Mərkəzi M(−1; 3) nöqtəsində olan çevrə A(2; −1) nöqtəsindən keçir. Bu çevrənin tənliyini (x − a)² + (y − b)² = r² şəklində yazın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Çevrənin tənliyi
Əsas fikir
Dərslikdən. Mərkəzi M(a; b) nöqtəsində olan r radiuslu çevrənin üzərindəki istənilən N(x; y) nöqtəsi üçün iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə √((x − a)² + (y − b)²) = r. Hər iki tərəfi kvadrata yüksəltməklə çevrənin tənliyi alınır:
(x − a)² + (y − b)² = r²
Mərkəz koordinat başlanğıcında olduqda tənlik x² + y² = r² şəklindədir. Çevrə üzərindəki istənilən nöqtənin koordinatları bu tənliyi ödəyir və tərsinə, koordinatları tənliyi ödəyən nöqtə çevrənin üzərindədir.
Çevrənin tənliyi
Mərkəzi M(a; b), radiusu r olan çevrə: MN² = (x − a)² + (y − b)² = r².
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqMərkəzə və bir nöqtəyə görə çevrənin tənliyi
Mərkəzi M(−1; 3) nöqtəsində olan çevrə A(2; −1) nöqtəsindən keçir. Bu çevrənin tənliyini (x − a)² + (y − b)² = r² şəklində yazın.
- Çevrə A nöqtəsindən keçir, ona görə radius MA məsafəsidir: r² = MA² = (2 − (−1))² + (−1 − 3)².
- r² = 3² + (−4)² = 9 + 16 = 25 (radius r = 5; tənliyə r² yazılır).
- Mərkəz M(−1; 3): a = −1, b = 3, buradan x − a = x + 1, y − b = y − 3.
- Tənlik: (x + 1)² + (y − 3)² = 25.
- Cavab: (x + 1)² + (y − 3)² = 25
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Yoxlama: A(2; −1) nöqtəsinin koordinatlarını yerinə yazaq: (2 + 1)² + (−1 − 3)² = 9 + 16 = 25 ✓ — A çevrənin üzərindədir.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- (x − 1)² + (y + 3)² = 25Mərkəzin koordinatları tənliyə səhv işarə ilə yazılıb: a = −1 olduqda x − a = x + 1, b = 3 olduqda y − b = y − 3.
- (x + 1)² + (y − 3)² = 5Sağ tərəfə radiusun özü yazılıb. MA = 5 radiusdur, tənlikdə isə r² = 25 durur.
- (x − 2)² + (y + 1)² = 25Mərkəz ilə çevrə üzərindəki nöqtə qarışdırılıb: bu, mərkəzi A(2; −1) olan çevrədir. Tənliyə M(−1; 3) mərkəzi yazılır.
- (x + 1)² + (y − 3)² = 17Absislərin fərqi səhv hesablanıb: 2 − (−1) = 3, 1 deyil. r² = 3² + (−4)² = 9 + 16 = 25; 1² + 4² = 17 alınmamalı idi.