Kvadrat tənliklər

• 3.9
• 8-ci sinif
• Kvadrat tənliklər

Kvadrat tənliklər

Şahmat taxtasının sahəsi 1600 sm²-dir. Bir xananın tərəfi neçə santimetrdir? Taxtada 64 eyni kvadrat xana var, ona görə 64x² = 1600. Bu, kvadrat tənlikdir: buradan x² = 25, yəni x = 5 və ya x = −5. Uzunluq mənfi olmur — xananın tərəfi 5 sm-dir.

Bu dərsdə

• kvadrat tənliyi tanıyacaq, onu ax² + bx + c = 0 şəklinə gətirəcək və əmsallarını işarəsi ilə yazacaqsan;
• tənliyi birinci əmsala bölüb eynigüclü çevrilmiş tənliyə gətirəcəksən;
• üç növ natamam kvadrat tənliyi həll edəcək və məsələnin şərtinə uyğun kökü seçəcəksən.

Şahmat taxtasından kvadrat tənliyə

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Tərif
3. Standart şəkil
4. Natamam tənliklər
5. Həll et
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

Məchul kvadrata yüksələndə

İndiyə qədər həll etdiyin tənliklərdə məchul yalnız birinci dərəcədə idi, məsələn, 3x − 4 = 11. İndi iki vəziyyətə baxaq.

• Şahmat taxtası. 64 xananın hər birinin sahəsi x²-dir, cəmi 1600 sm²: 64x² = 1600, yəni 64x² − 1600 = 0.
• Açıqcalar. Dərnəkdə hər üzv qalan üzvlərin hər birinə bir açıqca göndərib, cəmi 30 açıqca. Üzvlərin sayı x olsa, hər biri x − 1 açıqca göndərib: x(x − 1) = 30, mötərizəni açsaq x² − x − 30 = 0.

Üç tənlik müqayisədə

«Dərəcə» — məchulun ən yüksək dərəcəsidir. Son iki tənlikdə bir dəyişən var və onun ən yüksək dərəcəsi 2-dir. Belə tənliklər kvadrat tənliklər adlanır. Birincidə x-li birinci dərəcəli hədd yoxdur, ikincidə üç hədd də var. Bu dərsdə birinci kimi «əskik həddi» olan tənlikləri tam həll edəcəyik; açıqcalar tənliyini isə hələlik yalnız düzgün şəklə gətiririk.

2 · Tərif

Kvadrat tənlik və onun əmsalları

Yadda saxla

Dərslikdəki tərif: «a ≠ 0 olmaqla ax² + bx + c = 0 tənliyinə kvadrat tənlik deyilir. Burada a, b, c verilmiş ədədlər, x isə məchuldur.»

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

a — birinci əmsal (və ya baş əmsal), b — ikinci əmsal, c — sərbəst hədd.

Kvadrat tənliyin hissələri

Əmsalı x-in qüvvəsi müəyyən edir, yeri yox: x²-nin qarşısındakı ədəd a, x-in qarşısındakı b, x-siz ədəd c-dir — işarəsi ilə birlikdə.

Niyə a ≠ 0? a = 0 olsa, x² həddi itir və tənlik xətti olur. b və c isə sıfır ola bilər.

Əmsalları oxuyaq

x²-nin qarşısında ədəd yazılmayıbsa, a = 1; «−x» yazılıbsa, b = −1.

3 · Standart şəkil

Tənliyi ax² + bx + c = 0 şəklinə gətir

Tənlik çox vaxt mötərizəli və ya hədləri iki tərəfə səpələnmiş yazılır. Əmsalları oxumaq üçün əvvəlcə mötərizələri açır, bütün hədləri sol tərəfə keçirir və oxşar hədləri islah edirik.

Nümunə 1Mötərizəni aç, hədləri bir tərəfə keçir

(x + 5)(x − 3) = 4x − 1 tənliyini ax² + bx + c = 0 şəklinə gətirin və əmsallarını yazın.

