Tərəflərin orta nöqtələrinə görə təpə

1 · Əsas fikir

Orta nöqtədən təpələrin cəminə

Əsas fikir

Koordinat müstəvisində. «Uc nöqtələri A(x1; y1) və B(x2; y2) olan AB parçasının M(x0; y0) orta nöqtəsinin koordinatları aşağıdakı kimi tapılır»:

x0 = (x1 + x2) : 2, y0 = (y1 + y2) : 2

Hər koordinat ayrıca hesablanır: absis absislərdən, ordinat ordinatlardan.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqTərəflərin orta nöqtələrinə görə təpə

ABC üçbucağı və tərəflərinin orta nöqtələri

ABC üçbucağında AB, BC və AC tərəflərinin orta nöqtələri uyğun olaraq K(1; 5), L(4; 2) və P(−1; 0) nöqtələridir. B təpəsinin koordinatlarını tapın.

1. A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC) olsun. Düstura görə absislər üçün: xA + xB = 2 · 1 = 2, xB + xC = 2 · 4 = 8, xA + xC = 2 · (−1) = −2.
2. Üç bərabərliyi toplayaq: 2(xA + xB + xC) = 2 + 8 − 2 = 8, yəni xA + xB + xC = 4. Buradan xB = 4 − (xA + xC) = 4 − (−2) = 6.
3. Ordinatlar üçün eyni yol: yA + yB = 10, yB + yC = 4, yA + yC = 0; cəm 2(yA + yB + yC) = 14, yA + yB + yC = 7, yB = 7 − 0 = 7.
4. Cavab: B(6; 7)

ABC üçbucağı və tərəflərinin orta nöqtələri

K, L, P tərəflərin ortalarıdır; təpələr A(−4; 3), B(6; 7), C(2; −3).

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Digər təpələr: A(2 − 6; 10 − 7) = A(−4; 3), C(8 − 6; 4 − 7) = C(2; −3). AB-nin ortası ((−4 + 6) : 2; (3 + 7) : 2) = (1; 5) = K ✓, BC-nin ortası ((6 + 2) : 2; (7 − 3) : 2) = (4; 2) = L ✓, AC-nin ortası ((−4 + 2) : 2; (3 − 3) : 2) = (−1; 0) = P ✓. Başqa yol: orta xətt KP ∥ BC və KP = BL olduğundan BKPL paraleloqramdır; onun BP və KL diaqonalları ortaq orta nöqtəyə malikdir, buradan B = K + L − P = (6; 7).

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• (−4; 3)Bu, A təpəsidir: A = K + P − L. B AB və BC tərəflərinin ortaq ucudur, ona görə B = K + L − P = (6; 7).
• (2; −3)Bu, C təpəsidir: C = L + P − K. B üçün AB və BC-nin orta nöqtələri toplanır, AC-ninki çıxılır: (6; 7).
• (4; 7)Bu, üç orta nöqtənin koordinatlarının cəmidir və üç təpənin koordinatları cəminə bərabərdir. B-ni almaq üçün ondan A ilə C-nin cəmini (2P) çıxmaq lazımdır: (4 − (−2); 7 − 0) = (6; 7).
• (2,5; 3,5)Bu, KL parçasının orta nöqtəsidir. BKPL paraleloqramında BP diaqonalı KL-in ortasından keçir, amma B bu nöqtədən P qədər uzaqdadır: B = K + L − P = (6; 7).