Xətti funksiyaların qrafiklərinin qarşılıqlı vəziyyəti

• 2.38
• 7-ci sinif
• Funksiya

Xətti funksiyaların qrafiklərinin qarşılıqlı vəziyyəti

Bir müstəvidə iki düz xətt ya kəsişir, ya paraleldir, ya da üst-üstə düşür. Hansı olduğunu bilmək üçün qrafik çəkmək lazım deyil: cavab düsturdakı iki ədəddədir — k və b.

Bu dərsdə

• iki düz xəttin üç qarşılıqlı vəziyyətini və hər birində ortaq nöqtələrin sayını öyrənəcəksən;
• bucaq əmsallarını və sərbəst əmsalları müqayisə edərək qrafikləri çəkmədən onların vəziyyətini müəyyən edəcəksən;
• kəsişən qrafiklərin ortaq nöqtəsini şəkildən oxuyub hər iki düsturla yoxlayacaqsan.

İki düz xəttin üç qarşılıqlı vəziyyəti

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Qayda
3. Niyə belədir?
4. Hesabla
5. Diqqət
6. Həyatda
7. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Birini saxla, o birini dəyiş

Yada sal: y = kx + b düsturunda k — bucaq əmsalı (x-in əmsalı), b — sərbəst əmsaldır, qrafik OY oxunu (0; b) nöqtəsində kəsir.

Aşağıda m düz xətti dəyişmir: y = x + 2, yəni k₁ = 1, b₁ = 2. İkinci düz xəttin, n-in əmsallarını sən seç. Əvvəlcə yalnız b₂-ni dəyiş, sonra k₂-ni — və bax, nə vaxt düz xətlər görüşür.

n-in bucaq əmsalı k₂

1 3 −1

n-in sərbəst əmsalı b₂

2 −2 4

Qrafik laboratoriyası: m sabitdir, n seçilir

Qalın mavi — m, nazik narıncı — n (üst-üstə düşəndə qırıq). Hər xana 1 vahiddir.

Üst-üstə düşür. n: y = x + 2 — m ilə eyni düsturdur: k₁ = k₂ = 1 və b₁ = b₂ = 2. Narıncı qırıq xətt qalın mavi xəttin tam üstündən keçir: bu, bir düz xətdir və onun bütün nöqtələri hər iki qrafikə aiddir.

Paraleldir. k₁ = k₂ = 1, amma b₁ = 2, b₂ = −2: sərbəst əmsallar fərqlidir. Düz xətlər eyni cür qalxır, OY oxunu müxtəlif nöqtələrdə — (0; 2) və (0; −2) — kəsir və heç vaxt görüşmür. Ortaq nöqtə yoxdur.

Paraleldir. k₁ = k₂ = 1, amma b₁ = 2, b₂ = 4: sərbəst əmsallar fərqlidir. Düz xətlər eyni cür qalxır, OY oxunu müxtəlif nöqtələrdə — (0; 2) və (0; 4) — kəsir və heç vaxt görüşmür. Ortaq nöqtə yoxdur.

Kəsişir. k₁ = 1, k₂ = 3: bucaq əmsalları fərqlidir. Sərbəst əmsallar isə eynidir (b = 2), ona görə ortaq nöqtə OY oxu üzərindədir: (0; 2). Yoxla: x = 0 olduqda hər iki düstur y = 2 verir.

Kəsişir. k₁ = 1, k₂ = 3: bucaq əmsalları fərqlidir, ona görə düz xətlər bir nöqtədə kəsişir. Şəkildə ortaq nöqtə: (2; 4). Yoxla: m üçün 2 + 2 = 4, n üçün 3 · 2 − 2 = 4.

Kəsişir. k₁ = 1, k₂ = 3: bucaq əmsalları fərqlidir, ona görə düz xətlər bir nöqtədə kəsişir. Şəkildə ortaq nöqtə: (−1; 1). Yoxla: m üçün −1 + 2 = 1, n üçün 3 · (−1) + 4 = 1.

