y = x + 2, y = 0, x = 0 və x = 3 xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmini tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Həcm dilimlərin cəmidir
Fırlanma cisminin həcmi
[a; b] parçasında kəsilməz və mənfi olmayan f(x) funksiyasının qrafiki, absis oxu və x = a, x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur Ox oxu ətrafında fırlandıqda fırlanma cismi alınır. Cismi Ox oxuna perpendikulyar müstəvilərlə nazik dilimlərə bölək: x nöqtəsindəki dilim radiusu f(x), qalınlığı Δx olan kiçik silindrdir, həcmi π(f(x))²Δx-dir. Dilimlərin həcmlərini toplayıb Δx → 0 etdikdə müəyyən inteqral alınır:
V = π∫ba(f(x))² dx
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
Tapşırıqy = x + 2 düz xəttinin fırlanması
y = x + 2, y = 0, x = 0 və x = 3 xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmini tapın.
- Parça [0; 3]-dür və burada x + 2 > 0. Kəsiyin radiusu x + 2.
- Həcm: V = π∫30(x + 2)² dx
- İbtidai funksiya (x + 2)³3 / (törəməsi (x + 2)²-dir).
- V = π·(x + 2)³3 / |30 = π·125 − 83 / = π·1173 / = 39π
- Cavab: V = 39π kub vahid
y = x + 2 düz xəttinin fırlanması
Trapesiya Ox oxu ətrafında fırlanır və kəsik konus alınır; dilimin radiusu x + 2-dir.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Açılışla yoxlayaq: (x + 2)² = x² + 4x + 4, ibtidai funksiya x³/3 + 2x² + 4x; x = 3-də 9 + 18 + 12 = 39, x = 0-da 0. Yenə 39π. Cisim radiusları 2 və 5, hündürlüyü 3 olan kəsik konusdur: π·3·(4 + 10 + 25)/3 = 39π.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 21π(x + 2)² = x² + 4 kimi açılıb, 4x həddi itib: π∫(x² + 4)dx = 21π.
- 117πİbtidai funksiya (x + 2)³/3-dür; 3-ə bölmək unudulub: π(125 − 8) = 117π.
- 125π/3Yalnız F(3) = 125/3 götürülüb; F(0) = 8/3 sıfır deyil və çıxılmalıdır.
- 21π/2Funksiya kvadrata yüksəldilməyib: π∫30(x + 2)dx = π(4,5 + 6) = 21π/2.