Birhədlilərin nisbəti

• 2.20
• 7-ci sinif
• Birhədlilər

Birhədlilərin nisbəti

14x6y4 birhədlisini 2x2y birhədlisinə necə bölək? Bölməni kəsr kimi yazıb ixtisar edirik: eyni vuruqlar cüt-cüt silinir və qalan 7x4y3 olur.

Bu dərsdə

• eyni əsaslı qüvvətləri böləndə üstlərin niyə çıxıldığını ixtisarla izah edəcəksən;
• birhədlini birhədliyə böləcəksən: əmsalları bölüb, hər hərfin üstlərini çıxacaqsan;
• nisbəti əvvəl sadələşdirib qiymətini tapacaq, naməlum vuruğu bölmə ilə tapacaq və qismətin nə vaxt birhədli olmadığını görəcəksən.

14x⁶y⁴ : 2x²y kəsr kimi yazılır və ixtisar olunur: 7x⁴y³

Başla Yenidən Yenidən

1. İxtisar
2. Qüvvətlərin nisbəti
3. Birhədliyə bölmə
4. Diqqət
5. Həyatda
6. Özünü yoxla
7. Yekun

1 · Kəşf et

Bölmə — kəsrin ixtisarıdır

Bölməni kəsr xətti ilə də yazmaq olar: a : b = ab / . Dərslik ixtisarı belə tərif edir: «Kəsrin surət və məxrəcinin vahiddən fərqli ortaq vuruğa bölünməsinə kəsrin ixtisarı deyilir.»

Ədədlə xatırlayaq: 3042 / = 6 · 56 · 7 / = 57 / — ortaq vuruq 6 həm surətdən, həm məxrəcdən silindi, çünki 6 : 6 = 1.

Qüvvət də vuruqlardan ibarətdir: a8 səkkiz dənə a vuruğudur. Deməli, a8 : a3-ü kəsr kimi yazıb surətdəki və məxrəcdəki a-ları cüt-cüt ixtisar edə bilərik. Hər cüt aa / = 1-dir. Bunun üçün a ≠ 0 olmalıdır: sıfıra bölmək olmaz.

Hansı nisbətə baxaq? (a ≠ 0)

a8 : a3 a5 : a a4 : a4 a2 : a5

aᵐ : aⁿ kəsr kimi: eyni vuruqlar cüt-cüt ixtisar olunur

a8 : a3: məxrəcdəki 3 a-nın hər biri surətdəki bir a ilə ixtisar olunur. Surətdə 8 − 3 = 5 vuruq qalır: a8 : a3 = a5.

a5 : a: a-nın üstü yazılmayıb, o, 1-dir: a = a1. Bir cüt ixtisar olunur, 5 − 1 = 4 vuruq qalır: a5 : a = a4.

a4 : a4: bütün 4 cüt ixtisar olunur. Hər cüt 1-dir, 1 · 1 · 1 · 1 = 1: a4 : a4 = 1 — 0 yox, 1 qalır.

a2 : a5: 2 cüt ixtisar olunur, amma məxrəcdə 3 a artıq qalır: a2 : a5 = 1a3 / . Hərf məxrəcdə qaldığı üçün bu, birhədli deyil. Ona görə qaydada bölünənin üstü böyük götürülür.

Lime çəp xətt bir surət vuruğunu bir məxrəc vuruğu ilə ixtisar edir; rəngli fon qalan vuruqları göstərir.

Hər dəfə ixtisar olunan cütlərin sayı kiçik üstə bərabərdir. Ona görə surətdə qalan vuruqların sayı böyük üst − kiçik üst olur.

2 · Qayda

Eyni əsaslı qüvvətlərin nisbəti

Yadda saxla

Dərslikdə: «Sıfırdan fərqli istənilən a rasional ədədi və m, n natural ədədləri (m > n) üçün

am : an = am−n

Bərabərliyin tərəflərinin yerini dəyişmək olar: am−n = am : an.»

