y = cos x qrafikinin fırlanması

1 · Əsas fikir

Həcm dilimlərin cəmidir

Fırlanma cisminin həcmi

[a; b] parçasında kəsilməz və mənfi olmayan f(x) funksiyasının qrafiki, absis oxu və x = a, x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur Ox oxu ətrafında fırlandıqda fırlanma cismi alınır. Cismi Ox oxuna perpendikulyar müstəvilərlə nazik dilimlərə bölək: x nöqtəsindəki dilim radiusu f(x), qalınlığı Δx olan kiçik silindrdir, həcmi π(f(x))²Δx-dir. Dilimlərin həcmlərini toplayıb Δx → 0 etdikdə müəyyən inteqral alınır:

V = π∫ba(f(x))² dx

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqy = cos x qrafikinin fırlanması

y = cos x, y = 0, x = 0 və x = π/2 xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmini tapın.

1. [0; π/2] parçasında cos x ≥ 0, kəsiyin radiusu cos x.
2. Həcm: V = π∫π/20cos²x dx
3. cos²x-i birinci dərəcəyə endiririk: cos²x = 1 + cos 2x2 / . İbtidai funksiya x2 / + sin 2x4 / .
4. V = π(x2 / + sin 2x4 / )|π/20 = π(π4 / + 0 − 0) = π²4 / Burada sin π = sin 0 = 0 nəzərə alındı.
5. Cavab: V = π²/4 kub vahid

y = cos x qrafikinin fırlanması

y = cos x altındakı fiqur [0; π/2] parçasında fırlanır; dilimin sahəsi π cos²x-dir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Qiymətləndirək: radius 1-dən 0-a qədər azalır, cisim radiusu 1, hündürlüyü π/2 olan silindrin (həcmi π·π/2 = π²/2) içində qalır. π²/4 bu silindrin yarısıdır; sin²x + cos²x = 1 olduğundan bu parçada ∫cos²x dx = ∫sin²x dx və onların cəmi π/2-dir, hər biri π/4.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• πcos x kvadrata yüksəldilməyib: π∫π/20cos x dx = π·1 = π.
• π²/2cos²x = (1 + cos 2x)/2 düsturunda ½ unudulub: π∫(1 + cos 2x)dx = π·π/2.
• π/2cos²x-in «orta qiyməti» ½ götürülüb, amma parçanın uzunluğuna (π/2) vurulmayıb: π·½.
• π²/8Düstur cos²x = (1 + cos 2x)/4 kimi səhv yazılıb, nəticə iki dəfə kiçilib.