1. Sol tərəf: (x + 5)(x − 3) = x² − 3x + 5x − 15 = x² + 2x − 15.
2. Sağ tərəfi sola keçiririk, işarələr dəyişir: x² + 2x − 15 − 4x + 1 = 0.
3. Oxşar hədlər: 2x − 4x = −2x, −15 + 1 = −14. x² − 2x − 14 = 0; a = 1, b = −2, c = −14

Çevrilmiş kvadrat tənlik

Tənliyin hər iki tərəfini a ≠ 0 ədədinə bölək: x² + ba / x + ca / = 0. ba / = p, ca / = q işarə etsək:

x² + px + q = 0

Birinci əmsalı 1 olan belə tənlik çevrilmiş kvadrat tənlik adlanır. Bölmə kökləri dəyişmir: alınan tənlik verilənlə eynigüclüdür (eyni kökləri var).

Nümunə 2Birinci əmsala böl

6x² − 9x + 3 = 0 tənliyini eynigüclü çevrilmiş tənliyə gətirin.

1. a a = 6, ona görə hər üç həddi 6-ya bölürük.
2. 6x² : 6 = x², −9x : 6 = −1,5x, 3 : 6 = 0,5. x² − 1,5x + 0,5 = 0; p = −1,5, q = 0,5

4 · Natamam tənliklər

Bir hədd əskik olanda

Tərif

Kvadrat tənlikdə b və c əmsallarından heç olmasa biri sıfırdırsa, ona natamam kvadrat tənlik deyilir.

b = c = 0

ax² = 0

c = 0, b ≠ 0

ax² + bx = 0

b = 0, c ≠ 0

ax² + c = 0

Hər növün öz qısa həll yolu var. ax² + bx = 0 üçün x-i mötərizə xaricinə çıxarırıq və hasilin xassəsindən istifadə edirik: hasil sıfırdırsa, vuruqlardan heç olmasa biri sıfırdır. ax² + c = 0 üçün x²-ni tapıb kök alırıq — amma kvadrat mənfi ola bilməz, ona görə əvvəlcə işarəyə baxırıq.

Natamam kvadrat tənliyin həll yolu

Başla Yenidən Yenidən

Hansı əmsal sıfırdır — həll yolunu o seçir. −c/a > 0 o deməkdir ki, a və c müxtəlif işarəlidir; eyni işarəli olanda −c/a mənfidir və heç bir ədədin kvadratı ona bərabər ola bilməz.

5 · Həll et

Üç növ — üç qısa yol

Nümunə 3ax² = 0

−6x² = 0 tənliyini həll edin.

1. Hər iki tərəfi a = −6-ya bölürük: x² = 0.
2. Kvadratı sıfır olan yeganə ədəd 0-dır. Tənliyin iki bərabər kökü var — kök var, sadəcə sıfırdır. x₁ = x₂ = 0

Nümunə 4ax² + bx = 0

5x² + 8x = 0 tənliyini həll edin.

1. x-i mötərizə xaricinə çıxarırıq: x · (5x + 8) = 0.
2. Hasil sıfırdır, deməli x = 0 və ya 5x + 8 = 0, yəni x = −8 : 5 = −1,6 (bu, −b/a-dır).
3. Yoxlama: 5 · (−1,6)² + 8 · (−1,6) = 12,8 − 12,8 = 0. x₁ = 0; x₂ = −1,6

Nümunə 5ax² + c = 0 — əvvəl işarə

Tənlikləri həll edin: a) 4x² − 9 = 0; b) 2x² + 7 = 0; c) 2x² − 26 = 0.

1. a) a = 4 və c = −9 müxtəlif işarəlidir. 4x² = 9, x² = 94 / , x = ±32 / = ±1,5.
2. b) a = 2 və c = 7 eyni işarəlidir: x² = −3,5. Heç bir ədədin kvadratı mənfi deyil — həqiqi kökü yoxdur.
3. c) 2x² = 26, x² = 13. 13 tam kvadrat deyil, kökləri irrasionaldır: x = ±√13. a) ±1,5; b) həqiqi kök yoxdur; c) ±√13

4x² − 9 = 0 tənliyinin kökləri ədəd oxunda

Əks ədədlərin kvadratları bərabərdir, ona görə x² = k (k > 0) tənliyinin kökləri 0-dan eyni məsafədə, iki tərəfdə durur.

6 · Diqqət

Altı tipik səhv

Hər cütdə əvvəl səhv düşüncə, sonra düzgün yol.

Əmsalı yerinə görə oxumaq

Səhv

4 − 7x² + x = 0: a = 4

Birinci yazılan ədəd birinci əmsal deyil.

