Kvadrat tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli

• 3.16
• 8-ci sinif
• Kvadrat tənliklər

Kvadrat tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli

Anbarda borular üçbucaq şəklində yığılıb: ən üst sırada 1 boru, hər aşağı sırada bir boru artıq. Cəmi 171 boru varsa, yığında neçə sıra var? Tənlik iki cavab verəcək — 18 və −19. Sıraların sayı isə yalnız biri ola bilər.

Bu dərsdə

• mətnli məsələni dörd mərhələdə kvadrat tənliyə çevirib həll edəcəksən;
• tənliyin köklərini məsələnin şərti ilə araşdırıb uyğun olmayanı atacaqsan;
• cavabı soruşulan kəmiyyətlə yazıb şərtdə yoxlayacaqsan.

Üçbucaq boru yığını: 171 boru, neçə sıra?

BaşlaYenidənYenidən

1. Kəşf et
2. Qayda
3. Hesabla
4. Diqqət
5. Həyatda
6. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Yığını tənliyə çevirək

Sıraları bir-bir toplamaq olar: 1 + 2 + 3 + … Amma 171-ə çatana qədər çox toplamalı olarıq. Əvvəlcə istənilən yığının borularını bir ifadə ilə yazaq.

Tutaq ki, yığında n sıra var. Onda ən alt sırada n boru olur və cəmi 1 + 2 + … + n boru var. Yığının eyni surətini çevirib yanına qoyaq: pillələr bir-birini tamamlayır və düzbucaqlı alınır.

İki eyni yığın birlikdə 18 × 19 düzbucaqlıdır

BaşlaYenidənYenidən

Narıncı — yığın, boz — onun çevrilmiş surəti. Birlikdə 18 sıra, hər sırada 18 + 1 = 19 xana. Bir yığın düzbucaqlının yarısıdır.

Deməli, n sıralı yığında n(n + 1) : 2 boru var. Borular 171 dənədirsə:

n(n + 1) : 2 = 171n(n + 1) = 342n2 + n − 342 = 0

Bu, kvadrat tənlikdir. Onun iki kökü var: 18 və −19 (həlli Nümunə 1-də). Maraqlıdır ki, −19 də bərabərliyi ödəyir: (−19) · (−18) : 2 = 171. Tənlik boruları görmür, yalnız ədədləri bilir. Hansı kökün məsələyə yaradığını biz yoxlayırıq.

2 · Qayda

Dörd mərhələ

Yadda saxla

Dərslik kvadrat tənliyə gətirilən məsələləri dörd mərhələdə həll edir:

1. məlumatların müəyyən edilməsi — məchulu x ilə işarə et, qalan kəmiyyətləri x ilə ifadə et;
2. tənliyin qurulması — şərtdəki bərabərliyi x ilə yaz;
3. tənliyin həll edilməsi — vuruqlara ayırma, köklər düsturu və ya Viyet teoremi ilə;
4. həllin araşdırılması — hər kökü məsələnin mənası ilə yoxla, uyğun olmayanı at.

4-cü mərhələ: köklər vəziyyətlə yoxlanır

Tənlik iki kök verir, cavabı isə vəziyyət seçir.

Dərslikdəki nümunədə 4-cü mərhələ belə yazılıb: «Uzunluq müsbət ədədlə ölçüldüyündən, tənliyin x = 8 kökü məsələnin həllinə uyğundur». Orada ikinci kök 0 idi — sıfır uzunluq da olmur.

Ölçü və vaxt

Uzunluq, sahə, sürət və vaxt müsbətdir: mənfi və sıfır kök atılır.

Say

Adamların, əşyaların, sıraların sayı natural ədəddir: mənfi və kəsr kök atılır.

Hissə və bütöv

Kəsilən və ya ayrılan hissə bütövdən böyük ola bilməz.

İki kök də

Şərt imkan verirsə, köklərin hər biri cavabdır — onda iki cavab yazılır.

3 · Hesabla

Dörd mərhələ — üç məsələ

Hər nümunədə addımın nömrəsi mərhələnin nömrəsidir.

Nümunə 1Boru yığını

Üçbucaq yığında 171 boru var: ən üst sırada 1, hər aşağı sırada bir boru artıq. Yığında neçə sıra var?

1. Məlumatlar. n — sıraların sayı. Ən alt sırada n boru, cəmi n(n + 1) : 2 boru.
2. Tənlik. n(n + 1) : 2 = 171. Hər tərəfi 2-yə vurub mötərizəni açırıq: n2 + n − 342 = 0.
3. Həll. D = 12 − 4 · 1 · (−342) = 1 + 1368 = 1369 = 372n = (−1 ± 37) : 2n1 = 18, n2 = −19
4. Araşdırma. Sıraların sayı natural ədəddir: −19 atılır, 18 qalır. Yoxlama: 18 · 19 : 2 = 342 : 2 = 171. Cavab: 18 sıra

Nümunə 2Eyni tənlik, iki sual

Ədədin kvadratından onun iki mislini çıxdıqda 63 alınır. Bu ədəd hansıdır, əgər a) ədəd tam ədəddirsə; b) ədəd natural ədəddirsə?

