Kvadrat tənliklərin vuruqlara ayırma üsulu ilə həlli

• 3.10
• 8-ci sinif
• Kvadrat tənliklər

Kvadrat tənliklərin vuruqlara ayırma üsulu ilə həlli

x2 + 7x + 6 = 0 tənliyini düstursuz həll etmək olarmı? Bir böyük kvadrat kartdan, 7 zolaqdan və 6 kiçik kvadratdan düzbucaqlı qur: onun tərəfləri x + 1 və x + 6 olacaq. Köklər də elə oradadır: x = −1 və x = −6.

Bu dərsdə

• hasil sıfır olanda vuruqlardan birinin sıfır olduğunu işlədib vuruqlara ayrılmış tənliyi həll edəcəksən;
• hasili c-yə, cəmi b-yə bərabər iki ədəd taparaq üçhədlini vuruqlara ayıracaqsan — a ≠ 1 olanda da;
• ortaq vuruq, müxtəsər vurma düsturları və əvəzləmə ilə qısa yolu seçəcək, sahə məsələsini həll edəcəksən.

x² + 7x + 6 kartlarından qurulan düzbucaqlı

BaşlaYenidənYenidən

1. Kəşf et
2. Hasil sıfırdır
3. m və n
4. Hesabla
5. a ≠ 1
6. Qısa yollar
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kartlardan düzbucaqlı

Cəbr kartları üç növdür: tərəfi x olan böyük kvadrat (sahəsi x2), uzunu x, eni 1 olan zolaq (sahəsi x) və tərəfi 1 olan kiçik kvadrat (sahəsi 1). Deməli, x2 + 7x + 6 — bir böyük kvadrat, 7 zolaq və 6 kiçik kvadratdır.

Qayda belədir: böyük kvadratı bir küncə, kiçik kvadratları onun qarşı küncünə düzbucaqlı şəklində qoyuruq, aradakı boşluqları zolaqlarla doldururuq. Bütün kartlar boşluqsuz və artıqsız yerləşsə, alınan düzbucaqlının sahəsi üçhədliyə, tərəfləri isə onun vuruqlarına bərabərdir. Kiçik kvadratları iki cür düzmək olar — yoxla:

6 kiçik kvadratı necə düzək?

1 sıra × 6 2 sıra × 3

6 kiçik kvadratın iki düzülüşü

1 × 6: kiçik kvadratlar 1 sıra, 6 sütundur. Onları böyük kvadratla birləşdirmək üçün 1 + 6 = 7 zolaq lazımdır — bizdə də 7 var. Düzbucaqlı alındı: x2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 6).

2 × 3: kiçik kvadratlar 2 sıra, 3 sütundur. Boşluqlara 2 + 3 = 5 zolaq lazımdır, bizdə isə 7 var — 2 zolaq artıq qalır. Bu kartlarla düzbucaqlı alınmır.

Kiçik kvadratlar m × n düzülübsə, düzbucaqlını tamamlamaq üçün m + n zolaq lazımdır.

Müşahidə. Kiçik kvadratlar m sıra × n sütun düzülübsə, onların sayı m · n, lazım olan zolaqların sayı isə m + n-dir. Deməli, x2 + 7x + 6 üçün hasili 6, cəmi 7 olan iki ədəd lazım idi: 1 və 6.

2 · Qayda

Hasil sıfırdırsa

Yadda saxla

İki ədədin hasili sıfıra bərabərdirsə, onlardan heç olmasa biri sıfırdır. Tərsinə, vuruqlardan biri sıfırdırsa, hasil də sıfırdır.

A · B = 0 ⇔ A = 0 və ya B = 0

Kartlar x2 + 7x + 6 = 0 tənliyini (x + 1)(x + 6) = 0 şəklinə saldı. Burada A = x + 1, B = x + 6:

x + 1 = 0 və ya x + 6 = 0.Buradan, x1 = −1; x2 = −6.

Yoxlama: (−1)2 + 7 · (−1) + 6 = 1 − 7 + 6 = 0; (−6)2 + 7 · (−6) + 6 = 36 − 42 + 6 = 0.

Nümunə 1Hər vuruğu sıfıra bərabər et

Tənliyi həll edin: (x + 3)(5x − 1) = 0.