Düz

a = −7, b = 1, c = 4

Əvvəl −7x² + x + 4 = 0 kimi düz; a x²-nin əmsalıdır, işarəsi ilə.

x² silinə bilər

Səhv

(x − 3)² = x² + 1: kvadrat tənlikdir

x² görünür, amma sadələşdirilməyib.

Düz

−6x + 8 = 0 — xətti

x² − 6x + 9 = x² + 1: x²-lər silinir, a = 0 olur.

Mənfi birinci əmsala bölmək

Səhv

−5x² + 10x + 15 = 0: x² + 2x + 3 = 0

5-ə bölünüb, x²-nin işarəsi isə sadəcə atılıb.

Düz

x² − 2x − 3 = 0

a = −5-ə bölürük: hər həddin işarəsi dəyişir.

x-ə bölmək

Səhv

3x² = 10x: yalnız x = 103 /

Tənlik x-ə bölünüb. x-ə bölmək x = 0 kökünü itirir: x sıfır ola bilər, sıfıra bölmək olmaz.

Düz

x(3x − 10) = 0: 0 və 103 /

Hədləri bir tərəfə keçir, x-i mötərizə xaricinə çıxar.

Yalnız müsbət kök

Səhv

25x² − 1 = 0: x = 0,2

(−0,2)² də 0,04-dür.

Düz

x = ±0,2

x² = 0,04 tənliyinin iki əks kökü var.

İşarəyə baxmamaq

Səhv

3x² + 27 = 0: x = ±3

3² = 9, amma tənlik x² = −9 tələb edir.

Düz

həqiqi kökü yoxdur

a = 3 və c = 27 eyni işarəlidir: x² = −9.

7 · Həyatda

Kub şəkilli qutu

Hədiyyə qutusu kub şəklindədir. Onu tam örtmək üçün 726 sm² kağız lazım oldu (birləşmə yerləri nəzərə alınmır). Qutunun tili neçə santimetrdir və həcmi nə qədərdir?

Kubun açılışı: altı eyni kvadrat

Kubun altı üzü eyni kvadratdır; hər birinin sahəsi x².

MəsələSəthin sahəsindən tilə

1. Til x sm olsun. Altı üzün sahəsi: 6x² = 726 — bu, ax² + c = 0 növüdür (6x² − 726 = 0).
2. x² = 726 : 6 = 121, deməli x = 11 və ya x = −11.
3. Til uzunluqdur, mənfi ola bilməz: −11 tənliyin köküdür, amma məsələnin cavabı deyil.
4. Həcm: V = 11³ = 11 · 11 · 11 = 1331 sm³. Yoxlama: 6 · 121 = 726. til 11 sm; həcm 1331 sm³

Tətbiq məsələsində həmişə iki sual ver: tənliyin kökləri hansılardır və onlardan hansı şərtə uyğundur?

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Hər sualın altında həll var.

