə bucağı, otu­ra­cağın uc­la­rın­dakı iki bucaq isə otu­ra­cağa bitişik bu­caq­lardır. Bə­ra­bər­yanlı üçbucaq iti­bu­caqlı, düz­bu­caqlı və ya kor­bu­caqlı ola bilər — iki tərəfin bə­ra­bər­liyi ki­fa­yətdir.

Bərabəryanlı üçbucağın elementləri

Şə­kil­lərdə bərabər tə­rəflər eyni sayda cizgi, bərabər bu­caqlar eyni sayda qövslə işa­rə­lənir.

İndi yu­xa­rı­dakı şəklə bax. ΔABC‑də AB ≅ CB. Üç­bu­cağı B tə­pə­sindən keçən elə xətt boyunca qat­layaq ki, BA tərəfi BC‑nin üzərinə düşsün. Yan tə­rəflər bərabər olduğu üçün A nöqtəsi düz C‑nin üzərinə gəlir. Qat xətti otu­ra­cağı D nöq­tə­sində kəsir. Nə üst-üstə düşdü?

• AD parçası CD‑nin üzərinə: AD ≅ CD;
• A bucağı C bu­ca­ğının üzərinə: ∠A ≅ ∠C;
• ABD bucağı CBD bu­ca­ğının üzərinə: ∠ABD ≅ ∠CBD;
• ADB və CDB bu­caq­ları üst-üstə düşür, onların cəmi 180° olduğu üçün hər biri 90°‑dir: BD ⊥ AC.

Qatlama mü­şa­hi­dədir, sübut deyil. İndi eyni nə­ti­cəni konq­ru­yentlik əlaməti ilə əsas­lan­dıraq.

2 · Qayda

Xassə 1 və Xassə 2

Xassə 1

Bə­ra­bər­yanlı üç­bu­cağın otu­ra­ca­ğına bitişik bu­caq­ları konq­ru­yentdir.

AB ≅ CB ⇒ ∠A ≅ ∠C

Xassə 2

Bə­ra­bər­yanlı üç­bu­cağın otu­ra­ca­ğına çə­kilmiş median, tən­bölən, hün­dürlük üst-üstə düşür.

BD me­diandır: AD ≅ CDBD tən­bö­ləndir: ∠ABD ≅ ∠CBDBD hün­dür­lükdür: BD ⊥ AC

Niyə doğ­rudur?

Təpə bucağının tənböləni iki konqruyent üçbucaq yaradır

Verilən: bir cizgi (AB ≅ CB) və iki yaşıl qövs (BD tən­bö­ləndir). Nəticə: narıncı qövslər, iki cizgi və düz bucaq.

ΔABC‑də AB ≅ CB. Təpə bu­ca­ğının BD tən­bö­lə­nini çəkək və iki üç­bu­cağı mü­qa­yisə edək.

Me­diandan baş­lasaq

D otu­ra­cağın orta nöqtəsi olsun. AB ≅ CB, AD ≅ CD, BD or­taqdır ⇒ ΔABD ≅ ΔCBD (III əlamət, TTT). Nəticə eynidir: BD həm tən­bö­ləndir, həm hün­dür­lükdür.

Bir parça — üç ad

Otu­ra­cağa çə­kilmiş median, tən­bölən və hün­dürlük üç ayrı xətt deyil, eyni BD par­ça­sıdır. Birini bi­lir­sənsə, qalan ikisini də bi­lirsən.

3 · La­bo­ra­to­riya

Təpə bucağı qalan iki bucağı müəyyən edir

Xassə 1‑ə görə otu­ra­cağa bitişik iki bucaq bə­ra­bərdir. Deməli, üç bu­caqdan yalnız biri sər­bəstdir. Təpə bu­ca­ğını seç: yan tə­rəflər eyni qalır, otu­racaq isə açılır və ya daralır.

Təpə bucağı

36° 80° 108° 150°

Təpə bucağı 36°. İki otu­racaq bu­ca­ğının cəmi 180° − 36° = 144°, hər biri 144° : 2 = 72°. Yoxlama: 36° + 72° + 72° = 180°.

Təpə bucağı 80°. İki otu­racaq bu­ca­ğının cəmi 180° − 80° = 100°, hər biri 100° : 2 = 50°. Yoxlama: 80° + 50° + 50° = 180°.

Təpə bucağı 108°. İki otu­racaq bu­ca­ğının cəmi 180° − 108° = 72°, hər biri 72° : 2 = 36°. Yoxlama: 108° + 36° + 36° = 180°. Təpə bucağı kor­bu­caqdır, otu­ra­cağa bitişik bu­caqlar isə yenə itidir.

