Mətn (transkript)
Əyri altındakı bütöv sahəni cəmi iki ədəd verir. Hansı iki ədəd? Bu əyrinin altında, a ilə be arasında bir sahə var. İnteqral cəmində onu nazik zolaqlarla doldururuq. Zolaqlar nazikləşdikcə cəm dəqiqləşir. Amma dəqiq cavab üçün zolaqların sayı sonsuz olmalıdır. Bəs zolaqsız yol varmı? Sahəyə başqa gözlə baxaq. Sol kənarı sıfırda saxlayaq, sağ kənarı isə iks nöqtəsinə qədər sürüşdürək. Bu sahəni es iks adlandıraq. İks sağa getdikcə es iks böyüyür. Bəs o, hansı sürətlə böyüyür? İksi çox kiçik bir ha qədər irəli çəkək. Sahəyə nazik bir zolaq əlavə olunur. Onun eni ha, hündürlüyü təxminən ef iksdir. Deməli, sahənin artımı təxminən ha vurulsun ef iksdir. İndi artımı ha-ya bölək və ha-nı sıfıra yaxınlaşdıraq. Sahənin artma sürəti düz ef iks olur. Yəni es ştrix iks bərabərdir ef iks: sahə əyrinin hündürlüyü qədər sürətlə böyüyür. Ani dəyişmə sürətini hesablamaq ehtiyacı İsaak Nyutonu və Gottfrid Leybnisi diferensial hesaba gətirib çıxardı. Bu iki alim cəmi dörd il fərqlə doğulub. İndi gördüyümüz əlaqə onların adını daşıyır. Törəməsi ef iks olan funksiyaya ef-in ibtidai funksiyası deyilir. Deməli, es iks ibtidai funksiyadır. Amma ibtidai funksiya tək deyil. İbtidai funksiyalardan birini böyük ef ilə işarə edək. Ona istənilən sabit əlavə etsək, törəməsi dəyişmir. Ona görə es iks bərabərdir böyük ef iks üstəgəl hansısa sabit. Bu sabiti bilmirik. Amma a ilə be arasındakı sahə iki sahənin fərqidir: es be çıxılsın es a. Sabit qrafiki bütövlükdə yuxarı və ya aşağı sürüşdürür. İki nöqtə birlikdə qalxır, aralarındakı hündürlük fərqi isə eyni qalır. Sabit çıxmada yox olur və geriyə böyük ef be çıxılsın böyük ef a qalır. Bu, Nyuton-Leybnis düsturudur. Kəsilməz ef funksiyasının a-dan be-yə qədər müəyyən inteqralı onun ibtidai funksiyasının bu parçadakı artımına bərabərdir. Fərqi qısa da yazırlar: böyük ef iks, a-dan be-yə qədər. Hesablama üç addımdır: ibtidai funksiyanı tap, onun be və a nöqtələrindəki qiymətlərini hesabla, fərqi çıx. Biz düsturu mənfi olmayan funksiya üçün göstərdik, amma o, istənilən kəsilməz funksiya üçün doğrudur. İndi düsturu bir yayla yoxlayaq. Üç nyutonluq qüvvə yayı beş santimetr dartır. Huk qanununa görə qüvvə dartılma ilə düz mütənasibdir: qüvvə bərabərdir ka vurulsun iks. Beş santimetr sıfır tam yüzdə beş metrdir, deməli ka hər metrə altmış nyutondur. Yay dartıldıqca qüvvə artır. Ona görə işi qüvvə vurulsun yol kimi hesablamaq olmur. Dəyişən qüvvənin işi qüvvə qrafikinin altındakı sahədir. Deməli, iş sıfırdan sıfır tam yüzdə beşə qədər altmış iksin inteqralıdır. Birinci addım: altmış iksin ibtidai funksiyası otuz iks kvadratdır. İkinci addım: yuxarı sərhəddə otuz vurulsun sıfır tam on mində iyirmi beş, yəni sıfır tam mində yetmiş beş. Aşağı sərhəddə sıfır alınır. Üçüncü addım: fərq sıfır tam mində yetmiş beş couldur. Yoxlayaq: qrafik düz xətdir, sahə isə üçbucaqdır. Yarım vurulsun sıfır tam yüzdə beş, vurulsun üç nyuton: yenə sıfır tam mində yetmiş beş. Sonsuz zolağa ehtiyac qalmadı. Əyri altındakı bütöv sahəni iki ədəd verir: ibtidai funksiyanın be-dəki və a-dakı qiymətləri. Onların fərqi sahədir, işdir, yığılan dəyişmədir.