Dördbucaqlılar

• 3.17
• 8-ci sinif
• Həndəsə

Dördbucaqlılar

Bağçada dörd dirək var: A, B, C, D. Kəndiri dirəklərə növbə ilə bağlayıb qapalı çəpər çəkirik. A→B→C→D→A sırası ilə kəndir sahəni əhatə edir. A→C→B→D→A sırası ilə isə kəndir özünü kəsir. Dirəklər eynidir — bəs hansı halda dördbucaqlı alınır?

Bu dərsdə

• dörd nöqtədən nə vaxt dördbucaqlı alındığını deyəcək, onu düzgün adlandıracaq, qonşu və qarşı tərəfləri, təpələri və diaqonalları tapacaqsan;
• qabarıq və qabarıq olmayan (çökük) dördbucaqlını tərəfin düz xətti və diaqonalların yeri ilə ayıracaqsan;
• perimetri tapacaq, diaqonalın ala biləcəyi qiymətləri üçbucaq bərabərsizliyi ilə məhdudlaşdıracaqsan.

• tərəf
• diaqonal
• daxili hissə
• səhv / kəsişmə

Eyni dörd dirək, iki ardıcıllıq

Başla Yenidən Yenidən

1. Hər iki paneldə eyni dörd dirək: A, B, C, D.
2. Sol: A→B→C→D→A. Kəndir hissələri kəsişmir — sahə qapanır.
3. Sağ: A→C→B→D→A. AC və BD hissələri kəsişir (qırmızı nöqtə).

1. Nə dördbucaqlıdır?
2. Adlar
3. Qabarıq, çökük
4. D-ni gəzdir
5. Diaqonal
6. Hesabla
7. Diqqət
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

Hansı fiqur dördbucaqlıdır?

Hər lövhədə dörd nöqtə var və onlar ardıcıl birləşdirilib. Dörd fiqurun hamısı «dörd nöqtə, dörd parça»dır, amma yalnız ikisi dördbucaqlıdır. Fərqi tap.

Dörd fiqur

Lövhə 1Dörd nöqtə, dörd parça✓ dördbucaqlı · ✗ deyil

1 — dördbucaqlı. 2 — bir təpəsi içəri batıb, yenə dördbucaqlıdır. 3 — üç nöqtə bir düz xətt üzərindədir (qırmızı kəsik xətt): fiqur üçbucaqdır. 4 — iki parça kəsişir (qırmızı nöqtə).

Deməli, dördbucaqlı üçün iki şərt lazımdır: heç bir üç nöqtə bir düz xətt üzərində olmamalıdır və parçalar kəsişməməlidir. Dərslikdəki tərif məhz budur.

2 · Qayda

Tərif və adlar

Yadda saxla

Heç bir üçü bir düz xətt üzərində olmayan dörd nöqtədən və onları ardıcıl birləşdirən dörd parçadan ibarət olan fiqura dördbucaqlı deyilir. Bu halda nöqtələri birləşdirən parçalar kəsişməməlidir.

• Verilmiş nöqtələr dördbucaqlının təpələri, onları birləşdirən parçalar isə tərəfləridir.
• Dördbucaqlı ABCD-nin tərəfləri: AB, BC, CD, DA.

Tərəflər və təpələr cüt-cüt ya qonşu, ya da qarşı olur. Aşağıdan birini seç: lövhədə həmin cüt işıqlanacaq.

Nəyi göstərək?

Qonşu tərəflər Qarşı tərəflər Qonşu təpələr Qarşı təpələr Diaqonallar

ABCD dördbucaqlısı

Lövhə 2ABCD dördbucaqlısının hissələri

Qonşu tərəflər ortaq nöqtəsi olan tərəflərdir. AB və BC-nin ortaq nöqtəsi B-dir. Hər tərəfin iki qonşusu var: AB üçün BC və DA.

Qarşı tərəflər ortaq nöqtəsi olmayan tərəflərdir. ABCD-də iki cüt var: AB və CD, BC və DA.