Kəsişir. k₁ = 1, k₂ = −1: bucaq əmsalları fərqlidir. Sərbəst əmsallar isə eynidir (b = 2), ona görə ortaq nöqtə OY oxu üzərindədir: (0; 2). Yoxla: x = 0 olduqda hər iki düstur y = 2 verir.

Kəsişir. k₁ = 1, k₂ = −1: bucaq əmsalları fərqlidir, ona görə düz xətlər bir nöqtədə kəsişir. Şəkildə ortaq nöqtə: (−2; 0). Yoxla: m üçün −2 + 2 = 0, n üçün −(−2) − 2 = 0.

Kəsişir. k₁ = 1, k₂ = −1: bucaq əmsalları fərqlidir, ona görə düz xətlər bir nöqtədə kəsişir. Şəkildə ortaq nöqtə: (1; 3). Yoxla: m üçün 1 + 2 = 3, n üçün −1 + 4 = 3.

Nə gördün? k₂ = 1 olanda, yəni bucaq əmsalları eyni olanda, n ya m-ə paraleldir, ya da onunla üst-üstə düşür — bunu b-lər həll edir. k₂ başqa olanda isə b₂ nə olursa olsun, düz xətlər bir nöqtədə kəsişir.

2 · Qayda

Üç vəziyyət — iki müqayisə

Düz xətləri çəkmədən də onların qarşılıqlı vəziyyətini düsturlara görə demək olar. İki xətti funksiya verilsin: y = k₁x + b₁ və y = k₂x + b₂. Dərslikdə bu əmsallar a₁, a₂ və b₁, b₂ hərfləri ilə yazılır — mənası eynidir.

Yadda saxla

• k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂ olduqda düz xətlər paraleldir.
• k₁ = k₂, b₁ = b₂ olduqda düz xətlər üst-üstə düşür.
• k₁ ≠ k₂ olduqda düz xətlər bir nöqtədə kəsişir; burada b₁ və b₂ fərqli və ya eyni ola bilər.

Əvvəl k-ları, sonra b-ləri müqayisə et

Əvvəl y = kx + b şəklinə gətir

y = 3 + 2x

Hədlərin yeri nəyi isə dəyişmir: bu, y = 2x + 3-dür. Bucaq əmsalı x-in qarşısındakı ədəddir: k = 2, b = 3.

b eyni, k fərqli

ortaq nöqtə (0; b)

x = 0 olduqda hər iki düstur y = b verir. Deməli, düz xətlər OY oxu üzərində kəsişir.

Ortaq nöqtəni necə tapırıq? Bu mövzuda onu şəkildən oxuyuruq:

1. hər iki qrafiki eyni koordinat sistemində qururuq;
2. kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını oxuyuruq;
3. koordinatları hər iki düstura qoyub yoxlayırıq: nöqtə hər iki qrafikə aid olmalıdır.

Laboratoriyada k₂ = −1, b₂ = 4 seç: şəkildə (1; 3) görünür və 1 + 2 = 3, −1 + 4 = 3. Oxla kəsişmə nöqtəsi (məsələn, n-in OY ilə kəsişdiyi (0; 4)) ortaq nöqtə deyil: o, m-in düsturunu ödəmir. Ortaq nöqtəni hesablama ilə tapmağı sonrakı mövzularda öyrənəcəksən.

3 · Niyə belədir?

Eyni k — eyni addım

Bucaq əmsalı düz xəttin nə qədər «dik» qalxdığını göstərir: x 1 vahid artanda y k vahid dəyişir. İki düz xəttin k-sı eynidirsə, onlar həmişə eyni addımla gedir.

Eyni bucaq əmsallı iki düz xətt arasında məsafə hər yerdə eynidir

Başla Yenidən Yenidən

Hər iki düz xətt 2 vahid sağa gedəndə 1 vahid qalxır. Ona görə aralarındakı şaquli məsafə hər yerdə 3 − (−1) = 4-dür: onlar heç vaxt görüşmür.

Sərbəst əmsallar da eyni olsaydı, bu məsafə 0 olardı — iki düz xətt üst-üstə düşərdi. Deməli, k-lar eyni olanda «paraleldir» və ya «üst-üstə düşür» cavabını b-lər həll edir.

