Mətn
Anbarda eyni ölçülü borular şəkildəki kimi yığılıb: ən aşağı cərgədə 16 boru var, hər növbəti (yuxarı) cərgədə isə əvvəlkindən 1 boru azdır. Qalaqda cəmi 126 boru varsa, qalaq neçə cərgədən ibarətdir? Cavabınızı əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Cəmdən cərgələrin sayına
Əsas fikir
Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi Sn = a1 + a2 + … + an ilə işarə olunur. Cəmi bir dəfə artan, bir dəfə azalan sırada yazıb tərəf-tərəfə toplasaq, hər sütunda kənar hədlərin cəmi a1 + an alınır, belə sütunlar n dənədir: 2Sn = (a1 + an) · n.
Sn = (a1 + an) · n2
an = a1 + (n − 1)d olduğundan cəmi birinci hədd və fərqlə də yazmaq olar:
Sn = (2a1 + (n − 1)d) · n2
Cəm məlum, n axtarılır. Sn düsturunu n-ə görə tənlik kimi yazırıq — bu, kvadrat tənlikdir. Hədlərin sayı natural ədəddir: mənfi və ya kəsr kök atılır, situasiya məsələsində kökü şərtlə də yoxlayırıq.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqBorular qalağı: cərgələrin sayı
Anbarda eyni ölçülü borular şəkildəki kimi yığılıb: ən aşağı cərgədə 16 boru var, hər növbəti (yuxarı) cərgədə isə əvvəlkindən 1 boru azdır. Qalaqda cəmi 126 boru varsa, qalaq neçə cərgədən ibarətdir? Cavabınızı əsaslandırın.
(Şəkil sualın özündədir.)
- Cərgələrdəki boruların sayı ədədi silsilədir: a1 = 16, d = −1; n — cərgələrin sayı.
- Cəm düsturundakı mötərizə: 2a1 + (n − 1)d = 32 − (n − 1) = 33 − n, deməli Sn = (33 − n) · n2.
- Tənlik: (33 − n) · n2 = 126, 33n − n² = 252, n² − 33n + 252 = 0.
- D = 33² − 4 · 252 = 1089 − 1008 = 81; n = 33 − 92 = 12 və ya n = 33 + 92 = 21.
- 21 cərgə ola bilməz: 21-ci cərgədə 16 − 20 = −4 boru alınır. Deməli, n = 12; ən yuxarı cərgədə a12 = 16 − 11 = 5 boru var.
- Cavab: 12 cərgə
Borular qalağı: 12 cərgə
Tam qalaq: 12 cərgə, ən aşağıda 16, ən yuxarıda 5 boru; 16 + 15 + … + 5 = 126.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
S12 = (16 + 5) · 122 = 21 · 6 = 126 ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 21Kvadrat tənliyin ikinci kökü götürülüb. 21 cərgə olsaydı, 21-ci cərgədə 16 − 20 = −4 boru olardı — bu mümkün deyil.
- 12 və ya 21Tənliyin hər iki kökü cavab sayılıb, amma 21 şərti ödəmir: yuxarı cərgələrdə boruların sayı mənfi alınır.
- 5Bu, ən yuxarı cərgədəki boruların sayıdır (16 − 11 = 5), cərgələrin sayı deyil.
- 14Cəm düsturunda (n − 1)d əvəzinə nd yazılıb: (32 − n) · n2 = 126 tənliyinin kökləri 14 və 18-dir. 14 cərgədə (16 + 3) · 142 = 133 boru olardı.