x² + y² + 10x − 4y − 20 = 0 tənliyi ilə verilmiş çevrənin radiusunu tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Çevrənin tənliyi
Əsas fikir
Dərslikdən. Mərkəzi M(a; b) nöqtəsində olan r radiuslu çevrənin üzərindəki istənilən N(x; y) nöqtəsi üçün iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə √((x − a)² + (y − b)²) = r. Hər iki tərəfi kvadrata yüksəltməklə çevrənin tənliyi alınır:
(x − a)² + (y − b)² = r²
Mərkəz koordinat başlanğıcında olduqda tənlik x² + y² = r² şəklindədir. Çevrə üzərindəki istənilən nöqtənin koordinatları bu tənliyi ödəyir və tərsinə, koordinatları tənliyi ödəyən nöqtə çevrənin üzərindədir.
Tam kvadrata ayırma. Tənlik x² + y² + Dx + Ey + F = 0 şəklində verilibsə, dərslikdəki nümunədə olduğu kimi x-li və y-li hədləri tam kvadrata tamamlayırıq: x² + Dx = (x + D2 / )² − (D2 / )². Əlavə etdiyimiz ədədləri tənliyin digər tərəfinə keçirib onu (x − a)² + (y − b)² = r² şəklinə gətiririk.
Çevrənin tənliyi
Mərkəzi M(a; b), radiusu r olan çevrə: MN² = (x − a)² + (y − b)² = r².
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqTam kvadrata ayırmaqla çevrənin radiusu
x² + y² + 10x − 4y − 20 = 0 tənliyi ilə verilmiş çevrənin radiusunu tapın.
- x-li hədləri tam kvadrata tamamlayırıq: x² + 10x = (x² + 10x + 25) − 25 = (x + 5)² − 25.
- y-li hədləri də: y² − 4y = (y² − 4y + 4) − 4 = (y − 2)² − 4.
- Tənlik: (x + 5)² − 25 + (y − 2)² − 4 − 20 = 0, yəni (x + 5)² + (y − 2)² = 49.
- Mərkəz M(−5; 2), r² = 49, radius r = 7.
- Cavab: r = 7
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Yoxlama: mərkəzdən 7 vahid sağdakı (2; 2) nöqtəsi çevrənin üzərində olmalıdır: 2² + 2² + 10 · 2 − 4 · 2 − 20 = 4 + 4 + 20 − 8 − 20 = 0 ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 2√5Tam kvadrata tamamlayarkən əlavə edilən 25 və 4 nəzərə alınmayıb: r² = 20 deyil, 20 + 25 + 4 = 49.
- 49Bu, r²-dir; radius r = √49 = 7.
- 3√5Yalnız x-li hədlər tam kvadrata tamamlanıb, y² − 4y üçün əlavə olunan 4 unudulub: r² = 20 + 25 = 45 alınıb.
- 2√34Əmsalın yarısı əvəzinə əmsalın özü kvadrata yüksəldilib: 10² = 100 və 4² = 16, r² = 20 + 100 + 16 = 136. Düzgünü (10 : 2)² = 25 və (4 : 2)² = 4.