1. Birinci vuruq: x + 3 = 0, buradan x = −3.
2. İkinci vuruq: 5x − 1 = 0, yəni 5x = 1 və x = 1 : 5 = 0,2. x1 = −3; x2 = 0,2

Diqqət: xassə yalnız sağ tərəf sıfır olanda işləyir. (x + 1)(x + 6) = 8 yazılışından «x + 1 = 8 və ya x + 6 = 8» çıxmır — hasil 8 olanda vuruqların heç biri 8 olmaya bilər. Əvvəlcə hədlərin hamısını bir tərəfə keçirib sağda 0 alırıq.

3 · Qayda

Hasili c, cəmi b olan iki ədəd

Yadda saxla

x2 + bx + c üçhədlisini vuruqlara ayırmaq üçün elə iki m və n ədədi tapılır ki, onların hasili c-yə, cəmi isə b-yə bərabər olsun:

m · n = c, m + n = b ⇒ x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

b və c tam ədədlərdirsə, m və n c-nin bölənləri arasında axtarılır.

(x + m)(x + n) düzbucaqlısının hissələri

Zolaq hissələri birlikdə (m + n)x, künc hissə m · n verir — kartlarda gördüyümüz kimi.

Niyə belədir? Mötərizələri açıb yoxlayaq — orta həddi iki həddə ayırıb qruplaşdırırıq:

x2 + bx + c = x2 + (m + n)x + mn = x2 + mx + nx + mn = x(x + m) + n(x + m) = (x + m)(x + n).

İşarələr axtarışı qısaldır. Kartlar yalnız müsbət ədədləri göstərir, qayda isə istənilən işarədə işləyir:

b və c-nin işarələrinə görə dörd hal

c > 0

m, n eyni işarəli

b > 0 olsa, ikisi də müsbət; b < 0 olsa, ikisi də mənfidir.

c < 0

m, n müxtəlif işarəli

Modulu böyük olan ədəd b-nin işarəsini alır.

4 · Hesabla

Cədvəllə axtarış

Bölənləri cədvələ yazıb hər cütün cəmini hesablayırıq. Cəmi b-yə bərabər olan cüt tapılan kimi dayanırıq.

Nümunə 2b mənfi, c müsbət

Tənliyi həll edin: x2 − 9x + 8 = 0.

1. c = 8 > 0, b = −9 < 0 — iki mənfi ədəd axtarırıq. 8-in vuruqları və onların cəmi 8-in vuruqları Vuruqların cəmi −1 və −8 −9 −2 və −4 −6
2. Ədədlər −1 və −8: x2 − 9x + 8 = (x − 1)(x − 8) = 0.
3. x − 1 = 0 və ya x − 8 = 0. x1 = 1; x2 = 8

Nümunə 3c mənfi

Tənliyi həll edin: x2 + 2x − 48 = 0.

1. c = −48 < 0 — ədədlər müxtəlif işarəlidir; b = 2 > 0 — modulu böyük olan müsbətdir. −48-in vuruqları və onların cəmi −48-in vuruqları Vuruqların cəmi −1 və 48 47 −2 və 24 22 −3 və 16 13 −4 və 12 8 −6 və 8 2
2. Ədədlər −6 və 8: (x − 6)(x + 8) = 0.
3. x − 6 = 0 və ya x + 8 = 0. x1 = 6; x2 = −8

Yoxlama: 62 + 2 · 6 − 48 = 36 + 12 − 48 = 0.

5 · Qayda

Baş əmsal 1 deyilsə

Yadda saxla

ax2 + bx + c üçhədlisində elə m və n ədədləri axtarılır ki,

mn = ac, m + n = b

olsun. Sonra orta hədd bx = mx + nx kimi iki həddə ayrılır və hədlər qruplaşdırılır.

Nümunə 4Orta həddi ayır, qruplaşdır

Tənliyi həll edin: 2x2 − 7x − 4 = 0.