1. Asan 3x² − 8 = 5x tənliyində ikinci əmsal b neçədir? Cavab variantları 5 −5 0 −8 Düzdür! 3x² − 5x − 8 = 0, ona görə b = −5. Yox. Əvvəl bütün hədləri sola keçir: keçən həddin işarəsi dəyişir. Həllə bax 5x-i sola keçiririk: 3x² − 5x − 8 = 0. a = 3, b = −5, c = −8. «5» — keçirəndə işarə dəyişdirilməyib; «0» — yalnız sol tərəfə baxılıb; «−8» — bu, sərbəst həddir.
2. Asan 3x² − 300 = 0 tənliyinin kökləri hansılardır? Cavab variantları yalnız 10 ±100 ±10 həqiqi kökü yoxdur Əla! x² = 100, x = ±10. Yox. x²-ni tap, sonra kök al — əks işarəli kökü də unutma. Həllə bax a = 3 və c = −300 müxtəlif işarəlidir. 3x² = 300, x² = 100, x = ±10. «yalnız 10» — mənfi kök itib; «±100» — x² tapılıb, kök alınmayıb; «kökü yoxdur» — işarə qaydası tərsinə tətbiq olunub.
3. Orta −2x² + 11x = 0 tənliyini həll edin. Cavab variantları yalnız 5,5 0 və −5,5 0 və 211 / 0 və 5,5 Düzdür! x(−2x + 11) = 0: x = 0 və ya x = 5,5. Yox. x-i mötərizə xaricinə çıxar və hər vuruğu sıfıra bərabər et; x-ə bölmə. Həllə bax x · (−2x + 11) = 0. x = 0 və ya −2x + 11 = 0, x = 11 : 2 = 5,5 (−b/a = −11 : (−2)). «yalnız 5,5» — tənlik x-ə bölünüb, 0 kökü itib; «−5,5» — −b/a-da işarə səhvi; «2/11» — kəsr çevrilib.
4. Orta −2x² + 5x − 8 = 0 tənliyi ilə eynigüclü çevrilmiş tənlik hansıdır? Cavab variantları −x² + 2,5x − 4 = 0 x² − 2,5x + 4 = 0 x² + 2,5x − 4 = 0 x² − 2,5x − 8 = 0 Əla! Hər həddi −2-yə böldün. Yox. Çevrilmiş tənlikdə birinci əmsal 1-dir: hər üç həddi a = −2-yə böl. Həllə bax −2x² : (−2) = x², 5x : (−2) = −2,5x, −8 : (−2) = 4. «−x² + 2,5x − 4» — 2-yə bölünüb, birinci əmsal −1 qalıb; «x² + 2,5x − 4» — yalnız x²-nin işarəsi dəyişdirilib; «x² − 2,5x − 8» — sərbəst hədd bölünməyib.
5. Çətin c-nin hansı qiymətlərində x² + c = 0 tənliyinin iki müxtəlif kökü var? Cavab variantları c > 0 c = 0 c < 0 istənilən c Düzdür! x² = −c müsbət olmalıdır, yəni c < 0. Yox. Tənliyi x² = −c şəklində yaz və −c-nin işarəsinə bax. Həllə bax x² = −c. −c > 0, yəni c < 0 olanda iki əks kök var: ±√(−c). c = 0 olanda x² = 0 — iki bərabər kök (0); c > 0 olanda x² mənfi ədədə bərabər olmalıdır — həqiqi kök yoxdur. Ona görə «istənilən c» də səhvdir.
6. Çətin (x + 3)² = 6x + 90 tənliyini həll edin. Cavab variantları yalnız 9 ±√90 ±9 ±√99 Əla! x² + 6x + 9 = 6x + 90, 6x-lər silinir: x² = 81, x = ±9. Yox. Mötərizəni tam aç (üç hədd), hədləri bir tərəfə keçir və hansı natamam növ alındığına bax. Həllə bax x² + 6x + 9 = 6x + 90, x² + 6x + 9 − 6x − 90 = 0, x² − 81 = 0 — natamam tənlik (b = 0). x² = 81, x = ±9. Yoxlama: (9 + 3)² = 144 = 54 + 90, (−9 + 3)² = 36 = −54 + 90. «yalnız 9» — mənfi kök itib; «±√90» — kvadrat açılanda 9 unudulub; «±√99» — 9 sağa keçəndə işarəsi dəyişməyib.

9 · Yekun

Üç şeyi yadda saxla

• ax² + bx + c = 0, a ≠ 0Əvvəl tənliyi bu şəklə gətir, sonra a, b, c-ni x-in qüvvəsinə görə, işarəsi ilə oxu.
• x² + px + q = 0Hər həddi a-ya bölmək eynigüclü çevrilmiş tənlik verir; a mənfidirsə, bütün işarələr dəyişir.
• Natamam tənliklərax² = 0 → 0; ax² + bx = 0 → x-i mötərizə xaricinə çıxar: 0 və −b/a; ax² + c = 0 → a və c müxtəlif işarəlidirsə ±√(−c/a), eyni işarəlidirsə həqiqi kök yoxdur.

Növbəti mövzu: 3.10 Kvadrat tənliklərin vuruqlara ayırma üsulu ilə həlli

Mənbə: «Riyaziyyat» — 8-ci sinif üçün dərslik, «Kvadrat tənliklər», səh. 47–49 (tərif, əmsalların adları, çevrilmiş və eynigüclü tənlik, natamam kvadrat tənliklər və onların həlli). Tipik səhvlər DİM-in «Test toplusu» (2023, 2025) və «Güvən» tapşırıqlar toplusundakı tapşırıq növlərinə əsaslanır. Kontekstlər və ədədlər bu dərs üçün seçilib.