Qonşu təpələr istənilən tərəfin uc nöqtələridir. A və B qonşudur, çünki AB tərəfdir. A-nın qonşuları B və D-dir.

Qarşı təpələr eyni tərəfə aid olmayan təpələrdir. A və C, B və D — iki cüt.

Qarşı təpələri birləşdirən parçalar diaqonallardır. ABCD-nin iki diaqonalı var: AC və BD. Diaqonal tərəf deyil, baxmayaraq ki, o da təpədən çıxır.

İfadələr dərslikdəki kimidir. Diaqonalların sayı: hər təpədən yalnız bir — qarşı təpəyə.

Daxili hissə

Dördbucaqlı müstəvini iki hissəyə ayırır: daxildə qalan sonlu hissə və xarici hissə.

Müstəvi dördbucaqlı

Dördbucaqlı ilə məhdudlanmış sonlu hissə (lövhələrdə lime rəngli sahə).

Perimetr

P = AB + BC + CD + DA

Dörd tərəfin uzunluqları cəmi.

3 · Qayda

Dördbucaqlını necə adlandıraq?

Ad təpələrin dövrə ardıcıllığı ilə yazılır: istənilən təpədən başlayıb sərhəd boyunca gəzirik. Əlifba sırası işə yaramır.

Dövrə ardıcıllığı P, R, Q, S

Lövhə 3Dövrə ardıcıllığısol ✓ · sağ ✗

Solda sərhəd boyunca gəzirik: P → R → Q → S. Sağda P → Q → R → S sırası ilə birləşdirsək, PQ və RS parçaları kəsişir — bu, başqa fiqurdur və dördbucaqlı deyil.

Bu dördbucaqlının düzgün adları 8-dir: 4 başlanğıc təpə və 2 istiqamət.

• PRQS
• RQSP
• QSPR
• SPRQ
• PSQR
• SQRP
• QRPS
• RPSQ

• PQRS
• PRSQ

Səhv adlarda iki qarşı təpə yan-yana yazılıb: PQRS-də P və Q, PRSQ-da R və S. Adda yan-yana duran hərflər tərəf olmalıdır, diaqonal yox.

4 · Qayda

Qabarıq və çökük

Yadda saxla

Tərəfləri özündə saxlayan düz xətlər üzərində dördbucaqlının daxilinə aid nöqtə yoxdursa, bu dördbucaqlı qabarıq, varsa, qabarıq olmayan (çökük) dördbucaqlı adlanır.

• Qabarıq dördbucaqlının diaqonalları onun daxilində yerləşir.
• Çökük dördbucaqlıda diaqonallardan biri onun xaricindədir.

Qabarıq və çökük dördbucaqlı

Lövhə 4Tərəfin düz xətti ilə yoxlamal — kəsik xətt

Solda l düz xətti AD tərəfini saxlayır və bütün fiqur onun bir tərəfində qalır. Sağda l düz xətti CD tərəfini saxlayır, amma D-dən sonra daxildən keçir (qırmızı hissə): dördbucaqlı çökükdür.

Yoxlama üsulu: hər tərəf üçün düşün — onun düz xətti daxildən keçirmi? Bir tərəf üçün belə «keçir» cavabı varsa, dördbucaqlı çökükdür. Qabarıq dördbucaqlının başqa əlaməti də var: daxilindən götürülmüş istənilən iki nöqtəni birləşdirən parça bütünlüklə daxildə qalır.

5 · Laboratoriya

D təpəsini gəzdir

A, B və C yerində qalır. D-ni beş yerdən birinə qoy: lövhə ABCD-ni, onun diaqonallarını (narıncı; kəsik — xaricdə) və hökmü yenidən çəkir.

D hara qoyulsun?

D₁ D₂ D₃ D₄ D₅

D təpəsi beş yerdə

Lövhə 5A, B, C sabit — D gəzir

Qabarıq dördbucaqlıHər tərəfin düz xətti bütün fiquru bir tərəfdə saxlayır. AC və BD diaqonallarının ikisi də daxildədir.

