y = eˣ qrafikinin fırlanması

1 · Əsas fikir

Həcm dilimlərin cəmidir

Fırlanma cisminin həcmi

[a; b] parçasında kəsilməz və mənfi olmayan f(x) funksiyasının qrafiki, absis oxu və x = a, x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur Ox oxu ətrafında fırlandıqda fırlanma cismi alınır. Cismi Ox oxuna perpendikulyar müstəvilərlə nazik dilimlərə bölək: x nöqtəsindəki dilim radiusu f(x), qalınlığı Δx olan kiçik silindrdir, həcmi π(f(x))²Δx-dir. Dilimlərin həcmlərini toplayıb Δx → 0 etdikdə müəyyən inteqral alınır:

V = π∫ba(f(x))² dx

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqy = eˣ qrafikinin fırlanması

y = eˣ, y = 0, x = 0 və x = ln 3 xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmini tapın.

1. Kəsiyin radiusu eˣ, onun kvadratı (eˣ)² = e²ˣ.
2. Həcm: V = π∫ln 30e²ˣ dx
3. e²ˣ-in ibtidai funksiyası e²ˣ2 / (törəməsi 2·e²ˣ/2 = e²ˣ).
4. e2 ln 3 = (eln 3)² = 3² = 9 və e⁰ = 1: V = π·e²ˣ2 / |ln 30 = π·9 − 12 / = 4π
5. Cavab: V = 4π kub vahid

y = eˣ qrafikinin fırlanması

y = eˣ altındakı fiqur [0; ln 3] parçasında fırlanır; dilimin radiusu eˣ, sahəsi πe²ˣ-dir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Qiymətləndirək: [0; ln 3] parçasının uzunluğu ln 3 ≈ 1,1, radius 1-dən 3-ə qədər artır. Həcm radiusu 1 olan silindrdən (π·1·1,1 ≈ 1,1π) böyük, radiusu 3 olan silindrdən (π·9·1,1 ≈ 9,9π) kiçik olmalıdır; 4π bu aralıqdadır.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 2πeˣ kvadrata yüksəldilməyib: π∫ln 30eˣ dx = π(3 − 1) = 2π.
• 8πe²ˣ-in ibtidai funksiyası e²ˣ/2-dir; ½ əmsalı unudulub: π(9 − 1) = 8π.
• 9π/2Yalnız F(ln 3) = 9/2 götürülüb; F(0) = e⁰/2 = 1/2 çıxılmayıb.
• 4Rəqəm doğrudur, amma π vuruğu itib.