Bəs k fərqli olanda?

Məsələn, y = 2x və y = 0,5x + 3. Hər addımda (x 1 artanda) birinci 2, ikinci 0,5 qalxır, ona görə aralarındakı məsafə hər addımda 1,5 azalır:

x = 2-də məsafə 0 olur: düz xətlər (2; 4) nöqtəsində görüşür. Sonra məsafə yenidən artır — ikinci görüş olmur. k-lar fərqli olanda həmişə belədir: düz xətlər yalnız bir nöqtədə kəsişir.

4 · Hesabla

Düstura bax, vəziyyəti de

Hər dəfə eyni yol: düsturu y = kx + b şəklinə gətir, əvvəl k-ları, sonra b-ləri müqayisə et.

Nümunə 1Üç cüt

Qrafiklərin qarşılıqlı vəziyyətini müəyyən edin: a) y = 0,5x − 3 və y = x2 / + 1; b) y = 6 − x və y = −x + 6; c) y = 4x və y = −4x.

1. a) x : 2 = 0,5x, ona görə ikinci funksiya y = 0,5x + 1-dir. k₁ = k₂ = 0,5, amma b₁ = −3 ≠ b₂ = 1 → paraleldir.
2. b) 6 − x = −x + 6: x-in əmsalı −1-dir (6 deyil!). Hər ikisində k = −1, b = 6 → üst-üstə düşür.
3. c) k₁ = 4 ≠ k₂ = −4 → kəsişir. Hər ikisində b = 0, ona görə ortaq nöqtə (0; 0) — koordinat başlanğıcıdır. a) paraleldir; b) üst-üstə düşür; c) (0; 0)-da kəsişir

Nümunə 2Tənlik şəklində verilib

x − y + 5 = 0 və y = x − 5 funksiyalarının qrafikləri necə yerləşir?

1. Birinci bərabərlikdə y-i bir tərəfdə saxlayaq: x − y + 5 = 0 ⇒ x + 5 = y, yəni y = x + 5.
2. Əmsallar: k₁ = 1, b₁ = 5; k₂ = 1, b₂ = −5.
3. k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂ → paraleldir. Paraleldir

y-i keçirəndə işarəni itirsən (y = x − 5), səhvən «üst-üstə düşür» cavabı alarsan.

Nümunə 3Ulduzun yerinə ədəd yaz

y = ∗x − 3 və y = 4x + ∗ bərabərliklərində ulduzların yerinə elə ədədlər yazın ki, qrafiklər: 1) paralel olsun; 2) kəsişsin; 3) üst-üstə düşsün.

1. Paralel: k-lar bərabər, b-lər fərqli. Birinci ∗ = 4; ikinci ∗ −3-dən fərqli istənilən ədəd, məsələn 1: y = 4x − 3 və y = 4x + 1.
2. Kəsişsin: k-lar fərqli. Birinci ∗ 4-dən fərqli, məsələn −1; ikinci ∗ istənilən, məsələn 6: y = −x − 3 və y = 4x + 6.
3. Üst-üstə: həm k-lar, həm b-lər bərabər: birinci ∗ = 4, ikinci ∗ = −3. 1) 4 və −3-dən fərqli ədəd; 2) 4-dən fərqli ədəd və istənilən ədəd; 3) 4 və −3

Dərslik belə tapşırıqlarda «əgər mümkünsə» yazır. Məsələn, y = ∗x + 1 və y = ∗x + 2 heç vaxt üst-üstə düşmür: sərbəst əmsallar artıq fərqlidir.

5 · Diqqət

Əvvəl k-lara bax

Səhv düşüncə

b-lər eynidir → üst-üstə düşür

y = 4x − 1 və y = x − 1: eyni b yalnız OY üzərində bir ortaq nöqtə deməkdir.

Düzgün

k₁ = 4 ≠ k₂ = 1 → kəsişir

Ortaq nöqtə (0; −1)-dir: x = 0 olduqda hər ikisi −1 verir.

