İki düz xətt: heç vaxt, bir dəfə, yoxsa həmişə?

Mətn (transkript)

Təsəvvür et: yay axşamıdır. Pəncərə açıqdır, bayırda cırcıramalar oxuyur. Sinfin yay oxu siyahısında qalın bir macəra romanı var, iki yüz səksən səhifə. Aysel onu artıq açıb və qırxıncı səhifəyə çatıb. Murad isə yenicə başlayıb: onuncu səhifəni bitirib. Telefon titrəyir. Murad yazır: «Gəl, hər axşam eyni fəsli birlikdə müzakirə edək. Sən gündə neçə səhifə oxuyursan?» Aysel cavab verir: «Hər gün düz iyirmi səhifə. Nə az, nə çox.» Murad sevinir: «Mən də gündə iyirmi səhifə oxuyacağam. Bir gün səni mütləq tutacağam və eyni səhifədə olacağıq.» Sən necə düşünürsən? Murad Ayseli nə vaxtsa tutacaqmı? Bəlkə heç vaxt? Bəlkə cəmi bir dəfə? Yoxsa hər gün eyni səhifədə olacaqlar? Bu dərsin sonunda cavabı qrafik çəkmədən, cəmi iki ədədə baxaraq deyəcəksən. Bir də görəcəksən ki, Muradın planında gizli bir səhv var. Salam! Bu gün xətti funksiyaların qrafiklərinin qarşılıqlı vəziyyətindən danışacağıq, yəni iki düz xəttin bir müstəvidə necə yerləşə biləcəyindən. Əvvəlcə iki oxucunu iki xətti funksiyaya çevirəcəyik. Sonra üç mümkün hala bir-bir baxacağıq: xətlər heç vaxt görüşmür, bir dəfə görüşür, ya da həmişə bir yerdədir. Ardınca özünü yoxlayacaqsan, sonda isə Aysellə Murada qayıdacağıq. Gəl, əvvəlcə keçən dərsi xatırlayaq. Bir kəmiyyət müəyyən bir başlanğıcdan başlayır və hər addımda eyni qədər dəyişirsə, bu asılılıq xətti funksiyadır. Onun düsturu belədir: igrek bərabərdir ka vur iks üstəgəl be. Ka bucaq əmsalıdır, yəni hər addımdakı dəyişmə. Be isə sərbəst əmsaldır, yəni başlanğıc qiymət. İndi oxucularımızı bu dilə çevirək. Qoy iks keçən günlərin sayı olsun, igrek isə oxucunun çatdığı səhifə. Aysel qırxıncı səhifədən başlayır və hər gün iyirmi səhifə irəliləyir. Deməli, onun bucaq əmsalı iyirmi, sərbəst əmsalı qırxdır. Muradın planında başlanğıc ondur, hər günkü dəyişmə isə yenə iyirmidir. Onun da bucaq əmsalı iyirmidir, sərbəst əmsalı isə on. Bunu təsəvvürdə bir şəklə çevirək. Üfüqi ox, yəni absis oxu boyunca günləri sayırıq, şaquli ox, yəni ordinat oxu boyunca səhifələri. Oxucunun hər günü bir nöqtədir və keçən dərsdən bilirik ki, bu nöqtələr bir düz xəttə düzülür. Aysel üçün bir xətt, Murad üçün başqa bir xətt. Ayselin xətti şaquli oxu qırx nöqtəsində kəsir, Muradın xətti isə on nöqtəsində. Hər iki xətt üfüqi oxla eyni bucaq əmələ gətirir, çünki ikisi də hər gün eyni qədər, iyirmi səhifə irəliləyir. İndi əsas suala gəlirik. Bir müstəvidə iki düz xətt necə yerləşə bilər? Cəmi üç cür. Birinci hal: bir nöqtədə kəsişirlər. İkinci hal: paraleldirlər, yəni heç vaxt görüşmürlər. Üçüncü hal: üst-üstə düşürlər, yəni əslində eyni xəttdirlər. Dərslik bu üç halı sadalayır və vacib bir şey deyir: hansı halın olduğunu xətləri çəkmədən, düsturlara baxıb bilmək olar. Gəl, bunu Muradın planında yoxlayaq. Muradın planını gün-gün izləyək. Başlanğıcda Aysel qırxıncı səhifədədir, Murad onuncu. Aralarında otuz səhifə var. Birinci günün axşamı Aysel altmışıncı səhifədədir, Murad otuzuncu. Fərq yenə otuzdur. İkinci günün axşamı Aysel səksəninci səhifədədir, Murad əllinci. Fərq