Mərkəzi koordinat başlanğıcında olan radiusu 5 yarımçevrə; onun x = 3 ilə x = 5 arasındakı hissəsi absis oxu ilə birlikdə rənglənib. y = √(25 − x²), y = 0 və x = 3 xətləri ilə hüdudlanmış (3 ≤ x ≤ 5) fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmasından kürə seqmenti alınır. Bu seqmentin həcmini tapın.

Kürə seqmentinin həcmi — Sual · 6.59 Müəyyən inteqral və fırlanmadan alınan fiqurların həcmi

Mətn

Mərkəzi koordinat başlanğıcında olan radiusu 5 yarımçevrə; onun x = 3 ilə x = 5 arasındakı hissəsi absis oxu ilə birlikdə rənglənib.

y = √(25 − x²), y = 0 və x = 3 xətləri ilə hüdudlanmış (3 ≤ x ≤ 5) fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmasından kürə seqmenti alınır. Bu seqmentin həcmini tapın.

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Həcm dilimlərin cəmidir

Fırlanma cisminin həcmi

[a; b] parçasında kəsilməz və mənfi olmayan f(x) funksiyasının qrafiki, absis oxu və x = a, x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur Ox oxu ətrafında fırlandıqda fırlanma cismi alınır. Cismi Ox oxuna perpendikulyar müstəvilərlə nazik dilimlərə bölək: x nöqtəsindəki dilim radiusu f(x), qalınlığı Δx olan kiçik silindrdir, həcmi π(f(x))²Δx-dir. Dilimlərin həcmlərini toplayıb Δx → 0 etdikdə müəyyən inteqral alınır:

V = π∫ba(f(x))² dx

Radiusu R olan yarımçevrə y = √(R² − x²) üçün (f(x))² = R² − x²; kök inteqral altında yox olur.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKürə seqmentinin həcmi

y = √(25 − x²), y = 0 və x = 3 xətləri ilə hüdudlanmış (3 ≤ x ≤ 5) fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmasından kürə seqmenti alınır. Bu seqmentin həcmini tapın.

y = √(25 − x²) ⇒ y² = 25 − x², y ≥ 0: bu, mərkəzi O(0; 0), radiusu 5 olan çevrənin yuxarı yarısıdır. Absis oxunu x = 5-də kəsir, deməli fiqur [3; 5] parçasındadır.
Kəsiyin radiusu √(25 − x²), kvadratı 25 − x² (kökü açmağa ehtiyac yoxdur).
Həcm: V = π∫53(25 − x²) dx = π(25x − x³3 / )|53
V = π[(125 − 1253 / ) − (75 − 9)] = π(2503 / − 66) = 52π3 /
Cavab: V = 52π/3 kub vahid

Kürə seqmentinin həcmi

Çevrənin x = 3 ilə x = 5 arasındakı «papaq» hissəsi fırlanır və kürə seqmenti alınır (hündürlüyü 2).

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Seqmentin hündürlüyü H = 5 − 3 = 2. Kürə seqmentinin düsturu V = πH²(R − H/3) = π·4·(5 − 2/3) = 4π·13/3 = 52π/3 (bu düsturu dərslik s. 259 №5b-də elə bu inteqralla çıxarmağı tapşırır). Nəticə yarımkürədən (250π/3) xeyli kiçikdir, bu da ağlabatandır.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

500π/3Bu, radiusu 5 olan bütün kürənin həcmidir (4π·125/3); seqment onun kiçik hissəsidir.
250π/3Bu, yarımkürənin həcmidir: inteqral [0; 5] parçasında götürülüb (ya da yalnız F(5) = 250/3 hesablanıb).
142π/3Sərhəd kimi seqmentin hündürlüyü (0-dan 2-yə) götürülüb: π∫₀²(25 − x²)dx; amma fiqur x = 3-dən x = 5-ə qədərdir.
248π/3İbtidai funksiyada x³/3-ün işarəsi + yazılıb: 25x + x³/3.