ABCD dördbucaqlısında AB = AD və CB = CD-dir. Bu dördbucaqlı radiusu 5 sm olan çevrənin daxilinə çəkilmişdir və AB = 6 sm. ABCD-nin daxilinə də çevrə çəkmək olduğunu göstərin və bu çevrənin radiusunu tapın. Cavabı santimetrlə, adi kəsr şəklində yazın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
İki teorem bir fiqurda
Əsas fikir
Teorem 5. Dərslik: «Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının qarşı bucaqlarının cəmi 180°‑yə bərabərdir: ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°»
Tərs teorem. «Dördbucaqlının qarşı tərəflərinin cəmi bərabərdirsə, onun daxilinə çevrə çəkmək olar.»
Topic 4.14‑dən: daxilə çəkilmiş bucaq söykəndiyi qövsün yarısına bərabərdir; daxilə çəkilmiş düz bucaq diametrə söykənir.
Radius və sahə (tapşırıq 22): daxilinə çevrə çəkilmiş dördbucaqlı üçün r = 2S/P (S — sahə, P — perimetr). Səbəbi: mərkəzi təpələrlə birləşdirəndə dördbucaqlı hündürlüyü r olan dörd üçbucağa bölünür, S = r · P : 2.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqDeltoidin daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu
ABCD dördbucaqlısında AB = AD və CB = CD-dir. Bu dördbucaqlı radiusu 5 sm olan çevrənin daxilinə çəkilmişdir və AB = 6 sm. ABCD-nin daxilinə də çevrə çəkmək olduğunu göstərin və bu çevrənin radiusunu tapın. Cavabı santimetrlə, adi kəsr şəklində yazın.
- ABC və ADC üçbucaqları üç tərəfinə görə konqruyentdir (AB = AD, CB = CD, AC ortaqdır), ona görə ∠B = ∠D.
- ABCD çevrənin daxilinə çəkilib: Teorem 5‑ə görə ∠B + ∠D = 180°, deməli ∠B = ∠D = 90°.
- Daxilə çəkilmiş ABC düz bucağı diametrə söykənir: AC = 2 · 5 = 10 sm. ABC üçbucağında BC = √(10² − 6²) = 8 sm, deməli CD = 8 sm.
- Qarşı tərəflərin cəmləri: AB + CD = 6 + 8 = 14 sm, BC + AD = 8 + 6 = 14 sm — bərabərdir. Teorem 4‑ün tərsinə görə ABCD-nin daxilinə çevrə çəkmək olar.
- Sahə: S = 2 · S(ABC) = 2 · ½ · 6 · 8 = 48 sm². Perimetr: P = 6 + 8 + 8 + 6 = 28 sm.
- Dərslikdəki düstur (tapşırıq 22): r = 2S/P = 96/28 = 24/7 sm (≈ 3,43 sm).
- Cavab: r = 24/7 sm
Çevrənin daxilinə çəkilmiş ABCD deltoidi (AB = AD = 6, CB = CD = 8) və onun daxilinə çəkilmiş çevrə
∠B = ∠D = 90°, AC = 10 sm diametrdir; daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzi I AC üzərindədir, r = 24/7 sm.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Mərkəzi təpələrlə birləşdirsək, dördbucaqlı hündürlüyü r olan dörd üçbucağa bölünür: S = ½ · r · 28 = 14r; 14 · 24/7 = 48 sm² ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 2 smBu, ABC düzbucaqlı üçbucağının daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusudur: (6 + 8 − 10) : 2. Dördbucaqlının daxilinə çəkilmiş çevrə isə onun dörd tərəfinə toxunur, AC diaqonalına yox.
- 12/7 smSahə perimetrə bölünüb: 48 : 28. Dərslikdəki düstur r = 2S/P-dir, yəni 2 · 48 : 28 = 24/7.
- 24/5 smBu, B təpəsindən AC diaqonalına qədər məsafədir (6 · 8 : 10 = 4,8 sm), yəni BD-nin yarısı. Daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzi AC üzərindədir, lakin O nöqtəsində deyil və radius dörd tərəfə qədər məsafədir.
- 48/7 smBu, çevrənin diametridir (2 · 24/7): r = 2S/P düsturunda 2S yarımperimetrə (14 sm) bölünüb.