yenə otuz. Niyə fərq dəyişmir? Çünki hər gün ikisi də eyni iyirmi səhifəni əlavə edir. Aysel nə qədər irəli gedirsə, Murad da o qədər irəli gedir. Aradakı otuz səhifə isə yerində qalır: sabah da, bir həftə sonra da, bir ay sonra da. Deməli, Murad Ayseli heç vaxt tuta bilməyəcək. Planındakı gizli səhv budur. Şəkildə bu belə görünür: iki xətt arasındakı şaquli məsafə hər yerdə eynidir, otuz səhifə. Belə xətlər heç vaxt kəsişmir, onlar paraleldir. Qaydanı yadda saxla: bucaq əmsalları eyni, sərbəst əmsallar isə fərqlidirsə, qrafiklər paraleldir və onların heç bir ortaq nöqtəsi yoxdur. Dərslikdə bucaq əmsalı a hərfi ilə yazılır, biz isə ka deyirik. Məna eynidir. Burada çox yayılmış bir tələ var. Bəziləri belə düşünür: «Başlanğıclar fərqlidir, deməli, xətlər haradasa kəsişəcək.» Xeyr. Sərbəst əmsalların fərqli olması kəsişmək üçün səbəb deyil. Bucaq əmsalları eyni olan iki xətt kəsişən çəkilibsə, bil ki, şəkil səhvdir. Murad da bunu başa düşür və planını dəyişir: «Yaxşı, mən gündə otuz səhifə oxuyacağam.» İndi bucaq əmsalları fərqlidir: Muradınkı otuz, Ayselinki iyirmi. Yenə gün-gün baxaq. Başlanğıcda fərq otuz səhifədir. Murad hər gün Ayseldən on səhifə artıq oxuyur, ona görə fərq hər gün on səhifə azalır. Birinci günün axşamı fərq iyirmi olur, ikinci günün axşamı on, üçüncü günün axşamı isə sıfır. Deməli, üçüncü günün axşamı ikisi də eyni səhifədədir. Hansı səhifədə? Hər iki qaydaya qoyub yoxlayaq. Murad: on üstəgəl üç dəfə otuz, yüz. Aysel: qırx üstəgəl üç dəfə iyirmi, yenə yüz. Hər ikisi yüzüncü səhifədədir. Üç gün və yüz səhifə: bu nöqtə hər iki qaydanı ödəyir. Bu, iki qrafikin ortaq nöqtəsidir, onların kəsişmə nöqtəsi. Bəs dördüncü gün? Murad yüz otuzuncu səhifədə olacaq, Aysel yüz iyirminci. Murad artıq öndədir və fərq hər gün on səhifə böyüyür. Onlar bir daha eyni səhifədə olmayacaqlar. Bucaq əmsalları fərqli olan iki düz xətt yalnız bir nöqtədə kəsişir. İndi maraqlı bir hala baxaq. Sinif yoldaşları Nigar da eyni kitabı oxuyur. O da Aysel kimi qırxıncı səhifədən başlayır, amma gündə otuz səhifə oxuyur. Başlanğıc eynidir, sürət fərqlidir. Onlar nə vaxt eyni səhifədə olurlar? Yalnız lap əvvəldə, hələ heç bir gün keçməmiş, yəni iks sıfır olanda. Sonra Nigar irəli gedir və onlar bir daha görüşmürlər. Qrafikdə bu ortaq nöqtə şaquli oxun üstündədir, qırx səviyyəsində. Buradan ikinci tələ çıxır. «Sərbəst əmsallar eynidir, deməli, xətlər üst-üstə düşür.» Bu, səhvdir. Sərbəst əmsallar eyni, bucaq əmsalları fərqli olanda xətlər yenə kəsişir, sadəcə kəsişmə nöqtəsi şaquli oxun üstünə düşür. Dərslik bunu belə deyir: bucaq əmsalları fərqlidirsə, xətlər bir nöqtədə kəsişir, sərbəst əmsallar isə fərqli də ola bilər, eyni də. Üçüncü tələ işarə ilə bağlıdır. Aysel hər axşam iki ədəd yazır: çatdığı səhifəni və kitabın sonuna neçə səhifə qaldığını. Birincisi hər gün iyirmi artır, ikincisi hər gün iyirmi azalır. Birinin bucaq əmsalı iyirmidir, o birininki mənfi iyirmi. Ədədlər oxşayır, amma bu xətlər paralel deyil. Birinci xətt absis oxunun müsbət istiqaməti ilə iti bucaq əmələ gətirir, ikincisi kor bucaq. Onlar kəsişir. Harada? Ayselin