Sərbəst əmsalları eyni, bucaq əmsalları fərqli iki düz xətt

Eyni b — OY üzərində bir ortaq nöqtə, eyni düz xətt yox.

Səhv düşüncə

3 və −3 → paraleldir

y = 3x + 1 və y = −3x + 2: 3 və −3 fərqli ədədlərdir.

Düzgün

k₁ ≠ k₂ → kəsişir

Biri qalxır, o biri enir — belə düz xətlər mütləq kəsişir.

Şəkli düsturla yoxla. k-ları eyni olan iki funksiyanın qrafikləri kəsişən çəkilibsə və ya k-ları fərqli olan qrafiklər paralel görünürsə, şəkil səhvdir: nöqtələri düsturla yenidən hesabla və qur.

6 · Həyatda

Hansı taksi sərfəlidir?

Taksi gedişinin qiyməti çox vaxt xətti funksiyadır: y = kx + b, burada x — məsafə (km), k — 1 km-in qiyməti, b — minmə haqqıdır (AZN). Üç tarifi müqayisə edək:

• A: 2 AZN minmə, 1 km 0,5 AZN → y = 0,5x + 2
• B: 1 AZN minmə, 1 km 0,5 AZN → y = 0,5x + 1
• C: 1 AZN minmə, 1 km 0,75 AZN → y = 0,75x + 1

Qiymət, AZN

A və B: k eynidir (0,5), b fərqlidir → qrafiklər paraleldir. B həmişə A-dan 1 AZN ucuzdur, qiymətlər heç vaxt bərabər olmur.

A və C: k-lar fərqlidir → kəsişir. Şəkildə ortaq nöqtə (4; 4): 4 km-lik yolda hər iki tarif 4 AZN-dir. Yoxla: 0,5 · 4 + 2 = 4, 0,75 · 4 + 1 = 4. Qısa yolda C, uzun yolda A ucuzdur.

B və C: b eynidir (1), k-lar fərqlidir → (0; 1)-də kəsişir: yalnız minmə haqqı eynidir, sonra C hər km-də daha baha olur.