Təpə bucağı 150°. İki otu­racaq bu­ca­ğının cəmi 180° − 150° = 30°, hər biri 30° : 2 = 15°. Yoxlama: 150° + 15° + 15° = 180°. Təpə bucağı kor­bu­caqdır, otu­ra­cağa bitişik bu­caqlar isə yenə itidir.

Təpə bucağı dəyişəndə oturacağa bitişik bucaqlar

Qırıq xətlər digər se­çim­lərdir. Təpə bucağı bö­yü­dükcə otu­ra­cağa bitişik bu­caqlar kiçilir.

Təpə bucağı x verilib

Otu­ra­cağa bitişik hər bucaq:

(180° − x) : 2

Otu­ra­cağa bitişik bucaq y verilib

Təpə bucağı:

180° − 2y

Həmişə iti

y + y < 180° olduğu üçün y < 90°: otu­ra­cağa bitişik bu­caqlar həmişə itidir. Təpə bucağı isə iti, düz və ya kor ola bilər.

4 · Diqqət

Yalnız otu­ra­cağa çə­ki­ləndə

Xassə 2 yan tə­rəf­lərin ortaq tə­pə­sindən otu­ra­cağa çəkilən parça haq­qın­dadır. La­bo­ra­to­ri­ya­dakı 36°‑li üç­bu­cağı götürək: AB ≅ CB, ∠B = 36°, ∠A = ∠C = 72°. Hansı təpədən çəkək?

Median, tən­bölən və hün­dürlük

B‑dən AC‑yə A‑dan BC‑yə

B‑dən otu­racaq AC‑yə: median, tən­bölən və hün­dürlük eyni BD par­ça­sıdır (üç rəngli xətt). AD ≅ CD, ∠ABD = ∠CBD = 36° : 2 = 18°, BD ⊥ AC.

A‑dan yan tərəf BC‑yə: üç parça BC‑ni üç müx­təlif nöqtədə kəsir. Tən­bölən AT ∠A‑nı yarıya bölür: 72° : 2 = 36°. Hün­dürlük AH isə başqa cür bölür: ΔABH‑da ∠BAH = 90° − 36° = 54°, deməli ∠HAC = 72° − 54° = 18°. 54° ≠ 36°, ona görə AH tən­bölən deyil. Median AM BC‑ni yarıya bölür, T və H isə C‑yə daha ya­xındır.

• M — median
• T — tən­bölən
• H — hün­dürlük

Median, tənbölən və hündürlük: oturacağa və yan tərəfə

Bu la­bo­ra­to­ri­yada rənglər xətləri ayırır: mavi median, narıncı tən­bölən, yaşıl hün­dürlük.

Səbəb: A tə­pə­sinə bitişik tə­rəflər AB və AC‑dir, onlar isə bərabər deyil (AC otu­ra­caqdır). Ona görə A‑dan keçən xətt boyunca qat­la­yanda yarılar üst-üstə düşmür. Bə­ra­bər­tə­rəfli üç­bu­caqda isə hər iki tərəf bə­ra­bərdir — növbəti mərhələ.

5 · Qayda

Bə­ra­bər­tə­rəfli üçbucaq: hər təpədən

Tərif və Xassə 3

Bə­ra­bər­tə­rəfli üçbucaq – bütün tə­rəf­ləri konq­ru­yent olan üç­bu­caqdır.

Bə­ra­bər­tə­rəfli üç­bu­caqda hər təpədən çə­kilmiş median, tən­bölən, hün­dürlük üst-üstə düşür.

Səbəb: bə­ra­bər­tə­rəfli üçbucaq hər tərəfə görə bə­ra­bər­yan­lıdır. AB ≅ CB ol­du­ğuna görə AC otu­racaq sayılır və Xassə 2 B təpəsi üçün işləyir; AB ≅ AC ol­du­ğuna görə BC otu­ra­caqdır və Xassə 2 A üçün işləyir; C üçün də eynilə.

Bərabərtərəfli üçbucaqda üç təpədən üç ox

Başla Yenidən Yenidən

Hər təpədən qarşı tərəfin or­ta­sına çəkilən parça həm median, həm tən­bölən, həm də hün­dür­lükdür. Üç parça bir nöqtədə kəsişir.

Çı­xa­rılışHər bucaq neçə də­rə­cədir?

ABC bə­ra­bər­tə­rəfli üç­bu­caqdır. Onun bu­caq­la­rını tapaq.

