a parametrinin neçə tam qiymətində |x − a| ≤ 2 bərabərsizliyinin bütün həlləri |x − 1| < 6 bərabərsizliyinin də həlləri olur? Həllinizi əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Parça aralığın içində
Əsas fikir
|x − a| ədəd oxunda x nöqtəsindən a nöqtəsinə qədər məsafədir (dərslik, №5: dayanacaq «ən çoxu 30 m uzağa» → |x − 45| ≤ 30). |x − a| ≤ r ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r: a mərkəzli, hər tərəfə r uzanan parça.
[p; q] parçasının bütün nöqtələri (m; n) aralığında olması üçün parçanın hər iki ucu aralığın içində olmalıdır: m < p və q < n. Aralığın ucları ikinci bərabərsizliyin həlli deyil, ona görə bərabərsizliklər ciddidir.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqParametr: bir həllər çoxluğu digərinin içində
a parametrinin neçə tam qiymətində |x − a| ≤ 2 bərabərsizliyinin bütün həlləri |x − 1| < 6 bərabərsizliyinin də həlləri olur? Həllinizi əsaslandırın.
- Birinci bərabərsizlik: |x − a| ≤ 2 ⇔ a − 2 ≤ x ≤ a + 2 — a mərkəzli, uzunluğu 4 olan parça.
- İkinci bərabərsizlik: |x − 1| < 6 ⇔ −6 < x − 1 < 6 ⇔ −5 < x < 7 — (−5; 7) aralığı.
- Parça aralığın içində olmalıdır: a − 2 > −5 və a + 2 < 7, yəni a > −3 və a < 5. Uclar ciddi: məsələn, a = 5 olarsa x = 7 birinci bərabərsizliyin həllidir, ikincinin isə yox.
- Tam qiymətlər: a = −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 — cəmi 7.
- Cavab: 7
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
a = 4: [2; 6] ⊂ (−5; 7) ✓; a = −2: [−4; 0] ⊂ (−5; 7) ✓; a = 5: [3; 7] — 7 aralığa daxil deyil ✗; a = −3: [−5; −1] — −5 daxil deyil ✗.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 9Sərhəd hallar a = −3 və a = 5 də sayılıb. a = 5 olduqda x = 7 birinci bərabərsizliyin həllidir (|7 − 5| = 2 ≤ 2), amma ikincinin deyil: |7 − 1| = 6 < 6 doğru deyil.
- 8Sərhəd hallardan biri (a = −3 və ya a = 5) daxil edilib. Hər ikisində parçanın bir ucu ikinci bərabərsizliyi ödəmir.
- 11Parçanın eni nəzərə alınmayıb, yalnız mərkəz a-nın (−5; 7) aralığında olması tələb edilib (a = −4, …, 6). Məsələn, a = 6 olduqda x = 8 birinci bərabərsizliyin həllidir, ikincinin isə deyil.
- 15Parçanın yarım eni 2 çıxılmaq əvəzinə əlavə edilib: −7 < a < 9. Parçanın ucları a − 2 və a + 2 (−5; 7) aralığının içində olmalıdır: a − 2 > −5 və a + 2 < 7.