Çökük dördbucaqlıD təpəsi içəri batıb. CD tərəfinin düz xətti D-dən sonra daxildən keçir (qırmızı hissə). BD diaqonalı daxildə, AC isə xaricdədir (kəsik).

Çökük dördbucaqlıİndi içəri batan təpə C-dir. BC tərəfinin düz xətti C-dən sonra daxildən keçir. Bu dəfə AC daxildə, BD xaricdədir.

Dördbucaqlı deyilDA və BC tərəfləri kəsişir (qırmızı nöqtə). Tərifə görə tərəflər kəsişməməlidir.

Dördbucaqlı deyilC, D və A bir düz xətt üzərindədir (qırmızı kəsik xətt). Fiqur ABC üçbucağıdır, D isə onun AC tərəfinin bir nöqtəsidir.

Dördbucaqlı olub-olmadığına əvvəlcə tərifə görə bax (üç nöqtə bir xətt üzərindəmi, tərəflər kəsişirmi), sonra qabarıqlığı yoxla.

6 · Qayda

Diaqonal dördbucaqlını iki üçbucağa ayırır

Daxildəki diaqonal dördbucaqlını ortaq tərəfli iki üçbucağa bölür. Qabarıq dördbucaqlıda bunu hər iki diaqonal edir, çökükdə isə yalnız biri.

Diaqonal iki üçbucaq yaradır

Lövhə 6Diaqonal və iki üçbucaq

Solda BD diaqonalı ABCD-ni ABD və BCD üçbucaqlarına ayırır; ortaq tərəf BD-dir. Sağda çökük STUV-də daxildəki TV diaqonalı onu STV və TUV üçbucaqlarına ayırır, xaricdəki SU isə ayırmır.

Başla Yenidən Yenidən

Sadə fiqur

Sonlu sayda müstəvi üçbucağa ayrıla bilən fiqur sadə fiqurdur. Dördbucaqlı sadə fiqurdur.

Diaqonal — iki üçbucağın tərəfi

Ona görə diaqonalın uzunluğu hər iki üçbucaqda üçbucaq bərabərsizliyinə tabedir (Nümunə 3).

7 · Hesabla

Perimetr və diaqonal

Nümunə 1Nisbətə görə tərəflər

Dördbucaqlının tərəfləri 3 : 5 : 7 : 9 nisbətindədir, perimetri 168 sm-dir. Tərəfləri tapın.

1. Bir hissəni k ilə işarə edək: tərəflər 3k, 5k, 7k, 9k.
2. Perimetr: 3k + 5k + 7k + 9k = 24k, 24k = 168, k = 7.
3. 3 · 7 = 21, 5 · 7 = 35, 7 · 7 = 49, 9 · 7 = 63.
4. Yoxlama: 21 + 35 + 49 + 63 = 168 ✓ 21 sm, 35 sm, 49 sm, 63 sm

Nümunə 2İfadələrlə perimetr

ABCD-də AB = a, BC = a + 4, CD = 2a − 3, DA = 2a + 3 (santimetrlə). Perimetr 106 sm-dir. Tərəfləri tapın.

1. Hamısını toplayırıq, sabitləri unutmadan: a + (a + 4) + (2a − 3) + (2a + 3) = 6a + 4.
2. 6a + 4 = 106, 6a = 102, a = 17.
3. AB = 17, BC = 17 + 4 = 21, CD = 34 − 3 = 31, DA = 34 + 3 = 37.
4. Yoxlama: 17 + 21 + 31 + 37 = 106 ✓ 17 sm, 21 sm, 31 sm, 37 sm

Nümunə 3Diaqonal hansı ola bilər?

ABCD-də AB = 43 sm, BC = 29 sm, CD = 24 sm, DA = 22 sm. BD diaqonalının uzunluğu santimetrlə tam ədəddir. O, ən azı və ən çoxu neçə ola bilər?