1. AB ≅ CB ⇒ ∠A = ∠C (Xassə 1, otu­racaq AC).
2. CA ≅ CB ⇒ ∠A = ∠B (Xassə 1, otu­racaq AB).
3. Deməli, ∠A = ∠B = ∠C. Üç­bu­cağın bu­caq­la­rının cəmi 180°‑dir: 3 · ∠A = 180°.
4. ∠A = 180° : 3 = 60°.

∠A = ∠B = ∠C = 60°

Tərsinə də doğ­ru­durmu?

Xassə 1‑də şərtlə nə­ti­cənin yerini dəyişək: üç­bu­cağın iki bucağı konq­ru­yent­dirsə, bu bu­caq­ların qar­şı­sın­dakı tə­rəflər də konq­ru­yentdir. Dərs­likdə bu, çalışma kimi verilir (səh. 199, ç. 4–5). Onu bil­dik­lə­rinlə özün əsas­lan­dıra bi­lərsən: ΔABC‑də ∠A ≅ ∠C olsun, BD isə ∠B‑nin tən­bö­lə­nidir.

Nəticə: üç bucağı bərabər (hər biri 60°) olan üçbucaq bə­ra­bər­tə­rəf­lidir, çünki ∠A ≅ ∠C ⇒ AB ≅ CB və ∠A ≅ ∠B ⇒ CB ≅ CA.

6 · Hesabla

Bu­caq­ları addım-addım tap

Hər addımda bir fikir və onun səbəbi: əvvəl hansı tə­rəf­lərin bərabər ol­du­ğunu, deməli, otu­ra­cağın hansı tərəf ol­du­ğunu müəyyən et.

Nümunə 1Otu­racaq bu­ca­ğından təpəyə

ΔKLM‑də KL = ML və ∠K = 57°. Qalan bu­caq­ları tapın.

ΔKLM: KL ≅ ML, ∠K = 57°

1. KL = ML, deməli otu­racaq KM‑dir, ona bitişik bu­caqlar K və M‑dir.
2. ∠M = ∠K = 57° (Xassə 1).
3. ∠L = 180° − 2 · 57° = 180° − 114° = 66°.

∠M = 57°, ∠L = 66°

Nümunə 2Hün­dürlük həm də me­diandır

ΔRST‑də RS = TS, SH otu­ra­cağa çə­kilmiş hün­dür­lükdür, RT = 9,6 sm, ∠RST = 68°. RH, ∠RSH və ∠R‑i tapın.

ΔRST: RS ≅ TS, SH ⊥ RT, RT = 9,6 sm, ∠RST = 68°

1. SH otu­ra­cağa çə­kilmiş hün­dür­lükdür, deməli həm də median və tən­bö­ləndir (Xassə 2).
2. RH = RT : 2 = 9,6 : 2 = 4,8 sm.
3. ∠RSH = ∠RST : 2 = 68° : 2 = 34°.
4. ΔRSH‑da ∠RHS = 90°: ∠R = 180° − 90° − 34° = 56°.

RH = 4,8 sm, ∠RSH = 34°, ∠R = 56°

Nümunə 3Xarici bu­caqdan

ΔEFG‑də EF = GF. EG otu­ra­cağı G‑dən sonra uza­dılıb, uzan­tıda P nöqtəsi gö­tü­rülüb və ∠FGP = 134°. Üç­bu­cağın bu­caq­la­rını tapın.

ΔEFG: EF ≅ GF, EG uzadılıb, ∠FGP = 134°

1. ∠FGE və ∠FGP qonşu bu­caq­lardır: ∠FGE = 180° − 134° = 46°.
2. ∠E = ∠FGE = 46° (Xassə 1, otu­racaq EG).
3. ∠F = 180° − 2 · 46° = 88°.

∠E = ∠G = 46°, ∠F = 88°

Nümunə 4İki üçbucaq bir tərəfdə

ABC bə­ra­bər­tə­rəfli üç­bu­caqdır. BC tərəfi üzə­rində, A‑nın əks tə­rə­fində BDC üç­bu­cağı qurulub: BD = CD, ∠BDC = 140°. ∠ABD‑ni tapın.

Bərabərtərəfli ABC və BC üzərində BD ≅ CD, ∠BDC = 140°

1. ∠ABC = 60° (bə­ra­bər­tə­rəfli üçbucaq).
2. ΔBDC‑də BD = CD: ∠DBC = ∠DCB = (180° − 140°) : 2 = 20°.
3. A və D BC‑nin müx­təlif tə­rəf­lə­rin­dədir: ∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = 60° + 20° = 80°.

