Nisbət, tənasüb, miqyas

• 3.38
• 8-ci sinif
• Fiqurların oxşarlığı

Nisbət, tənasüb, miqyas

Xəritədə evdən məktəbə qədər cəmi 7 sm-dir. Bəs həqiqətdə? Küncdəki 1 : 20 000 yazısı deyir ki, xəritədəki hər uzunluq həqiqi uzunluqdan 20 000 dəfə kiçikdir. Deməli, 7 sm · 20 000 = 140 000 sm = 1,4 km.

Bu dərsdə

• iki kəmiyyətin nisbətini eyni vahidlərlə yazıb sadələşdirəcəksən;
• tənasübün xassələri ilə naməlum həddi tapacaq, kəmiyyəti verilmiş nisbətdə iki və üç hissəyə böləcəksən;
• xəritə və planın miqyası ilə həqiqi ölçünü, çertyojdakı ölçünü və miqyasın özünü tapacaqsan.

Xəritədə 7 sm həqiqətdə 1,4 km-dir

Başla Yenidən Yenidən

1. Neçə dəfə?
2. Nisbət
3. Tənasüb
4. Naməlum hədd
5. Nisbətdə bölmə
6. Miqyas
7. Xəritə və plan
8. Diqqət
9. Həyatda
10. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Neçə dəfə?

Sinif otağının qapısının eni 80 sm, hündürlüyü 2 m-dir. Hündürlük enindən neçə dəfə böyükdür? Bu suala iki ədədin nisbəti cavab verir.

Əvvəlcə uzunluqları eyni vahidlə yazırıq: 2 m = 200 sm. İndi en ilə hündürlüyün nisbəti 80 : 200-dür. Hər iki ədədi 40-a bölək: 80 : 200 = 2 : 5.

Qapını 40 sm-lik xanalara bölsək, bu görünür: eni 2 xana, hündürlüyü 5 xana. Hündürlük enindən 5 : 2 = 2,5 dəfə böyükdür, en isə hündürlüyün 2/5 hissəsidir.

Vahidi unutsaq, 80 : 2 = 40 alınar — sanki qapının hündürlüyü enindən 40 dəfə kiçikdir. Belə qapı olmur: ədədlər fərqli vahidlərdə idi.

Qapının eni ilə hündürlüyünün nisbəti 2 : 5

Qapı həqiqi nisbətdə çəkilib: hər xana 40 sm.

2 · Qayda

Nisbət və onu sadələşdirmək

Yadda saxla

İki ədədin qisməti onların nisbətidir: a : b və ya a/b (b ≠ 0). Kəmiyyətlərin nisbətini tapanda onları eyni vahidlə ifadə edirik — onda nisbət vahidsiz ədəddir və birinci kəmiyyətin ikincidən neçə dəfə böyük olduğunu (və ya onun hansı hissəsi olduğunu) göstərir.

a : b = (a · k) : (b · k), k ≠ 0

Nisbətin hər iki həddini eyni ədədə vurmaq və ya bölmək nisbəti dəyişmir. Belə sadələşdiririk.

Onluq kəsrlər

0,9 : 1,2 = 3 : 4

10-a vururuq: 9 : 12, sonra 3-ə bölürük.

Adi kəsrlər

1/2 : 3/5 = 5 : 6

Məxrəclərin ortaq bölünəni 10-a vururuq: 5 : 6.

Sıra vacibdir

2 : 5 ≠ 5 : 2

Enin hündürlüyə nisbəti 2 : 5, hündürlüyün enə nisbəti 5 : 2.

3 · Qayda

Tənasüb və onun xassələri

İki nisbətin bərabərliyinə tənasüb deyilir: a : b = c : d. Burada a və d — kənar hədlər, b və c — orta hədlərdir.

Əsas xassə

Tənasübdə kənar hədlərin hasili orta hədlərin hasilinə bərabərdir:

a : b = c : d olarsa, ad = bc

Niyə? a/b = c/d bərabərliyinin hər iki tərəfini bd-yə vururuq: solda a · d, sağda c · b qalır.

Tərsinə də doğrudur: ad = bc (b, d ≠ 0) olarsa, a : b = c : d tənasübdür. Bununla bərabərliyin tənasüb olub-olmadığını yoxlayırıq.

Tənasübün əsas xassəsi: 8 · 21 = 14 · 12

Başla Yenidən Yenidən

8 : 14 = 12 : 21 tənasübdür: hər iki nisbət 4 : 7-yə bərabərdir, çarpaz hasillər də bərabərdir.

