Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu — dinləmə dərsi

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: bir çən və onun üstündə açılmış kran. Su əvvəlcə gur axır, sonra get-gedə zəifləyir. Dərsliyimizdə elə belə bir tapşırıq var. Çən dəqiqədə iki yüz litr sürətlə dolmağa başlayır, hər dəqiqə də bu sürət on litr azalır. Sual sadədir: ilk on dəqiqədə çəndəki suyun həcmi nə qədər artdı? Bunu necə hesablayaq? Ötən dərsdən bir yol bilirik. On dəqiqəni nazik dilimlərə bölürük. Hər dilimdə sürəti sabit sayırıq, o dilimdə axan suyu tapırıq və hamısını toplayırıq. Dilimlər nə qədər nazik olsa, cavab bir o qədər dəqiq olur. Amma tam dəqiq cavab üçün dilimləri sonsuz incəltmək lazımdır. Bu, çox yorucu bir yoldur. Bu gün isə başqa bir yol öyrənəcəyik. Bu yolda sonsuz sayda dilim yoxdur: cəmi iki ədəd tapırıq və birini o birindən çıxırıq. Sonsuz toplama necə olur ki, bir çıxmaya çevrilir? Bu, müəyyən inteqralın ən vacib sirridir, adı da Nyuton-Leybnis düsturudur. Əvvəlcə bu adın arxasındakı iki alimlə tanış olacağıq. Sonra sahənin necə böyüdüyünü izləyəcəyik, sabit ədədin niyə itdiyini görəcəyik və sonda yenidən çənə qayıdacağıq. Beləliklə, əvvəlcə adlardan başlayaq. Düstur iki alimin adını daşıyır. İsaak Nyuton min altı yüz qırx ikinci ildə doğulub, min yeddi yüz iyirmi yeddinci ildə vəfat edib. Gottfrid Leybnis ondan dörd il sonra, min altı yüz qırx altıncı ildə doğulub, min yeddi yüz on altıncı ildə vəfat edib. Dərsliyimiz törəmə fəslində onlar haqqında belə yazır: ani dəyişmə sürətini hesablamaq zərurəti Nyuton və Leybnis tərəfindən hesablamanın ən təməl və güclü qaydasının, diferensial hesabının formalaşmasına gətirib çıxardı. Bu qaydanın təkmilləşdirilməsi isə törəmə anlayışını doğurdu. Yəni hər şey bir sualdan başladı: bir şey indi, elə bu an, nə qədər sürətlə dəyişir? Bu dərsin düsturu isə həmin sualı tamamilə başqa bir sualla birləşdirir: zaman keçdikcə nə qədər toplanıb? Dərslik bu nəticəyə böyük bir ad verir: inteqral hesabının əsas teoremi. Dərsliyimiz bu kəşfin necə baş verdiyini danışmır, ona görə biz də adlar və tarixlərlə kifayətlənəcəyik. Amma teoremin niyə doğru olduğunu özümüz addım-addım izləyə bilərik. İndi ən maraqlı hissəyə keçək: sahə necə böyüyür? Üfüqi oxun üstündə yerləşən, mənfi olmayan, kəsilməz bir funksiyanın qrafikini təsəvvür edin. Sıfırdan başlayaraq qrafikin altını sağa doğru rəngləyirik. Rəngin sağ kənarı hansı nöqtədədirsə, o nöqtəyə qədərki sahəni sahə funksiyası adlandıraq. Kənar sağa getdikcə sahə böyüyür. İndi bu kənarı çox kiçik bir addım qədər sağa itələyək. Sahəyə nazik bir zolaq əlavə olunur. Zolağın eni elə həmin kiçik addımdır, hündürlüyü isə təxminən qrafikin o nöqtədəki hündürlüyüdür. Dərslik deyir ki, addım sıfıra yaxınlaşdıqca bu zolaq eni həmin addım, hündürlüyü funksiyanın qiyməti olan düzbucaqlıya yaxınlaşır. Buradan gözəl bir nəticə çıxır. Sahə tam olaraq qrafikin hündürlüyü qədər sürətlə böyüyür. Qrafik