y = |x| və π = 3 ilə həcm

1 · Əsas fikir

Həcm dilimlərin cəmidir

Fırlanma cisminin həcmi

[a; b] parçasında kəsilməz və mənfi olmayan f(x) funksiyasının qrafiki, absis oxu və x = a, x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur Ox oxu ətrafında fırlandıqda fırlanma cismi alınır. Cismi Ox oxuna perpendikulyar müstəvilərlə nazik dilimlərə bölək: x nöqtəsindəki dilim radiusu f(x), qalınlığı Δx olan kiçik silindrdir, həcmi π(f(x))²Δx-dir. Dilimlərin həcmlərini toplayıb Δx → 0 etdikdə müəyyən inteqral alınır:

V = π∫ba(f(x))² dx

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqy = |x| və π = 3 ilə həcm

y = |x| funksiyasının qrafiki, y = 0, x = 1 və x = 4 xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmini tapın (π = 3 götürün).

1. [1; 4] parçasında x > 0, ona görə |x| = x. Kəsiyin radiusu x-dir.
2. Həcm: V = π∫41x² dx
3. İbtidai funksiya x³/3: V = π·x³3 / |41 = π·64 − 13 / = 21π
4. π = 3 götürürük: V = 21·3 = 63.
5. Cavab: V = 21π ≈ 63 (π = 3)

y = |x| və π = 3 ilə həcm

[1; 4] parçasında y = |x| = x; fırlanmadan kəsik konus alınır, dilimin radiusu x-dir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Alınan cisim kəsik konusdur: oturacaqların radiusları r = 1, R = 4, hündürlüyü h = 3. Kəsik konusun düsturu ilə: V = πh(R² + Rr + r²)/3 = π·3·(16 + 4 + 1)/3 = 21π = 63. İki yol eyni nəticə verir.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 64Yalnız F(4) = 64/3 götürülüb, F(1) = 1/3 çıxılmayıb: π·64/3 = 64.
• 189İbtidai funksiya x³/3-dür; 3-ə bölmək unudulub: π·(64 − 1) = 189.
• 22,5|x| = x kvadrata yüksəldilməyib: π∫41x dx = 3·7,5 = 22,5.
• 27x³ əvəzinə parçanın uzunluğu (4 − 1)³ yerinə qoyulub: 3·27/3 = 27.