Nyuton-Leybnis: 1/(kx + b) funksiyasının inteqralı

Müəyyən inteqral · Nyuton-Leybnis düsturu · izah

1/(kx + b) funksiyasının inteqralı

Hesablayın: 3042x + 3 /  dx

1 · Əsas fikir

Hansı qayda işləyir?

Nyuton-Leybnis düsturu

f funksiyası [a; b] parçasında kəsilməzdirsə və F onun ibtidai funksiyalarından biridirsə:

baf(x) dx = F(x)ba = F(b) − F(a)

Addımlar: 1) F-i tap; 2) F(a) və F(b)-ni hesabla; 3) fərqi al.

1/x funksiyasının ibtidai funksiyası ln|x|-dir. Arqument 2x + 3 olduqda: (ln|2x + 3|)′ = 2/(2x + 3), ona görə 1/(2x + 3)-ün ibtidai funksiyası ½ ln|2x + 3|-dür.

2 · Həll

Addım-addım həll

Həll1/x tipli

1. İbtidai funksiya (surətdəki 4 sabit vuruqdur): F(x) = 4 · ½ ln|2x + 3| = 2 ln|2x + 3|
2. [0; 3] parçasında 2x + 3 ədədi 3-dən 9-a qədər dəyişir, yəni müsbətdir: modul işarəsini atmaq olar, funksiya bu parçada kəsilməzdir.
3. Sərhədlərdə: F(3) = 2 ln 9, F(0) = 2 ln 3
4. Fərq və loqarifmin xassəsi: 3042x + 3 /  dx = 2 ln 9 − 2 ln 3 = 2 ln 93 / = 2 ln 3 Cavab: 2 ln 3

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

2 ln 3 ≈ 2,20. İnteqralaltı funksiya parçada 4/3-dən 4/9-a qədər azalır, ona görə inteqral 3 · 4/9 ≈ 1,33 ilə 3 · 4/3 = 4 arasında olmalıdır. 2,20 bu aralıqdadır.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 4 ln 3Daxili törəmə nəzərə alınmayıb: 4 ln|2x + 3| götürülüb. (ln|2x + 3|)′ = 2/(2x + 3), ona görə 2-yə bölmək lazımdır.
• 8 ln 32-yə bölmək əvəzinə 2-yə vurulub: 8 ln|2x + 3|.
• 2 ln 6ln 9 − ln 3 = ln 6 yazılıb. Loqarifmlərin fərqi nisbətin loqarifmidir: ln 9 − ln 3 = ln(9/3) = ln 3.
• ½ ln 3Surətdəki 4 vuruğu unudulub: ½ ln|2x + 3| yalnız 1/(2x + 3)-ün ibtidai funksiyasıdır.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi (Elm və Təhsil Nazirliyi, CC BY-NC-SA 4.0), «Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu» bölməsi, səh. 239–244.