Nümunə 3 miqyasla

Lövhə 7İki üçbucaq, bir diaqonalmiqyasla, BD = 34 halı

1. BD diaqonalı ABCD-ni ABD və BCD üçbucaqlarına ayırır; BD hər ikisinin tərəfidir.
2. Üçbucaqda hər tərəf digər ikisinin fərqindən böyük, cəmindən kiçikdir.
3. ABD: 43 − 22 < BD < 43 + 22, yəni 21 < BD < 65.
4. BCD: 29 − 24 < BD < 29 + 24, yəni 5 < BD < 53.
5. İki şərt birlikdə: 21 < BD < 53. Aşağı sərhəd ABD-dən, yuxarı sərhəd BCD-dən gəlir. ən azı 22 sm, ən çoxu 52 sm

Məsələn, BD = 58 sm ola bilməz: ABD üçbucağı üçün bu uyğundur (58 < 65), amma BCD-də 29 + 24 = 53 < 58, belə üçbucaq yoxdur. Lövhə 7 mümkün hallardan birini (BD = 34 sm) miqyasla göstərir.

8 · Diqqət

Tez-tez edilən səhvlər

Səhv

Özünü kəsən fiqur da dördbucaqlıdır

Dörd nöqtə, dörd parça var, amma iki parça kəsişir — tərifə görə dördbucaqlı deyil (Lövhə 1, fiqur 4).

Düz

Çökük fiqur da dördbucaqlıdır

Bir təpənin içəri batması qadağan deyil: tərəflər kəsişmir, üç təpə bir xətt üzərində deyil (Lövhə 1, fiqur 2).

Səhv

Lövhə 3 üçün ad: PQRS

Əlifba sırası sərhəd ardıcıllığı deyil: PQ və RS diaqonaldır.

Düz

Lövhə 3 üçün ad: PRQS

Sərhəd boyunca gəzib təpələri rastlaşdığın sıra ilə yaz.

Səhv

Nümunə 1, cavab: 7 sm

k = 7 bir hissədir, tərəf deyil.

Düz

Tərəflər: 3k, 5k, 7k, 9k

k-nı tapdıqdan sonra hər nisbət ədədini k-ya vur: 21, 35, 49, 63 sm.

Səhv

Nümunə 3: BD = 9 ola bilər, çünki 5 < 9 < 53

Yalnız BCD yoxlanıb. ABD-də BD > 21 olmalıdır.