kitabın tam ortasına çatdığı gün: o gün oxuduğu səhifələrlə qalan səhifələr bərabər olur. İndi sonuncu hala gəlirik. Aysel hər axşam kitabı kiçik qardaşı Elçinə ucadan oxuyur. Elçin ayrıca oxumur, bacısını dinləyir və onlar qırxıncı səhifədən birlikdə başlayıblar. Deməli, Elçinin də başlanğıcı qırx, hər günkü irəliləməsi iyirmi səhifədir. Bucaq əmsalları eyni, sərbəst əmsallar da eyni. Onlar hər gün eyni səhifədədirlər. Onların qrafikləri üst-üstə düşür: əslində bu, eyni xəttdir. Bu xəttin hər nöqtəsi hər iki qaydanı ödəyir, ona görə ortaq nöqtələr sonsuz saydadır. Qaydanı yadda saxla: bucaq əmsalları eyni, sərbəst əmsallar da eynidirsə, qrafiklər üst-üstə düşür. Burada kiçik bir tələ də var. Aysel öz planını belə yazır: qırx üstəgəl iyirmi iks. Elçin isə belə: iyirmi iks üstəgəl qırx. Toplananların yeri dəyişib, amma funksiya eynidir. Bucaq əmsalı həmişə iksə vurulan ədəddir, birinci yazılan ədəd deyil. Düstur başqa şəkildə yazılıbsa, əvvəlcə onu tanış şəklə gətir: igrek bir tərəfdə, iksin əmsalı və sərbəst hədd o biri tərəfdə. Sonra müqayisə et. İndi özünü yoxla. Üç sual verəcəyəm, hər birindən sonra bir az fikirləş. Birinci sual: iki xəttin bucaq əmsallarının ikisi də beşdir, sərbəst əmsalları isə bir və yeddi. Bu xətlər necə yerləşir? Paraleldirlər, çünki bucaq əmsalları eyni, sərbəst əmsallar fərqlidir. İkinci sual: bucaq əmsalları altı və mənfi altıdır, sərbəst əmsalların ikisi də səkkizdir. Xətlər necə yerləşir və ortaq nöqtə haradadır? Kəsişirlər, çünki altı ilə mənfi altı fərqli ədədlərdir. Sərbəst əmsallar eyni olduğu üçün ortaq nöqtə şaquli oxun üstündədir, səkkiz səviyyəsində. Üçüncü sual: iki düz xəttin tam iki ortaq nöqtəsi ola bilərmi? Ola bilməz. Keçən dərsdən bilirik ki, iki nöqtədən yalnız bir düz xətt keçir. İki ortaq nöqtəsi olan iki xətt elə eyni xətt olur, yəni üst-üstə düşür. Deməli, iki düz xəttin ortaq nöqtələri ya heç yoxdur, ya bircədir, ya da sonsuz saydadır. İndi yay axşamına, Aysellə Murada qayıdaq. Muradın ilk planı, gündə iyirmi səhifə, onu heç vaxt Ayselə çatdırmazdı: sürət eyni, başlanğıc fərqli, xətlər paralel. İkinci plan, gündə otuz səhifə, onları bir dəfə görüşdürür: üçüncü günün axşamı, yüzüncü səhifədə. Elçin isə bacısı ilə həmişə eyni səhifədədir, çünki onların xətti eynidir. Üçüncü günün axşamı telefon yenə titrəyir. Murad yazır: «Yüzüncü səhifədəyəm!» Aysel gülümsəyir: «Mən də.» Və onlar nəhayət eyni fəsli birlikdə müzakirə edirlər. Bu dərsdən bir fikri yadda saxla. İki xətti funksiyanın qrafiklərini müqayisə edəndə əvvəlcə bucaq əmsallarına bax. Fərqlidirsə, xətlər yalnız bir nöqtədə kəsişir. Eynidirsə, sərbəst əmsallara bax: onlar fərqlidirsə, xətlər paraleldir və heç vaxt görüşmür; onlar da eynidirsə, xətlər üst-üstə düşür. Bir şeyi də unutma: əsl kitab bir gün bitir, xətt isə sonsuzadək davam edir. Hekayə yalnız qaydanı görmək üçündür. Kəsişmə nöqtəsini hesablama ilə tapmağı növbəti mövzularda öyrənəcəksən. Qrafikləri öz gözünlə görmək istəsən, bu mövzunun oxu dərsindəki qrafik laboratoriyasını aç. Dinlədiyin üçün təşəkkür edirəm. Növbəti dərsdə görüşənədək!