Əsas eyni qalır, üstlər çıxılır: bölünənin üstündən bölənin üstü.

a⁸ : a³ = a⁵ yazılışının hissələri

a8 : a3 = a5: üç cüt ixtisar olunur, beş vuruq qalır.

Əsas mənfi ədəd də ola bilər: (−6)9 : (−6)7 = (−6)2 = 36. Qayda üstləri çıxır; qiymətin işarəsini isə alınan üst həll edir — cüt üstdə müsbət.

Sıfır üst

a0 = 1

Dərslikdə: 1 = an : an = an−n = a0 (a ≠ 0). Məsələn, t5 : t5 = t0 = 1.

Üst yazılmayıbsa

a = a1

Ona görə a5 : a = a5−1 = a4.

Ardıcıl bölmə

310 : 34 : 3 = 35

Soldan sağa bölünür, hər bölənin üstü çıxılır: 10 − 4 − 1 = 5.

3 · Hesabla

Birhədlini birhədliyə bölmək

Birhədli ədəd və hərf vuruqlarının hasilidir, ona görə kəsrdə ədədlər ədədlərlə, hər hərf öz hərfi ilə ixtisar olunur. Dəyişənlər sıfırdan fərqlidir.

1. ƏmsalƏmsalları böl; işarəni bölmənin işarə qaydası ilə tap.
2. ÜstHər hərf üçün bölünənin üstündən bölənin üstünü çıx.
3. HərfÜstlər bərabərdirsə hərf itir (a0 = 1); bölündə olmayan hərf olduğu kimi qalır.
4. CavabNəticəni standart şəkildə yaz.

Üstlər cədvəli: −32a⁷b²c : (8a³b²) = −4a⁴c

Başla Yenidən Yenidən

Üstlər cədvəli: hər sütun ayrıca hesablanır.

Nümunə 1Sütun-sütun

a ≠ 0, b ≠ 0. Nisbəti tapın: −32a7b2c : (8a3b2)

1. Əmsal−32 : 8 = −4 (mənfi : müsbət = mənfi).
2. Üsta: 7 − 3 = 4; b: 2 − 2 = 0, yəni b0 = 1 — b itir.
3. Hərfc bölündə yoxdur, ona görə olduğu kimi qalır.
4. Yoxla vurma ilə: 8a3b2 · (−4a4c) = −32a7b2c. −32a7b2c : (8a3b2) = −4a4c

Nümunə 2Kəsr şəklində

x ≠ 0, y ≠ 0. Kəsri ixtisar edin: −9x3y76x3y2 /

1. Əmsal−9 : 6 = −1,5.
2. Hərfx3 həm surətdə, həm məxrəcdə var: 3 − 3 = 0, x itir.
3. Üsty: 7 − 2 = 5. −9x3y76x3y2 / = −1,5y5

Nümunə 3Ədədi qiymət

Hesablayın: 511 · 25512 /

1. 25-i əsası 5 olan qüvvət kimi oxu: 25 = 52.
2. Surət: 511 · 52 = 513 (hasildə üstlər toplanır).
3. Nisbət: 513 : 512 = 51 = 5. Cavab: 5

Nümunə 4Əvvəl sadələşdir

x = −2, y = 5 olduqda 8x6y3 : (2x3y2) ifadəsinin qiymətini tapın.

1. Əvvəl sadələşdir: 8 : 2 = 4; x: 6 − 3 = 3; y: 3 − 2 = 1. Nisbət 4x3y-dir.
2. İndi qiymətləri yaz: (−2)3 = −8 (tək üst — mənfi), 4 · (−8) · 5 = −160. (−2)6 və 53-ü ayrıca hesablamağa ehtiyac qalmadı. Cavab: −160

Nümunə 5Naməlum vuruq

m ≠ 0, n ≠ 0. Hansı birhədli * yerinə yazılmalıdır: * · 4m3n = 36m7n4?