1. Məlumatlar. x — axtarılan ədəd; onun kvadratı x2, iki misli 2x.
2. Tənlik. x2 − 2x = 63, yəni x2 − 2x − 63 = 0.
3. Həll. Hasili −63, cəmi 2 olan iki ədəd axtarırıq (Viyet teoremi): 9 və −7. (x − 9)(x + 7) = 0x = 9 və ya x = −7
4. Araşdırma. İki kök də tənliyi ödəyir: 81 − 18 = 63, 49 + 14 = 63. Hansının cavab olduğunu şərt həll edir: Şərt Uyğun köklər a) tam ədəd 9 və −7 b) natural ədəd yalnız 9 Cavab: a) 9 və −7; b) 9

4-cü mərhələ «mənfi kökü at» demək deyil — kökləri şərtlə yoxlayırıq.

Nümunə 3Parkda cığırlar

Ölçüləri 57 m × 46 m olan çəmənlikdə tərəflərə paralel, eni eyni olan iki kəsişən cığır salınıb. Çəmənə 2420 m² qalıb. Cığırın eni nə qədərdir?

Çəmənlik 57 m × 46 m və iki kəsişən cığır

Plan miqyasla çəkilib; cığırın eni x.

Dörd çəmən hissəsi birləşdirilib

Dörd çəmən hissəsini sürüşdürüb birləşdiririk.

1. Məlumatlar. x — cığırın eni (m). Cığırları çıxarıb dörd çəmən hissəsini birləşdirsək, ölçüləri (57 − x) m və (46 − x) m olan düzbucaqlı alınır.
2. Tənlik. (57 − x)(46 − x) = 2420.
3. Həll. Mötərizələri açırıq: 2622 − 57x − 46x + x2 = 2420x2 − 103x + 202 = 0D = 1032 − 4 · 202 = 10 609 − 808 = 9801 = 992x = (103 ± 99) : 2x1 = 101, x2 = 2
4. Araşdırma. İki kök də müsbətdir, amma 101 m-lik cığır 46 m enli çəmənliyə sığmır: 46 − 101 mənfi «tərəf» verir. Deməli, x = 2. Yoxlama: (57 − 2)(46 − 2) = 55 · 44 = 2420. Cavab: cığırın eni 2 m

4 · Diqqət

Üç tipik səhv

Səhv

18 və −19 sıra

İki kökü birlikdə cavab yazmaq olmaz: sıraların sayı mənfi olmur.

Düzgün

18 sıra

4-cü mərhələdə −19 atılır.

Səhv

−19 → 19 sıra

Mənfi kökün işarəsini atmaq yeni ədəd uydurmaq deməkdir.

Düzgün

19 · 20 : 2 = 190 ≠ 171

19 tənliyin kökü deyil. Kök yalnız 18-dir.

Səhv

h = 9b

«Hündürlük oturacaqdan 9 dm uzundur» — bu, «9 dəfə uzundur» demək deyil.

Düzgün

h = b + 9

«… qədər uzun» toplama, «… dəfə» isə vurma ilə yazılır.

5 · Həyatda

Yelkən hansı ölçüdə olsun?

Usta üçbucaq formalı yelkən tikir. Yelkənin hündürlüyü oturacağından 9 dm uzun, sahəsi 5,51 m² olmalıdır. Oturacaq və hündürlük nə qədər olsun?

Üçbucaq yelkən: oturacaq b, hündürlük b + 9

Yelkəni düz kənarlı üçbucaq kimi götürürük; əsl yelkənin kənarı bir az qövsvari olur.

1. b — oturacaq (dm), hündürlük b + 9 (dm). Onluq kəsrlə hesablamamaq üçün sahəni dm²-lə yazırıq: 5,51 m² = 551 dm² (1 m² = 100 dm²).
2. b(b + 9) : 2 = 551, yəni b2 + 9b − 1102 = 0.
3. D = 81 + 4408 = 4489 = 672, b = (−9 ± 67) : 2, köklər 29 və −38.
4. Uzunluq müsbətdir: b = 29 dm. Yoxlama: 29 · 38 : 2 = 551.

