Nyuton-Leybnis: çoxhədlinin müəyyən inteqralı

Müəyyən inteqral · Nyuton-Leybnis düsturu · izah

Çoxhədlinin müəyyən inteqralı

Hesablayın: 31(3x2 − 2x + 1) dx

1 · Əsas fikir

Hansı qayda işləyir?

Nyuton-Leybnis düsturu

f funksiyası [a; b] parçasında kəsilməzdirsə və F onun ibtidai funksiyalarından biridirsə:

baf(x) dx = F(x)ba = F(b) − F(a)

Addımlar: 1) F-i tap; 2) F(a) və F(b)-ni hesabla; 3) fərqi al.

İnteqralaltı funksiya çoxhədlidir, hər yerdə kəsilməzdir. Ona görə Nyuton-Leybnis düsturunun üç addımı birbaşa işləyir: ibtidai funksiyanı tap, sərhədlərdə qiymətlərini hesabla, fərqi al.

2 · Həll

Addım-addım həll

HəllÇoxhədli

1. Hər həddin ibtidai funksiyasını qüvvət qaydası ilə tapırıq (xn üçün xn+1/(n + 1)): 3x2 → x3, −2x → −x2, 1 → x. F(x) = x3 − x2 + x
2. Yuxarı sərhəddə: F(3) = 27 − 9 + 3 = 21
3. Aşağı sərhəddə: F(1) = 1 − 1 + 1 = 1
4. Fərqi alırıq: 31(3x2 − 2x + 1) dx = (x3 − x2 + x)31 = 21 − 1 = 20 Cavab: 20

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Törəmə ilə yoxlayırıq: (x3 − x2 + x)′ = 3x2 − 2x + 1 — ibtidai funksiya düzgündür. Ona sabit C əlavə etsək də nəticə dəyişmir: (21 + C) − (1 + C) = 20.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 21Yalnız F(3) = 21 götürülüb, aşağı sərhəd unudulub. F(1) = 1 sıfır deyil, onu çıxmaq lazımdır.
• 22F(3) ilə F(1) toplanıb. Düsturda cəm yox, fərq var: F(b) − F(a).
• 12İbtidai funksiya əvəzinə törəmə götürülüb: (3x2 − 2x + 1)′ = 6x − 2, sonra 16 − 4 = 12. İnteqrallama törəmənin əks əməlidir.
• 18Sabit 1-in ibtidai funksiyası (x) unudulub: x3 − x2 ilə 18 − 0 = 18 alınır.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi (Elm və Təhsil Nazirliyi, CC BY-NC-SA 4.0), «Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu» bölməsi, səh. 239–244.