Dərslikdəki «Tənasübün xassələri» qutusunda əsas xassədən başqa üç forma da var. Hamısı a/b = c/d bərabərliyindən alınır; cədvəldə onları 8 : 14 = 12 : 21 tənasübü ilə yoxlayırıq.

a/b = c/d olarsa

4 · Hesabla

Tənasübün naməlum həddi

Tənasübün üç həddi məlumdursa, dördüncüsünü əsas xassə ilə tapırıq: tənasübü ad = bc şəklində yazırıq və alınan xətti tənliyi həll edirik.

Nümunə 1Naməlum kənar hədd

x : 12 = 5 : 8 tənasübündən x-i tapın.

1. Kənar hədlər x və 8, orta hədlər 12 və 5: 8x = 12 · 5 = 60.
2. x = 60 : 8 = 7,5. Yoxlama: 7,5 : 12 = 0,625 və 5 : 8 = 0,625. x = 7,5

Nümunə 2Qarışıq ədəd olan tənasüb

1,5 : x = 2¼ : 3 tənasübündən x-i tapın.

1. Qarışıq ədədi onluq kəsrə çeviririk: 2¼ = 2,25 (2/4 yox!).
2. Orta hədlər x və 2,25, kənar hədlər 1,5 və 3: 2,25x = 1,5 · 3 = 4,5.
3. x = 4,5 : 2,25 = 2. x = 2

Nümunə 3Hədlərdə ifadə

(x + 2) : 3 = (x − 1) : 2 tənasübündən x-i tapın.

1. Əsas xassə: 2(x + 2) = 3(x − 1).
2. Mötərizələri açırıq: 2x + 4 = 3x − 3, buradan x = 7.
3. Yoxlama: 9 : 3 = 3 və 6 : 2 = 3 — nisbətlər bərabərdir. x = 7

5 · Hesabla

Verilmiş nisbətdə bölmə

Kəmiyyəti a : b nisbətində bölmək — onu a + b bərabər hissəyə bölüb birinci paya a, ikinciyə b hissə vermək deməkdir. Üç pay da eyni qayda ilə bölünür.

1. Hissələrin sayı: nisbətin hədlərini topla.
2. Bir hissə: kəmiyyəti hissələrin sayına böl.
3. Hər pay: bir hissəni öz həddinə vur və cəmi yoxla.

Nümunə 4İki pay

88 kitab iki rəfə 3 : 8 nisbətində düzülüb. Hər rəfdə neçə kitab var?

1. Hissələr: 3 + 8 = 11; bir hissə: 88 : 11 = 8 kitab.
2. 3 · 8 = 24 və 8 · 8 = 64. Yoxlama: 24 + 64 = 88, 24 : 64 = 3 : 8. 24 və 64 kitab

Nümunə 5Üç pay

Beton qarışığında sement, qum və çınqılın kütlələri 1 : 3 : 6 nisbətindədir. 250 kq qarışıqda hər birindən nə qədər var?

1. Hissələr: 1 + 3 + 6 = 10.
2. Bir hissə: 250 : 10 = 25 kq.
3. Sement 25 kq, qum 3 · 25 = 75 kq, çınqıl 6 · 25 = 150 kq; cəmi 250 kq. 25 kq, 75 kq, 150 kq

250 kq qarışığı 1 : 3 : 6 nisbətində bölmək

Başla Yenidən Yenidən

Hər xana bir hissədir — 25 kq. Pay nə qədər çox xanadırsa, o qədər ağırdır.

Nümunə 6Kəsr hissələrindən nisbət

Birinci ədədin 4/9 hissəsi ikinci ədədin 2/3 hissəsinə bərabərdir. Birinci ədədin ikinciyə nisbətini tapın.

1. Ədədlər a və b olsun: (4/9) · a = (2/3) · b.
2. Hər tərəfi b-yə və 4/9-a bölürük: a/b = (2/3) : (4/9) = (2/3) · (9/4) = 3/2.
3. Yoxlama: a = 3, b = 2 olsa, 4/9 · 3 = 4/3 və 2/3 · 2 = 4/3. a : b = 3 : 2

6 · Qayda

Miqyas

Yadda saxla

Xəritədə, planda və ya çertyojda uzunluğun həqiqi uzunluğa nisbətinə miqyas deyilir. Hər iki uzunluq eyni vahidlə götürülür, miqyas 1 : n şəklində yazılır: çertyojdakı 1 sm həqiqətdə n sm-dir.

çertyoj : həqiqi = 1 : n

həqiqi = çertyoj · n, çertyoj = həqiqi : n.

Miqyası oxumaq üçün n santimetri daha rahat vahidə çeviririk. Dərslikdəki plan da belə yazılıb: «Plandakı hər 1 sm reallıqda 3 m-ə uyğundur» — bu, 1 : 300 miqyasıdır.