1. Naməlum vuruq = hasil : məlum vuruq: * = 36m7n4 : 4m3n.
2. 36 : 4 = 9; m: 7 − 3 = 4; n: 4 − 1 = 3.
3. Yoxla: 9m4n3 · 4m3n = 36m7n4. * = 9m4n3

Qismət həmişə birhədli olmur. Hərfin üstü bölündə böyükdürsə və ya hərf bölünəndə yoxdursa, o hərf məxrəcdə qalır:

8m3 : (2m5) = 4m2 / ,14x5 : (7x2z) = 2x3z / .

Dərslik belə cavabları kəsr şəklində saxlayır. Bunlar birhədli deyil, çünki birhədlidə hərf məxrəcdə olmur.

Nisbətin dərəcəsi. Qismət birhədli olanda hər hərfin üstü çıxılır, ona görə dərəcələr də çıxılır:

14x6y4 (dərəcə 10) : 2x2y (dərəcə 3)= 7x4y3 (dərəcə 7 = 10 − 3).

4 · Diqqət

Dörd tez-tez edilən səhv

Bütün nümunələrdə dəyişənlər sıfırdan fərqlidir.

Üstləri bölmək

Səhv

x14 : x2 = x7

Üstlər bölünüb: 14 : 2.

Düz

x14 : x2 = x12

İki cüt ixtisar olunur: 14 − 2 = 12.

Əmsalları çıxmaq

Səhv

28y7 : 7y3 = 21y4

Üst kimi əmsal da çıxılıb: 28 − 7.

Düz

28y7 : 7y3 = 4y4

Əmsallar bölünür (28 : 7 = 4), yalnız üstlər çıxılır.

Bərabər qüvvətlər

Səhv

y6 : y6 = 0

«Hər şey silindi, heç nə qalmadı» düşüncəsi.

Düz

y6 : y6 = y0 = 1

Ədədi özünə bölmək 1 verir.

y⁶ : y⁶ = 1

İxtisar olunan hər cüt 1-dir; vahidlərin hasili 1-dir.

Ardıcıl bölmənin sırası

Səhv

m12 : m5 : m2 = m9

Əvvəl m5 : m2 bölünüb: 12 − (5 − 2).

Düz

m12 : m5 : m2 = m5

Soldan sağa: 12 − 5 − 2 = 5.

Bir də: əsas dəyişmir. 69 : 64 = 65-dir, 15 yox — əsasları bölmək olmaz.

5 · Həyatda

Günəş işığından meqabayta

Günəş işığı Yerə təqribən 500 saniyəyə çatır

Vaxt = məsafə : sürət. Şəkil miqyassızdır; ədədlər təqribidir.

Günəşİşıq neçə saniyəyə çatır?

Günəşdən Yerə qədər məsafə təqribən 1,5 · 108 km, işığın sürəti isə təqribən 3 · 105 km/s-dir. Günəş işığı Yerə neçə saniyəyə çatır?

1. Vaxt = məsafə : sürət = 1,5 · 108 : (3 · 105).
2. Əmsal1,5 : 3 = 0,5; Üst 108 : 105 = 103 — birhədlilərdə olduğu kimi.
3. 0,5 · 103 = 500 s, yəni təqribən 8 dəqiqə 20 saniyə. ≈ 500 s

Kompüterdə yaddaş. İnformatikada 1 kilobayt = 210 bayt, 1 meqabayt = 220 bayt, 1 qiqabayt = 230 bayt. 1 meqabaytda neçə kilobayt var?

220 : 210 = 220−10 = 210= 1024 kilobayt;1 qiqabaytda:230 : 220 = 210 = 1024 meqabayt.

Hər addımda vahid 210 dəfə böyüyür — böyük ədədləri vurmadan, sadəcə üstləri çıxıb tapırıq.

6 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Bütün suallarda dəyişənlər sıfırdan fərqlidir.