Üç taksi tarifinin qrafikləri

A ∥ B; C A-nı (4; 4)-də, B-ni (0; 1)-də kəsir. Tariflər öyrətmək üçün seçilib.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan y = −4x + 1 və y = −4x − 6 funksiyalarının qrafikləri necə yerləşir? Cavab variantları kəsişir paraleldir üst-üstə düşür Düzdür! k₁ = k₂ = −4, b₁ = 1 ≠ b₂ = −6. Yox. Əvvəl k-ları müqayisə et: hər ikisi −4-dür. Sonra b-lərə bax. Həllə bax k₁ = k₂ = −4 → ya paraleldir, ya üst-üstə düşür. b₁ = 1, b₂ = −6 fərqlidir → paraleldir.
2. Asan Bucaq əmsalları fərqli olan iki düz xəttin neçə ortaq nöqtəsi var? Cavab variantları heç biri yalnız bir sonsuz sayda Bəli: k₁ ≠ k₂ olduqda düz xətlər bir nöqtədə kəsişir. Yox. Ortaq nöqtəsi olmayan düz xətlər paraleldir, sonsuz sayda olanlar üst-üstə düşür — hər ikisində k-lar eynidir. Həllə bax k-lar fərqlidirsə, düz xətlər nə paraleldir, nə də üst-üstə düşür: onlar bir nöqtədə kəsişir, deməli bir ortaq nöqtə var.
3. Orta y = 7 − x və x + y − 7 = 0 funksiyalarının qrafikləri necə yerləşir? Cavab variantları paraleldir kəsişir üst-üstə düşür Düzdür! İkisi də y = −x + 7-dir. Yox. Hər ikisini y = kx + b şəklinə gətir və x-in əmsalını işarəsi ilə birlikdə yaz. Həllə bax y = 7 − x = −x + 7: k = −1, b = 7. x + y − 7 = 0 ⇒ y = −x + 7: k = −1, b = 7. Hər iki əmsal eynidir → üst-üstə düşür.
4. Orta Şagird y = 0,5x + 2 və y = 0,5x − 3 funksiyalarının qrafiklərini qurdu və onlar şəkildə kəsişdi. Nə demək olar? Cavab variantları Şəkil düzdür: b-lər fərqlidir Şəkil səhvdir: qrafiklər paralel olmalıdır Şəkil səhvdir: qrafiklər üst-üstə düşməlidir Düzdür! k₁ = k₂ = 0,5 və b₁ ≠ b₂: paralel düz xətlər kəsişə bilməz. Yox. Bucaq əmsallarına bax: hər ikisi 0,5-dir. Bu, hansı vəziyyətdir? Həllə bax k-lar eyni (0,5), b-lər fərqli (2 və −3) → qrafiklər paralel olmalıdır. Kəsişən şəkil səhv qurulub; üst-üstə düşmək üçün b-lər də eyni olmalı idi.
5. Çətin İki taksi tarifi: y = 0,4x + 3 və y = 0,4x + 2 (x — km, y — AZN). Neçə km-lik yolda qiymətlər bərabər olar? Cavab variantları 0 km-də 1 km-də heç vaxt Bəli! k-lar eynidir → qrafiklər paraleldir, ortaq nöqtə yoxdur: ikinci tarif həmişə 1 AZN ucuzdur. Yox. k-lar eynidirsə, qrafiklər necə yerləşir? Belə düz xətlərin ortaq nöqtəsi varmı? Həllə bax 0 km-də: 3 və 2 AZN; 1 km-də: 3,4 və 2,4 AZN — fərq hər yerdə 1 AZN-dir. k eyni (0,4), b fərqli → paraleldir, deməli bərabər qiymət olmur.
6. Çətin y = 2x + 1, y = −x + 4 və y = 2x − 3 düz xətləri cüt-cüt götürüləndə cəmi neçə kəsişmə nöqtəsi alınır? Cavab variantları 1 2 3 Əla! Birinci və üçüncü paraleldir (k = 2), ikinci düz xətt onların hər birini bir nöqtədə kəsir. Yox. Üç cütü ayrıca yoxla: onlardan birində k-lar eynidir. Həllə bax 1-ci və 2-ci: 2 ≠ −1 → bir nöqtə. 2-ci və 3-cü: −1 ≠ 2 → bir nöqtə. 1-ci və 3-cü: k eyni, b fərqli (1 ≠ −3) → paraleldir, ortaq nöqtə yoxdur. Bu iki nöqtə fərqlidir: üç xəttin ortaq nöqtəsi olsaydı, o, paralel düz xətlərin də ortaq nöqtəsi olardı. Cəmi 2.

Xülasə

Yadda qalanlar

• k₁ ≠ k₂Düz xətlər bir nöqtədə kəsişir; b-lər istənilən ola bilər. b-lər eynidirsə, ortaq nöqtə (0; b)-dir.
• k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂Düz xətlər paraleldir: aralarındakı məsafə hər yerdə eynidir, ortaq nöqtə yoxdur.
• k₁ = k₂, b₁ = b₂Düz xətlər üst-üstə düşür. Müqayisədən əvvəl düsturu y = kx + b şəklinə gətir.

Növbəti mövzu: 2.39 İkidəyişənli xətti tənlik və onun qrafiki

Mənbə: «Riyaziyyat» — 7-ci sinif üçün dərslik (S. İsmayılova, S. Abdurahimov), Bölmə 7 · 3 «Xətti funksiyaların qrafiklərinin qarşılıqlı vəziyyəti», səh. 160–161: üç qarşılıqlı vəziyyət və onların bucaq əmsalı, sərbəst əmsal şərtləri, tənlik şəklində verilmiş funksiyanı y = kx + b şəklinə gətirmək, ulduz tapşırığı və qrafiklərin yoxlanması ideyası. «Niyə belədir?» bölməsindəki şaquli məsafə izahı bu dərsin öz mühakiməsidir. Bütün funksiyalar, taksi tarifləri və ədədlər bu dərs üçün seçilib.