Vahidlər

Ədədi miqyası oxumaq

Xətti miqyas isə xəritənin kənarındakı bölgülü zolaqdır: hər bölgünün yanında onun həqiqi uzunluğu yazılır. Xəritə böyüdülüb-kiçildiləndə zolaq da onunla birlikdə dəyişir, ona görə həmişə doğru qalır.

Laboratoriya: eyni zal, üç miqyas

10 m × 6 m ölçülü zalı damalı vərəqdə (hər xana 1 sm) üç miqyasda çəkirik. Miqyası seç və bax: zal nə qədər kiçilir, həqiqi ölçü isə necə qalır.

Planın miqyası

1 : 100 1 : 200 1 : 500

Eyni zal üç miqyasda

1 : 100 — planda 1 sm = 1 m. Zal: 10 : 1 = 10 sm, 6 : 1 = 6 sm.

1 : 200 — planda 1 sm = 2 m. Zal: 10 : 2 = 5 sm, 6 : 2 = 3 sm.

1 : 500 — planda 1 sm = 5 m. Zal: 10 : 5 = 2 sm, 6 : 5 = 1,2 sm.

Həqiqi ölçü hər üç halda eynidir: 10 m × 6 m.

Miqyasın ikinci ədədi (n) böyüdükcə şəkil kiçilir: 1 : 500 planı 1 : 100 planından 5 dəfə kiçikdir.

7 · Hesabla

Xəritə və plan

Nümunə 7Xəritədən həqiqətə və geri

a) 1 : 300 000 miqyaslı xəritədə iki kənd arası 4,5 sm-dir. Həqiqi məsafə nə qədərdir? b) Həqiqətdə 33 km olan yol 1 : 600 000 miqyaslı xəritədə neçə santimetr olar?

1. a) 4,5 · 300 000 = 1 350 000 sm = 13 500 m = 13,5 km. Qısa yol: 1 sm = 3 km, 4,5 · 3 = 13,5 km.
2. b) 1 : 600 000-də 1 sm = 6 km. 33 : 6 = 5,5 sm. a) 13,5 km; b) 5,5 sm

Nümunə 8Xətti miqyasdan ədədi miqyasa

Xəritənin xətti miqyasında hər 2 sm-lik bölgü 3 km-dir. Ədədi miqyası yazın və 5 sm-lik PQ məsafəsini tapın.

1. Bölgü 1 sm deyil, 2 sm-dir: 1 sm = 3 : 2 = 1,5 km.
2. 1,5 km = 150 000 sm, deməli miqyas 1 : 150 000.
3. Tənasüblə: 2 : 3 = 5 : x, 2x = 15, x = 7,5 km. 1 : 150 000; PQ = 7,5 km

Xətti miqyas: 2 sm 3 km-dir

Fiqur miqyasla çəkilib: hər 2 sm-lik bölgü 3 km.

Nümunə 9Planın miqyası və otağın ölçüləri

Binanın 20 m uzunluğundakı divarı planda 8 sm-dir. Planın miqyasını tapın. Planda 2,8 sm × 1,6 sm olan otağın həqiqi ölçülərini və sahəsini tapın.

1. Eyni vahid: 20 m = 2 000 sm. Miqyas: 8 : 2 000 = 1 : 250, yəni 1 sm = 2,5 m.
2. Otaq: 2,8 · 2,5 = 7 m, 1,6 · 2,5 = 4 m.
3. Sahəni həqiqi ölçülərlə hesablayırıq: 7 · 4 = 28 m². Əvvəl hər ölçünü çeviririk, sonra vururuq. 1 : 250; 7 m × 4 m; 28 m²

Binanın planı, miqyas 1 : 250

Plan miqyasla çəkilib: hər xana 1 sm, yəni 2,5 m.

8 · Diqqət

Üç tipik səhv

Vahid çevrilməyib

3 kq : 600 q = 1 : 200

Kiloqramla qramı müqayisə etmək olmaz.

Eyni vahid

3 000 : 600 = 5 : 1

3 kq = 3 000 q, indi hər ikisi qramdadır: birinci kütlə ikincidən 5 dəfə böyükdür.

Fərqlə müqayisə

2 : 5 = x : 20 ⇒ x = 17

«5-dən 20-yə 15 artdı, 2-yə də 15 əlavə edək» — tənasüb fərq yox, nisbət bərabərliyidir.

Əsas xassə

5x = 2 · 20 ⇒ x = 8

20 ədədi 5-dən 4 dəfə böyükdür, deməli x də 2-dən 4 dəfə böyükdür.

Səhv əmsal

1 : 400 000 ⇒ 1 sm = 40 km

sm-dən km-ə keçəndə 10 000-ə bölmək olmaz.