Oturacaq 2,9 m, hündürlük 3,8 m

6 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Məsələdə x — avtobusdakı sərnişinlərin sayıdır. Tənliyin kökləri 8 və −6 alınıb. Məsələnin cavabı hansıdır? Cavab variantları 8 sərnişin 8 və −6 sərnişin 6 sərnişin Düzdür! Sərnişinlərin sayı natural ədəddir, mənfi kök atılır. Yox. Hər kökü şərtlə yoxla: sərnişinlərin sayı mənfi olmur, mənfi kökün işarəsini dəyişmək də olmaz. Həllə bax x = −6 mənasızdır, çünki sərnişinlərin sayı mənfi olmur. 6 isə tənliyin kökü deyil. Cavab: 8 sərnişin.
2. Asan Üçbucağın hündürlüyü oturacağından 3 sm qısadır, sahəsi 9 sm²-dir. Oturacağı b ilə işarə etsək, hansı tənlik düzgündür? Cavab variantları b(b − 3) : 2 = 9 b(b − 3) = 9 b(b + 3) : 2 = 9 3b · b : 2 = 9 Əla! Hündürlük b − 3, sahə isə oturacaqla hündürlüyün hasilinin yarısıdır. Yox. «3 sm qısa» — hündürlük b − 3 (çıxma, vurma deyil), üçbucağın sahəsi isə hasilin yarısıdır. Həllə bax Hündürlük b − 3. Sahə: b(b − 3) : 2 = 9, yəni b2 − 3b − 18 = 0; köklər 6 və −3. Uzunluq müsbətdir: oturacaq 6 sm, hündürlük 3 sm (6 · 3 : 2 = 9).
3. Orta Hansı tam ədədlərin kvadratı özünün 5 mislindən 6 vahid çoxdur? Cavab variantları 6 və −1 yalnız 6 −6 və 1 6 və 1 Düzdür! Tam ədəd mənfi də ola bilər — iki kök də yarayır. Yox. x² − 5x − 6 = 0 tənliyini həll et və hər kökü yoxla: şərt «tam ədəd» deyir, mənfi kök də yarayır. Həllə bax x2 = 5x + 6 → (x − 6)(x + 1) = 0 → 6 və −1. Yoxlama: 36 − 30 = 6; 1 − (−5) = 6. İkisi də tam ədəddir.
4. Orta Qabarıq çoxbucaqlının diaqonallarının sayı n(n − 3) : 2 düsturu ilə tapılır (n — təpələrin sayı). 5 diaqonalı olan çoxbucaqlı hansıdır? Cavab variantları beşbucaqlı ikibucaqlı iki cavab: n = 5 və n = −2 Bəli! n = 5: 5 · 2 : 2 = 5. Yox. n² − 3n − 10 = 0 tənliyinin köklərini tap: təpələrin sayı natural ədəddir və ən azı 3-dür. Həllə bax n(n − 3) = 10 → n2 − 3n − 10 = 0 → (n − 5)(n + 2) = 0 → 5 və −2. −2 atılır (təpələrin sayı mənfi olmur), 2 isə kök deyil. Cavab: beşbucaqlı.
5. Çətin İkirəqəmli ədədin onluq rəqəmi təklik rəqəmindən 3 vahid böyükdür. Ədəd öz rəqəmlərinin hasilindən 37 vahid çoxdur. Bu ədəd hansıdır? Cavab variantları 41 1 7 Əla! 41 − 4 · 1 = 37. Yox. Təklik rəqəmini x ilə işarə et: ədəd 10(x + 3) + x olur. Köklərdən birinin rəqəm vermədiyini yoxla və cavabda ədədin özünü yaz. Həllə bax x — təklik rəqəmi, onluq rəqəmi x + 3, ədəd 10(x + 3) + x = 11x + 30, rəqəmlərin hasili x(x + 3). 11x + 30 − x(x + 3) = 37 → x2 − 8x + 7 = 0 → x = 1 və ya x = 7. x = 7 olsa, onluq rəqəmi 10 olardı — bu, rəqəm deyil, kök atılır. x = 1: ədəd 41. Yoxlama: 41 − 4 · 1 = 37.

Yekun

Yadda qalanlar

• 1 → 2 → 3 → 4Məlumatlar, tənlik, həll, araşdırma — hər məsələdə eyni yol.
• Kök ≠ cavabHər kökü şərtlə yoxla: mənfi, kəsr və ya həddən böyük kök atılır; şərt imkan verirsə, iki kök də cavabdır.
• Cavab: …Soruşulan kəmiyyəti vahidi ilə yaz və onu şərtdə yoxla.

Növbəti mövzu: 3.17 Dördbucaqlılar

Mənbə: «Riyaziyyat» — 8-ci sinif üçün dərslik, «Kvadrat tənliklər» bölməsi, «Kvadrat tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli», səh. 67–68. Mərhələlərin adları və «Uzunluq müsbət ədədlə …» cümləsi oradan sitat gətirilib. Nümunələrdəki məsələlər və ədədlər bu dərs üçün tərtib olunub.