Düz

Hər iki üçbucağı yoxla

Diaqonal iki üçbucağın ortaq tərəfidir: 21 < BD < 53.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan RSTU dördbucaqlısında (təpələr bu ardıcıllıqla) ST tərəfinə qarşı tərəf hansıdır? Sual 1 variantları TUURRT Düzdür! ST ilə UR-in ortaq nöqtəsi yoxdur. Qarşı tərəfin ST ilə ortaq nöqtəsi olmamalıdır. TU-nun T nöqtəsi ortaqdır, RT isə tərəf deyil — diaqonaldır. Həllə bax Tərəflər: RS, ST, TU, UR. ST-nin qonşuları RS və TU-dur (ortaq S və T). Qalan UR — qarşı tərəfdir. RT qarşı təpələri birləşdirir, diaqonaldır.
2. Asan DEFG dördbucaqlısının (təpələr bu ardıcıllıqla) başqa düzgün adı hansıdır? Sual 2 variantları DFEGEDFGGFED Düzdür! Eyni sərhəd, əks istiqamətdə gəzilib. Adda yan-yana duran hərflər tərəf olmalıdır. DF və EG diaqonaldır. Həllə bax Tərəflər DE, EF, FG, GD. GFED: GF, FE, ED, DG — hamısı tərəfdir. DFEG-də DF və EG, EDFG-də DF və GE diaqonaldır.
3. Orta Dördbucaqlının tərəfləri 2 : 5 : 6 : 9 nisbətindədir, perimetri 77 sm-dir. Ən böyük tərəfi tapın. Sual 3 variantları 19,25 sm31,5 sm3,5 sm21 sm Düzdür! k = 3,5 və 9k = 31,5. Tərəflər bərabər deyil, ona görə 4-ə bölmək olmaz. Əvvəlcə bir hissəni (k) tap, sonra ən böyük nisbət ədədinə vur. Həllə bax 2 + 5 + 6 + 9 = 22 hissə, k = 77 : 22 = 3,5. Ən böyük tərəf 9k = 9 · 3,5 = 31,5 sm. 19,25 sm — 77 : 4; 3,5 sm — bir hissə; 21 sm — 6k.
4. Orta Qabarıq olmayan (çökük) dördbucaqlının diaqonalları haqqında hansı doğrudur? Sual 4 variantları İkisi də daxildədir.Biri daxildə, biri xaricdədir.İkisi də xaricdədir.İkisi də onu iki üçbucağa ayırır. Düzdür! Daxildəki diaqonal onu iki üçbucağa ayırır, xaricdəki ayırmır. Lövhə 5-də D₂ və D₃ hallarına bax: diaqonallardan biri kəsik xətlə xaricdə çəkilib. Həllə bax Hər iki diaqonalın daxildə olması qabarıq dördbucaqlının əlamətidir. Çökükdə biri xaricdədir, ona görə yalnız daxildəki diaqonal onu iki üçbucağa ayırır.
5. Çətin ABCD-də AB = 27 sm, BC = 22 sm, CD = 35 sm, DA = 28 sm. AC diaqonalının uzunluğu hansı ola bilər? Sual 5 variantları 6 sm31 sm49 sm55 sm Düzdür! 7 < 31 < 49 — hər iki üçbucaqda ödənir. AC həm ABC, həm də ACD üçbucağının tərəfidir. Hər iki üçbucaq üçün bərabərsizlikləri yaz. Həllə bax ABC: 27 − 22 < AC < 27 + 22, yəni 5 < AC < 49. ACD: 35 − 28 < AC < 35 + 28, yəni 7 < AC < 63. Birlikdə 7 < AC < 49. 6 sm ACD-də olmur, 49 sm sərhəddir (ABC üçbucağı alınmır), 55 sm ABC-də olmur.
6. Çətin Dördbucaqlının tərəfləri ardıcıl m, m + 6, 2m + 3 və 3m − 7 santimetrdir, perimetri 156 sm-dir. Ən uzun tərəfi tapın. Sual 6 variantları 22 sm39 sm59 sm66 sm Düzdür! m = 22, ən uzun tərəf 3m − 7 = 59. Əvvəlcə dörd ifadəni topla (sabitlər də daxil), tənliyi həll et, sonra ən uzun tərəfi hesabla. Həllə bax m + (m + 6) + (2m + 3) + (3m − 7) = 7m + 2 = 156, 7m = 154, m = 22. Tərəflər 22, 28, 47, 59 sm; ən uzunu 59 sm. 22 — m-in özü, 39 — 156 : 4, 66 — 3m, −7 atılıb.

10 · Yekun

Üç nəticə

• Dördbucaqlı: dörd nöqtə, kəsişməyən dörd tərəfHeç bir üç təpə bir düz xətt üzərində deyil; ad təpələrin dövrə ardıcıllığı ilə yazılır.
• Qabarıq yoxsa çökük — düz xətt deyirTərəfin düz xətti daxildən keçirsə, çökükdür; çökükdə bir diaqonal xaricdədir.
• Diaqonal — iki üçbucağın ortaq tərəfiPerimetr dörd tərəfin cəmidir; diaqonalın sərhədlərini hər iki üçbucaqda yoxla.

Növbəti mövzu: 3.18 Dördbucaqlının daxili və xarici bucaqları.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8-ci sinif», Bölmə 4 «Dördbucaqlılar», çap səh. 71–72: dördbucaqlının tərifi, qonşu və qarşı tərəflər və təpələr, daxili hissə və müstəvi dördbucaqlı, qabarıq və qabarıq olmayan (çökük) dördbucaqlı, diaqonallar və onların yeri, iki üçbucağa bölmə, sadə fiqur. Bütün fiqurlar və ədədlər öyrətmək üçün yenidən qurulub; lövhələrdəki koordinatlar hesablanıb, Lövhə 7 miqyasla çəkilib.