Düzgün əmsal

400 000 sm = 4 000 m = 4 km

1 km = 100 000 sm, ona görə 1 sm = 4 km.

9 · Həyatda

Maket avtomobil

Kolleksiya maketləri çox vaxt 1 : 43 miqyasında hazırlanır: maketin hər ölçüsü həqiqi avtomobilin ölçüsündən 43 dəfə kiçikdir. Maketi xətkeşlə ölçüb həqiqi avtomobili tapmaq olar.

Maket avtomobil, miqyas 1 : 43

Maket miqyasla çəkilib: uzunluq 10 sm, hündürlük 3,5 sm.

Həqiqi = maket · 43

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 35 sm : 1,4 m nisbətini sadələşdir. Cavab variantları 25 : 1 1 : 4 4 : 1 Düzdür! 35 : 140 = 1 : 4. Yox. Əvvəl eyni vahid: 1,4 m = 140 sm; sıranı da saxla — birinci 35. Həllə bax 1,4 m = 140 sm. 35 : 140 — hər ikisini 35-ə bölürük: 1 : 4.
2. Asan 4 : 9 = 12 : 27 tənasübünün kənar hədləri hansılardır? Cavab variantları 9 və 12 4 və 12 4 və 27 Düzdür! Kənar hədlər — birinci və sonuncu. Yox. 9 və 12 ortadadır — onlar orta hədlərdir. Kənar hədlər əvvəldə və sondadır. Həllə bax Kənar hədlər 4 və 27, orta hədlər 9 və 12. Yoxlama: 4 · 27 = 108 = 9 · 12.
3. Orta x : 2,5 = 12 : 5 tənasübündən x-i tap. Cavab variantları 24 6 9,5 Əla! 5x = 2,5 · 12 = 30, x = 6. Yox. Kənar hədlərin hasili = orta hədlərin hasili: 5 · x = 2,5 · 12. Fərqlə müqayisə etmə. Həllə bax Kənar hədlər x və 5, orta hədlər 2,5 və 12: 5x = 30, x = 6. Yoxlama: 6 : 2,5 = 2,4 = 12 : 5.
4. Orta 77 ədədini 4 : 7 nisbətində iki hissəyə böl. Böyük hissə neçədir? Cavab variantları 28 19,25 49 Düzdür! Bir hissə 7, böyük pay 7 · 7 = 49. Yox. Əvvəl hissələrin sayı: 4 + 7 = 11; 77-ni 11-ə böl, sonra böyük hədd olan 7-yə vur. Həllə bax 4 + 7 = 11 hissə, 77 : 11 = 7. Paylar 4 · 7 = 28 və 7 · 7 = 49; böyüyü 49.
5. Çətin 1 : 350 000 miqyaslı xəritədə iki stansiya arası 3,2 sm-dir. Həqiqi məsafəni tap. Cavab variantları 1,12 km 11,2 km 112 km Əla! 1 sm = 3,5 km, 3,2 · 3,5 = 11,2 km. Yox. sm-dən km-ə keçəndə 100 000-ə böl: 1 120 000 sm = 11,2 km. Həllə bax 3,2 · 350 000 = 1 120 000 sm. 1 km = 100 000 sm olduğundan bu 11,2 km-dir.
6. Çətin Planda 4 sm uzunluğunda çəkilmiş divar həqiqətdə 12 m-dir. Planın miqyası nədir? Cavab variantları 1 : 3 1 : 300 1 : 30 Düzdür! 4 : 1 200 = 1 : 300. Yox. Miqyasda hər iki uzunluq eyni vahiddədir: 12 m = 1 200 sm. Həllə bax 12 m = 1 200 sm. 4 : 1 200 = 1 : 300 — planda 1 sm həqiqətdə 3 m-dir.

Xülasə

Yadda qalanlar

• a : b — neçə dəfəƏvvəl eyni vahid, sonra hər iki həddi eyni ədədə vurub-bölərək sadələşdir.
• ad = bcTənasübdə kənar hədlərin hasili orta hədlərin hasilinə bərabərdir; naməlum hədd və nisbətdə bölmə (cəm → bir hissə → paylar) buna əsaslanır.
• 1 : nHəqiqi = çertyoj · n; sm-dən m-ə 100-ə, km-ə 100 000-ə bölürük.

Növbəti mövzu: 3.39 Mütənasib parçalar

Mənbə: «Riyaziyyat» — 8-ci sinif üçün dərslik, «Nisbət, tənasüb, miqyas» (8-ci bölmə «Fiqurların oxşarlığı»), səh. 139–141: «Tənasübün xassələri» qutusu və miqyas çalışmaları. Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.