Nyuton-Leybnis: dəyişən sərhədli inteqral və bərabərsizlik

Müəyyən inteqral · Nyuton-Leybnis düsturu · izah

Dəyişən sərhədli inteqral və bərabərsizlik

x > 0 olduqda x0(2t − 6) dt < −5 bərabərsizliyini həll edin.

1 · Əsas fikir

Hansı qayda işləyir?

Nyuton-Leybnis düsturu

f funksiyası [a; b] parçasında kəsilməzdirsə və F onun ibtidai funksiyalarından biridirsə:

baf(x) dx = F(x)ba = F(b) − F(a)

Addımlar: 1) F-i tap; 2) F(a) və F(b)-ni hesabla; 3) fərqi al.

İnteqrallama dəyişəni t-dir, x isə yuxarı sərhəddir. Nyuton-Leybnis düsturu inteqralı x-dən asılı ifadəyə çevirir: F(x) − F(0). Sonra adi kvadrat bərabərsizlik həll olunur.

2 · Həll

Addım-addım həll

HəllDəyişən sərhəd

1. t-yə görə ibtidai funksiya: F(t) = t2 − 6t
2. Düstur: x0(2t − 6) dt = F(x) − F(0) = x2 − 6x
3. Bərabərsizlik: x2 − 6x < −5 ⇒ x2 − 6x + 5 < 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0
4. Parabolanın qolları yuxarıdır, üçhədli köklər arasında mənfidir: 1 < x < 5. Bu aralıq x > 0 şərtini ödəyir. x ∈ (1; 5) Cavab: (1; 5)

y = x² − 6x parabolası və y = −5 düz xətti

İnteqral x² − 6x funksiyasıdır; parabola y = −5 xəttindən 1 ilə 5 arasında aşağıdadır, yəni orada x² − 6x < −5 ödənir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

x = 3: 9 − 18 = −9 < −5 ✓. x = 1: 1 − 6 = −5, ciddi bərabərsizlik ödənmir, 1 daxil deyil ✓. x = 6: 36 − 36 = 0 > −5, 6 həll deyil ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• (0; 1) ∪ (5; +∞)Bərabərsizliyin işarəsi tərs oxunub: kvadrat üçhədli köklər arasında mənfidir, kənarda yox.
• (0; 0,5)İnteqral əvəzinə inteqralaltı funksiya yazılıb: 2x − 6 < −5.
• (0; 1)İnteqral x2 − 6 kimi yazılıb (−6-nın ibtidai funksiyası −6t olmalıdır), nəticədə x2 < 1 alınıb.
• həlli yoxdur2t-nin ibtidai funksiyası 2t2 götürülüb: 2x2 − 6x + 5 < 0 bərabərsizliyinin diskriminantı mənfidir. Düzgün ibtidai funksiya t2-dir.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi (Elm və Təhsil Nazirliyi, CC BY-NC-SA 4.0), «Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu» bölməsi, səh. 239–244.