1. a = 2, b = −7, c = −4; ac = 2 · (−4) = −8. −8-in vuruqları və onların cəmi −8-in vuruqları Vuruqların cəmi 1 və −8 −7 −1 və 8 7 2 və −4 −2 −2 və 4 2
2. Orta həddi ayırırıq: 2x2 − 7x − 4 = 2x2 + x − 8x − 4.
3. Qruplaşdırırıq: x(2x + 1) − 4(2x + 1) = (2x + 1)(x − 4).
4. 2x + 1 = 0, buradan x = −0,5; x − 4 = 0, buradan x = 4. x1 = −0,5; x2 = 4

(2x + 1)(x − 4) hasilinin cədvəli

Cədvəl yoxlamadır: xanaların cəmi 2x2 + x − 8x − 4, orta xanalar birlikdə −7x. Mənfi hədlər uzunluq deyil, ona görə sxem miqyassızdır.

Nümunə 5Həmişə alınmır

x2 + 3x + 5 = 0 tənliyinin sol tərəfini vuruqlara ayırmaq olarmı?

1. Hasili 5, cəmi 3 olan tam ədədlər axtarırıq: 1 və 5 → cəm 6; −1 və −5 → cəm −6.
2. Uyğun cüt yoxdur. Tam ədədlərlə vuruqlara ayırmaq mümkün deyil

Belə tənliklərin başqa həll yollarını növbəti dərslərdə öyrənəcəksən.

6 · Qısa yollar

Tanış düsturlar dərhal vuruq verir

Bəzi tənliklərdə m və n axtarmağa ehtiyac yoxdur: ortaq vuruğu çıxarmaq və ya müxtəsər vurma düsturu tənliyi birbaşa vuruqlara ayırır.

Ortaq vuruq

5x2 + 8x = 0

x(5x + 8) = 0 → x = 0 və ya 5x = −8, x = −1,6.

Kvadratlar fərqi

4x2 − 9 = 0

(2x − 3)(2x + 3) = 0 → x = 1,5 və ya x = −1,5.

Fərqin kvadratı

x2 − 6x + 9 = 0

(x − 3)2 = 0 → x = 3. İki vuruq eynidir — tənliyin iki bərabər kökü var.

Əvəzləmə

(x − 5)2 + 2(x − 5) − 8 = 0

t = x − 5: t2 + 2t − 8 = (t + 4)(t − 2) = 0 → t = −4 və ya t = 2. x = t + 5 → x = 1 və ya x = 7.

Köklərdən tənlik

kökləri 1 və −9

Kök m-dirsə, vuruq x − m-dir: (x − 1)(x + 9) = 0, yəni x2 + 8x − 9 = 0.

7 · Diqqət

Üç tipik səhv

Kök mötərizədəki ədəd deyil

Səhv

(x − 2)(x + 9) = 0 → x = −2; 9

Mötərizədəki ədədlər işarəsi ilə köçürülüb.

Düz

x − 2 = 0 → x = 2; x + 9 = 0 → x = −9

Hər vuruğu sıfıra bərabər edib həll edirik: işarə dəyişir.

İki şərt birlikdə ödənməlidir

Səhv

x2 + 2x − 48: 4 və −12

Hasil −48-dir, amma cəm 4 + (−12) = −8, 2 deyil.

Düz

8 və −6

Hasil −48, cəm 2 — hər iki şərt ödənir.

x-ə bölmək kök itirir

Səhv

4x2 = 9x → 4x = 9 → x = 2,25

x = 0 da kökdür, bölmə onu itirdi.

Düz

4x2 − 9x = 0 → x(4x − 9) = 0 → x = 0; 2,25

Hamısını bir tərəfə keçirib ortaq vuruğu çıxarırıq.

8 · Həyatda

İki kvadrat hovuz

Parkda yan-yana iki kvadrat formalı hovuz tikilir. Birinin tərəfi digərininkindən 1 m uzundur, hovuzların ümumi sahəsi 145 m2 olmalıdır. Hər hovuzun tərəfi nə qədərdir?

Yan-yana iki kvadrat hovuz

BaşlaYenidənYenidən

Kvadratlar miqyasla çəkilib: tərəflərin nisbəti 8 : 9-dur.

