y = √x, y = 0 və x = 4 xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmini tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Həcm dilimlərin cəmidir
Fırlanma cisminin həcmi
[a; b] parçasında kəsilməz və mənfi olmayan f(x) funksiyasının qrafiki, absis oxu və x = a, x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur Ox oxu ətrafında fırlandıqda fırlanma cismi alınır. Cismi Ox oxuna perpendikulyar müstəvilərlə nazik dilimlərə bölək: x nöqtəsindəki dilim radiusu f(x), qalınlığı Δx olan kiçik silindrdir, həcmi π(f(x))²Δx-dir. Dilimlərin həcmlərini toplayıb Δx → 0 etdikdə müəyyən inteqral alınır:
V = π∫ba(f(x))² dx
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
Tapşırıqy = √x qrafikinin fırlanması
y = √x, y = 0 və x = 4 xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmini tapın.
- Sərhədləri tapırıq: √x = 0 olduqda x = 0, sağ sərhəd x = 4. Deməli parça [0; 4]-dür.
- Kəsiyin radiusu f(x) = √x, onun kvadratı (√x)² = x (x ≥ 0).
- Həcm düsturu: V = π∫40x dx
- İbtidai funksiya x²/2: V = π·x²2 / |40 = π·(162 / − 0) = 8π
- Cavab: V = 8π kub vahid
y = √x qrafikinin fırlanması
y = √x altındakı fiqur [0; 4] parçasında Ox oxu ətrafında fırlanır; dilimin radiusu √x, sahəsi πx-dir.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Cisim «paraboloid» qabdır. Onu radiusu 2, hündürlüyü 4 olan silindrlə müqayisə edək: silindrin həcmi π·2²·4 = 16π. Cisim silindrin içində qalır və onun düz yarısıdır: 8π = 16π/2. Cavab ağlabatandır.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 16π/3Bu π∫40√x dx-dir: √x kvadrata yüksəldilməyib.
- 16πx-in ibtidai funksiyası x²-yox, x²/2-dir; ½ əmsalı unudulub.
- 2πSərhəd səhv götürülüb: 2 qrafikin x = 4-dəki hündürlüyüdür, yuxarı sərhəd isə x = 4-dür.
- 8Rəqəm doğrudur, amma π vuruğu itib; həcm π∫f² dx-dir.