1. Asan z11 : z3 = ? Cavab variantları z14 z8 18 Düzdür! 11 − 3 = 8, əsas eyni qalır. Bölmədə üstlər toplanmır və əsas bölünmür: əsas z qalır, üstlər çıxılır. Həllə bax Üç cüt ixtisar olunur: z11 : z3 = z11−3 = z8.
2. Asan (−3)7 : (−3)4 ifadəsinin qiyməti? Cavab variantları 27 −9 −27 Əla! (−3)3 = −27. Əvvəl üstləri çıx: 7 − 4 = 3. (−3)3 — üç mənfi vuruq, işarəni say; «−3 · 3» isə qüvvət deyil. Həllə bax (−3)7 : (−3)4 = (−3)3 = (−3) · (−3) · (−3) = −27. Tək üstdə mənfi əsasın qüvvəti mənfidir.
3. Orta 21m8n5 : (−3m7n2) = ? Cavab variantları −7mn3 7mn3 −7n3 −7m15n7 Düzdür! m-in üstü 1 qalır. Üç şeyi yoxla: müsbət : mənfi = mənfi; 8 − 7 = 1, yəni m itmir; bölmədə üstlər toplanmır. Həllə bax 21 : (−3) = −7; m: 8 − 7 = 1; n: 5 − 2 = 3. Cavab −7mn3.
4. Orta 15x0y3 : (5y3) = ? Cavab variantları 3x 3 0 10 Əla! x0 = 1 və y3 : y3 = 1. x0 — x deyil, 1-dir; y3 : y3 də 0 yox, 1-dir; əmsallar isə bölünür. Həllə bax x0 = 1, ona görə bölünən 15y3-dür. 15 : 5 = 3; y: 3 − 3 = 0, y0 = 1. Cavab 3.
5. Çətin p9 · p3 : p7 : p ifadəsini qüvvət şəklində yazın. Cavab variantları p6 p4 p20 Düzdür! Hasildə toplanır, bölmədə çıxılır, soldan sağa. Soldan sağa get: vurmada üstü topla, hər bölmədə çıx; p = p1. Həllə bax p9 · p3 = p12; p12 : p7 = p5; p5 : p = p4. p6 cavabı əvvəl p7 : p bölünəndə (yanlış sıra), p20 isə bütün üstlər toplananda alınır.
6. Çətin 312 : 9 ifadəsini əsası 3 olan qüvvət şəklində yazın. Cavab variantları 33 36 310 Əla! 9 = 32, sonra 12 − 2 = 10. Əvvəl 9-u əsası 3 olan qüvvət kimi yaz; sonra üstləri çıx (9-u yox, onun üstünü). Həllə bax 9 = 32, ona görə 312 : 32 = 312−2 = 310. 33 cavabı 12-dən 9 çıxanda, 36 isə 12 : 2 bölünəndə alınır.

7 · Yekun

Üç şeyi yadda saxla

• am : an = am−na ≠ 0, m > n: eyni vuruqlar cüt-cüt ixtisar olunur, ona görə üstlər çıxılır.
• a0 = 1Bərabər qüvvətlərin nisbəti 1-dir, 0 deyil; üstü bərabər olan hərf nəticədən itir.
• Əmsal : əmsal, üst − üstBirhədlini birhədliyə böləndə əmsallar bölünür, hər hərfin üstləri çıxılır; hərf məxrəcdə qalırsa, qismət birhədli deyil.

Növbəti mövzu: 2.21 Birhədlilərin hasilinin və nisbətinin qüvvətə yüksəldilməsi

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7-ci sinif», «Birhədlilərin nisbəti», səh. 83–85: kəsrin ixtisarı tərifi, am : an = am−n qaydası və şərtləri, a0 = 1; birhədli, əmsal və dərəcə anlayışları — səh. 78–79. Hərfin məxrəcdə qaldığı hallar dərsliyin çalışma cavablarındakı kimi kəsr şəklində yazılıb. Nümunələrdəki, laboratoriyadakı və yoxlama suallarındakı bütün ədədlər bu dərs üçün seçilib; Günəşə qədər məsafə və işığın sürəti təqribi ümumi məlumatdır, informatika vahidləri ümumi bilikdir.