1. x — kiçik hovuzun tərəfi (m), onda böyük hovuzun tərəfi x + 1.
2. Sahələrin cəmi: x2 + (x + 1)2 = 145. Cəmin kvadratı: x2 + x2 + 2x + 1 = 145.
3. 2x2 + 2x − 144 = 0; hər həddi 2-yə bölürük: x2 + x − 72 = 0.
4. Hasili −72, cəmi 1 olan ədədlər: 9 və −8. (x + 9)(x − 8) = 0.
5. x = −9 uzunluq ola bilməz, deməli x = 8. 8 m və 9 m

Yoxlama: 82 + 92 = 64 + 81 = 145. Divarların qalınlığı nəzərə alınmır.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan (x − 7)(4x + 1) = 0 tənliyinin kökləri hansılardır? Cavab variantları −7 və 0,25 7 və −0,25 7 və −1 Düzdür! Hər vuruğu sıfıra bərabər etdin. Hər vuruğu sıfıra bərabər et: x − 7 = 0 və 4x + 1 = 0 — sonra 4-ə bölməyi unutma. Həllə bax x − 7 = 0 → x = 7; 4x + 1 = 0 → 4x = −1 → x = −1 : 4 = −0,25.
2. Asan x2 + 6x − 7 üçhədlisini vuruqlara ayır. Cavab variantları (x − 7)(x + 1) (x + 7)(x + 1) (x + 7)(x − 1) Əla! 7 · (−1) = −7, 7 + (−1) = 6. Hasil −7, cəm isə 6 olmalıdır: hər variantda iki şərti yoxla. Həllə bax Hasili −7, cəmi 6 olan ədədlər 7 və −1-dir: x2 + 6x − 7 = (x + 7)(x − 1). (x − 7)(x + 1)-də cəm −6 olur, (x + 7)(x + 1)-də isə hasil +7.
3. Orta 3x2 + 7x + 2 = 0 tənliyini həll et. Cavab variantları −2 və −13 / −1 və −6 2 və 13 / Düzdür! ac = 6, ədədlər 1 və 6, sonra qruplaşdırma. m və n kök deyil — onlarla orta həddi ayır, qruplaşdır, sonra hər vuruğu sıfıra bərabər et. Həllə bax ac = 3 · 2 = 6; hasili 6, cəmi 7 olan ədədlər 1 və 6. 3x2 + x + 6x + 2 = x(3x + 1) + 2(3x + 1) = (3x + 1)(x + 2). 3x + 1 = 0 → x = −13 / ; x + 2 = 0 → x = −2.
4. Orta Kökləri 6 və −1 olan çevrilmiş kvadrat tənlik hansıdır? Cavab variantları x2 + 5x − 6 = 0 x2 − 7x − 6 = 0 x2 − 5x − 6 = 0 Düzdür! (x − 6)(x + 1) = x2 − 5x − 6. Kök m-dirsə, vuruq x − m-dir: (x − 6)(x + 1). Mötərizələri diqqətlə aç. Həllə bax (x − 6)(x + 1) = x2 + x − 6x − 6 = x2 − 5x − 6. x2 + 5x − 6 = 0-ın kökləri −6 və 1-dir; −7x isə modulları toplamaqdan yaranır.
5. Çətin (2x − 1)2 − 8(2x − 1) + 7 = 0 tənliyinin kökləri: Cavab variantları 1 və 7 1 və 4 0 və 3 Əla! t-ni tapdın və x-ə qayıtdın. t = 2x − 1 əvəzləməsindən sonra x-ə qayıtmaq lazımdır: 2x − 1 = t, yəni 2x = t + 1. Həllə bax t = 2x − 1: t2 − 8t + 7 = (t − 1)(t − 7) = 0 → t = 1 və ya t = 7. 2x − 1 = 1 → x = 1; 2x − 1 = 7 → 2x = 8, x = 4.

Xülasə

Yadda qalanlar

• A · B = 0Vuruqlardan biri sıfırdır: hər vuruğu sıfıra bərabər edib kökləri tap.
• mn = c, m + n = bx2 + bx + c = (x + m)(x + n); a ≠ 1 olanda mn = ac — orta həddi ayır və qruplaşdır.
• Qısa yollarOrtaq vuruq, kvadratlar fərqi, tam kvadrat, əvəzləmə; kök m → vuruq x − m.

Növbəti mövzu: 3.11 Tam kvadrat ayırmaqla kvadrat tənliklərin həlli

Mənbə: «Riyaziyyat» — 8-ci sinif üçün dərslik, «Kvadrat tənliklərin vuruqlara ayırma üsulu ilə həlli», səh. 50–54 (cəbr kartları, m · n = c və m + n = b qaydası, mn = ac qaydası). Nümunələrdəki tənliklər və ədədlər bu dərs üçün seçilib.