∠ABD = 80°

7 · Diqqət

Tez-tez edilən səhvlər

✗ Təpə 40° ⇒ otu­racaq bucağı 140°

180° − 40° = 140°

140° iki otu­racaq bu­ca­ğının cəmidir, bir bucaq deyil.

✓ Cəmi ikiyə böl

(180° − 40°) : 2 = 70°

Yoxlama: 40° + 70° + 70° = 180°.

✗ Otu­racaq bucağı 65° ⇒ təpə 57,5°

(180° − 65°) : 2

Bu düstur təpə bucağı verilən hal üçündür; burada 65° iki dəfə çı­xıl­ma­lıdır.

✓ İki bərabər bucağı çıx

180° − 2 · 65° = 50°

Yoxlama: 50° + 65° + 65° = 180°.

✗ «Hər median həm də tən­bö­ləndir»

A‑dan median = tən­bölən

Yan tərəfə çəkilən median, tən­bölən və hün­dürlük, ümu­miy­yətlə, ayrı par­ça­lardır (4‑cü mərhələ).

✓ Yalnız otu­ra­cağa

B‑dən AC‑yə: bir parça

Bərabər tə­rəf­lərin ortaq tə­pə­sindən otu­ra­cağa çəkilən parça üç rolu bir­likdə daşıyır.

8 · Həyatda

Ustanın səviyyə ölçəni

Qədim ustalar dö­şə­mənin üfüqi olub-ol­ma­dı­ğını A hərfinə bənzər alətlə yox­la­yır­dılar. İki ayaq bərabər uzun­luq­dadır və təpədə bir­ləşir. Ayaq­ları təpədən eyni mə­sa­fədə bir­ləş­dirən tirin tam or­ta­sında nişan var. Təpədən ucunda yük olan ip — şaqul — asılır, o həmişə şaquli düşür.

Təpə və tirin iki ucu bə­ra­bər­yanlı üçbucaq əmələ gətirir, tir onun otu­ra­ca­ğıdır. Təpədən nişana gedən parça otu­ra­cağa çə­kilmiş me­diandır, Xassə 2‑yə görə o həm də hün­dür­lükdür, yəni tirə per­pen­di­kul­yardır. Şaqul ni­şandan keçirsə, tir şaquli xəttə per­pen­di­kul­yardır, yəni üfü­qidir. Yer maili olanda (sağdakı şəkil, 8°) şaqul ni­şandan kənara düşür.

A‑şəkilli səviyyə ölçən: düz və maili yerdə

Solda yer üfü­qidir: şaqul ni­şandan keçir. Sağda yer 8° maildir: şaqul ni­şandan kə­nardan keçir.

9 · Özünü yoxla

Ba­ca­rı­ğını sına

Cavabı seç: düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıq­la­nacaq. Həllə də baxa bi­lərsən.

