Mətn
f funksiyası [1; 6] parçasında kəsilməzdir. F və G funksiyaları f-in iki müxtəlif ibtidai funksiyasıdır.
F(1) = 4, F(6) = −3 və G(1) = 10 olduğu məlumdur.
G(6) neçəyə bərabərdir?
İzahı göstər
Müəyyən inteqral · Nyuton-Leybnis düsturu · izah
Iki ibtidai funksiya və C sabiti
F və G — [1; 6] parçasında kəsilməz f funksiyasının iki müxtəlif ibtidai funksiyasıdır. F(1) = 4, F(6) = −3, G(1) = 10. G(6) neçədir?
1 · Əsas fikir
Hansı qayda işləyir?
Nyuton-Leybnis düsturu
f funksiyası [a; b] parçasında kəsilməzdirsə və F onun ibtidai funksiyalarından biridirsə:
baf(x) dx = F(x)ba = F(b) − F(a)
Addımlar: 1) F-i tap; 2) F(a) və F(b)-ni hesabla; 3) fərqi al.
Dərslik deyir: müəyyən inteqral f-in hər hansı ibtidai funksiyasının [a; b] parçasında artımına bərabərdir; «funksiyanın qiymətləri fərqində C sabitinin təsiri yoxdur». Deməli, F və G parçada eyni qədər dəyişir.
Bu teorem dərslikdə «İnteqral hesabının əsas teoremi» adlanır və İsaak Nyuton (1642–1727) ilə Gottfrid Leybnisin (1646–1716) adını daşıyır; dərsliyə görə, onlar törəməyə gətirən diferensial hesabı formalaşdırıblar.
2 · Həll
Addım-addım həll
HəllIbtidai funksiyalar
- F ilə: 61f(x) dx = F(6) − F(1) = −3 − 4 = −7
- Düstur istənilən ibtidai funksiya üçün doğrudur, G üçün də: 61f(x) dx = G(6) − G(1)
- Tənlik: G(6) − 10 = −7 ⇒ G(6) = 3 Cavab: G(6) = 3
İki ibtidai funksiyanın qiymətləri
İki ibtidai funksiya sabit 6 qədər fərqlənir, amma [1; 6] parçasında hər ikisi eyni qədər (−7) dəyişir.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Başqa yolla: G(x) = F(x) + C, C = G(1) − F(1) = 10 − 4 = 6. Onda G(6) = −3 + 6 = 3 ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 17Fərqin işarəsi tərs götürülüb: 10 + 7. F 7 vahid azalır, G də 7 vahid azalmalıdır.
- −7Bu, 61f(x) dx inteqralının qiymətidir, G(6) yox.
- −3F və G eyni funksiya sayılıb. İbtidai funksiyalar bir-birindən sabit ədəd qədər fərqlənir: G(1) ≠ F(1).
- 7G(6) = F(6) + G(1) yazılıb. Əlavə olunan ədəd G(1) yox, C = G(1) − F(1) = 6-dır.
Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi (Elm və Təhsil Nazirliyi, CC BY-NC-SA 4.0), «Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu» bölməsi, səh. 239–244.