Təpələri A(−1; −2), B(7; 4) və C(0; 5) nöqtələrində olan ABC üçbucağının xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzinin koordinatlarını tapın. Cavabınızı əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
İki nöqtə arasındakı məsafə
Əsas fikir
Dərslikdən. P(x₁; y₁) və R(x₂; y₂) nöqtələri arasındakı məsafə
PR = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
düsturu ilə hesablanır. Nöqtələrdən koordinat oxlarına paralel düz xətlər keçirəndə MPR düzbucaqlı üçbucağı alınır: katetləri |x₂ − x₁| və |y₂ − y₁|, hipotenuzu PR. Pifaqor teoreminə görə PR² = MR² + MP². Fərqlər kvadrata yüksəldildiyi üçün nöqtələrin sırası fərq etmir.
Pifaqor teoreminin tərsi (8-ci sinif): üçbucağın tərəfləri a, b və ən böyük tərəfi c üçün a² + b² = c² olarsa, c-nin qarşısındakı bucaq düzdür. c² < a² + b² olarsa, üçbucaq itibucaqlı, c² > a² + b² olarsa, korbucaqlıdır.
Düzbucaqlı üçbucağın düz bucağı onun xaricinə çəkilmiş çevrədə diametrə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqdır. Deməli, hipotenuz diametrdir: çevrənin mərkəzi hipotenuzun orta nöqtəsidir, radiusu hipotenuzun yarısıdır.
Parçanın orta nöqtəsi (8-ci sinif): A(x₁; y₁) və B(x₂; y₂) üçün M(x₁ + x₂2 / ; y₁ + y₂2 / ).
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqÜçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi
Təpələri A(−1; −2), B(7; 4) və C(0; 5) nöqtələrində olan ABC üçbucağının xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzinin koordinatlarını tapın. Cavabınızı əsaslandırın.
- Tərəflər: AC = √((0 − (−1))² + (5 − (−2))²) = √(1 + 49) = √50; BC = √((0 − 7)² + (5 − 4)²) = √(49 + 1) = √50; AB = √((7 − (−1))² + (4 − (−2))²) = √(64 + 36) = 10.
- AC² + BC² = 50 + 50 = 100 = AB², Pifaqor teoreminin tərsinə görə C bucağı düzdür, AB hipotenuzdur.
- Düzbucaqlı üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi hipotenuzun orta nöqtəsidir: ((−1 + 7) : 2; (−2 + 4) : 2) = (3; 1).
- Cavab: Mərkəz (3; 1), radius 5
Düzbucaqlı üçbucaq və onun xaricinə çəkilmiş çevrə
C = 90°, AB hipotenuz və diametrdir; mərkəz (3; 1), radius 5.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Yoxlama: (3; 1) nöqtəsindən təpələrə qədər məsafələr: A-ya √(16 + 9) = 5, B-yə √(16 + 9) = 5, C-yə √(9 + 16) = 5 — hamısı bərabərdir ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- (2; 7/3)Bu, təpələrin koordinatlarının ədədi ortasıdır — medianların kəsişmə nöqtəsi. Ondan təpələrə qədər məsafələr bərabər deyil: məsələn, C-yə √(4 + 64/9), A-ya √(9 + 169/9).
- (−0,5; 1,5)AC tərəfinin ortası götürülüb. AC katetdir; hipotenuz ən böyük tərəf AB = 10-dur.
- (3,5; 4,5)BC tərəfinin ortası götürülüb. BC katetdir; çevrənin mərkəzi hipotenuz AB-nin ortasıdır.
- (0; 5)Düz bucağın təpəsi C mərkəz sanılıb. C çevrənin üzərindədir, mərkəzi deyil.