1. Asan ΔMNP‑də MN = MP. Hansı iki bucaq mütləq bə­ra­bərdir? Sual 1: cavabı seç ∠N və ∠P ∠M və ∠N ∠M və ∠P Düzdür! Otu­racaq NP‑dir, otu­ra­cağa bitişik bu­caqlar N və P‑dədir. Yox. Bərabər tə­rəflər M‑də bir­ləşir; bərabər bu­caqlar isə otu­ra­cağın uc­la­rın­dadır. Həllə bax MN və MP yan tə­rəf­lərdir, onların ortaq təpəsi M təpə bu­ca­ğıdır. Üçüncü tərəf NP otu­ra­caqdır. Xassə 1‑ə görə ∠N ≅ ∠P.
2. Asan Bə­ra­bər­yanlı üç­bu­cağın təpə bucağı 54°‑dir. Otu­ra­cağa bitişik bucaq neçə də­rə­cədir? Sual 2: cavabı seç 63° 126° 27° Düzdür! (180° − 54°) : 2 = 63°. Yox. 180° − 54° iki bərabər bucağın cəmidir, onu ikiyə böl; təpə bu­ca­ğının yarısı isə başqa bu­caqdır. Həllə bax İki otu­racaq bu­ca­ğının cəmi: 180° − 54° = 126°. Hər biri: 126° : 2 = 63°. Yoxlama: 54° + 63° + 63° = 180°.
3. Orta Bə­ra­bər­yanlı üç­bu­cağın otu­ra­cağa bitişik bucağı 39°‑dir. Təpə bucağı neçə də­rə­cədir? Sual 3: cavabı seç 102° 70,5° 141° Düzdür! 180° − 2 · 39° = 102°. Yox. Otu­ra­cağa bitişik bucaq iki dənədir: 180°‑dən 39°‑ni iki dəfə çıx. Həllə bax Otu­ra­cağa bitişik iki bucağın cəmi: 2 · 39° = 78°. Təpə bucağı: 180° − 78° = 102°. Yoxlama: 102° + 39° + 39° = 180°.
4. Orta ΔABC‑də AB = BC, AK isə BC tə­rə­finə çə­kilmiş me­diandır. AK ∠A‑nın tən­bö­lə­ni­dirmi? Sual 4: cavabı seç Bəli, bə­ra­bər­yanlı üç­bu­caqda median həmişə tən­bö­ləndir Ümu­miy­yətlə yox: Xassə 2 yalnız otu­ra­cağa çəkilən median üçündür Bəli, çünki AK tərəfi iki bərabər hissəyə bölür Düzdür! BC yan tə­rəfdir, otu­racaq isə AC‑dir. Yox. Xassə 2 yan tə­rəf­lərin ortaq tə­pə­sindən otu­ra­cağa çəkilən parça haq­qın­dadır; BC otu­racaq deyil. Həllə bax AB = BC olduğu üçün otu­racaq AC‑dir və Xassə 2 yalnız B‑dən çəkilən parçaya aiddir. «Yalnız otu­ra­cağa» la­bo­ra­to­ri­ya­sında A‑dan çəkilən median M nöq­tə­sinə, tən­bölən isə başqa T nöq­tə­sinə düşür. AK yalnız AB = AC də olsa (üçbucaq bə­ra­bər­tə­rəfli olsa) tən­bölən olardı.
5. Çətin Bə­ra­bər­yanlı üç­bu­cağın bir bucağı 60°‑dir. Bu üçbucaq bə­ra­bər­tə­rəf­li­dirmi? Sual 5: cavabı seç Bəli, həmişə Yalnız 60° təpə bucağı olsa Bunu bilmək olmaz Düzdür! Hər iki halda üç bucaq 60° olur. Yox. İki halı yoxla: 60° təpə bu­ca­ğıdır, ya da otu­ra­cağa bitişik bu­caqdır. Həllə bax 60° təpə bu­ca­ğı­dırsa: (180° − 60°) : 2 = 60°. 60° otu­ra­cağa bitişik bu­caq­dırsa: təpə bucağı 180° − 2 · 60° = 60°. Hər iki halda ∠A = ∠B = ∠C = 60°; bərabər bu­caq­ların qar­şı­sın­dakı tə­rəflər bərabər olduğu üçün üçbucaq bə­ra­bər­tə­rəf­lidir.
6. Çətin ΔABC‑də AB = BC, ∠A = 2x + 10°, ∠C = 3x − 15°. ∠B neçə də­rə­cədir? Sual 6: cavabı seç 60° 25° 120° Düzdür! x = 25, ∠A = ∠C = 60°, ∠B = 60° — üçbucaq bə­ra­bər­tə­rəf­lidir. Yox. Əvvəl ∠A = ∠C tən­li­yindən x-i tap, sonra 180°‑dən iki bucağı çıx. Həllə bax AB = BC ⇒ ∠A = ∠C: 2x + 10 = 3x − 15, x = 25. ∠A = 2 · 25° + 10° = 60°, ∠C = 3 · 25° − 15° = 60°. ∠B = 180° − 60° − 60° = 60°.

10 · Yekun

Yadda saxla

1. Otu­ra­cağa bitişik bu­caqlar bə­ra­bərdir. Təpə bucağı x olarsa, hər biri (180° − x) : 2; otu­racaq bucağı y olarsa, təpə bucağı 180° − 2y.
2. Otu­ra­cağa çə­kilmiş median, tən­bölən və hün­dürlük bir par­çadır. Səbəb: ΔABD ≅ ΔCBD. Başqa təpədən çə­ki­ləndə onlar, ümu­miy­yətlə, ayrı par­ça­lardır.
3. Bə­ra­bər­tə­rəfli üç­bu­cağın hər bucağı 60°‑dir və hər təpədən üç xətt üst-üstə düşür; tərsinə, bu­caq­ları bərabər olan üçbucaq bə­ra­bər­tə­rəf­lidir.

Növbəti mövzu: 2.50 Xəta mə­sə­lə­ləri. Mütləq xəta

Mənbə: «Ri­ya­ziyyat. Dərslik. 7‑ci sinif» (2022), Bölmə 9 · 5, səh. 198–199 — tə­riflər, Xassə 1–3, çalışma 4–5; üç­bu­cağın bu­caq­la­rının cəmi — səh. 116. Bütün fi­qurlar, hərflər və ədədlər bu dərs üçün ha­zır­lanıb.