hündür olan yerdə sahə tez artır, alçaq olan yerdə yavaş. Törəmənin dili ilə desək: sahə funksiyasının törəməsi elə funksiyanın özüdür. Deməli, sahə funksiyası bu funksiyanın ibtidai funksiyalarından biridir. Dərslik bunu ən sadə halda yoxlayır: başlanğıcdan keçən düz xəttin altındakı üçbucaqla. O üçbucağın sahəsinin artma sürəti dəqiq həmin xəttin hündürlüyünə bərabər çıxır. Çən də eyni cür işləyir. Hər an suyun həcmi kranın həmin andakı sürəti qədər sürətlə artır. Sürətin qrafikinin altındakı sahə isə çənə əlavə olunan suyun həcmidir. Ani dəyişmə sürəti və toplanan miqdar, yəni törəmə və inteqral, eyni hekayənin iki tərəfidir. İndi kiçik bir problem çıxır. Ötən mövzudan bilirik ki, ibtidai funksiya bir dənə deyil. O, bütöv bir ailədir, və ailənin üzvləri bir-birindən yalnız sabit bir ədəd qədər fərqlənir. Sahə funksiyası bu ailənin hansı üzvüdür? Ona hansı sabit əlavə olunub? Bunu bilmirik. Ən maraqlısı odur ki, bilmək lazım da deyil. Bizə a nöqtəsindən b nöqtəsinə qədərki sahə lazımdır. Onu belə tapırıq: b-yə qədərki sahədən a-ya qədərki sahəni çıxırıq. Hər iki qiymətdə eyni sabit var. Çıxanda sabit sabiti aparır və yox olur. Dərslik bunu belə deyir: funksiyanın qiymətləri fərqində sabitin təsiri yoxdur. Bunu gündəlik bir misalla təsəvvür edək. Binada liftlə ikinci mərtəbədən beşinci mərtəbəyə qalxırsınız. Hündürlüyü yerdən ölçsəniz də, zirzəmidən ölçsəniz də, ikinci ilə beşinci mərtəbə arasındakı fərq dəyişmir. Sabit ədəd elə ölçməyə haradan başladığımızdır, fərq isə ondan asılı deyil. Beləliklə, Nyuton-Leybnis düsturu deyir: kəsilməz funksiyanın a-dan b-yə müəyyən inteqralı onun ibtidai funksiyasının b nöqtəsindəki qiyməti ilə a nöqtəsindəki qiymətinin fərqinə bərabərdir. Dərsliyin sözü ilə: müəyyən inteqral ibtidai funksiyanın bu parçadakı artımıdır. Dərslik düsturu mənfi olmayan funksiya üçün çıxarır, amma qeyd edir ki, o, istənilən kəsilməz funksiya üçün doğrudur. Praktikada bu düstur üç sadə addıma çevrilir. Birinci: funksiyanın hər hansı bir ibtidai funksiyasını tapırıq. İkinci: onun a və b nöqtələrindəki qiymətlərini hesablayırıq. Üçüncü: bu iki qiymətin fərqini tapırıq. Hər hansı ibtidai funksiya yarayır, çünki sabit onsuz da itəcək. Ona görə ən sadəsini, sabiti sıfır olanını götürürük. İndi çənə qayıdaq. Suyun axma sürətini bilirik. Bu sürətin ibtidai funksiyasını tapırıq, onun qiymətini sıfırıncı və onuncu dəqiqədə hesablayırıq və birini o birindən çıxırıq. Alınan fərq ilk on dəqiqədə çəndəki suyun həcminin artımıdır. Sonsuz dilimə ehtiyac qalmadı. Belə hesablamaları oxu dərsində və videoda addım-addım görəcəksiniz. Dərslikdə eyni üsul başqa yerlərdə də işləyir. Bir şirkətin satış həcminin hər gün nə qədər artdığı verilir və ilk beş gündəki satış həcmi soruşulur. Bir göldən hər il çıxarılan tullantıların sürəti verilir və on ildə təmizlənən tullantıların həcmi soruşulur. Hər dəfə sxem eynidir: dəyişmə sürətini bilirsinizsə, müəyyən inteqral ümumi dəyişməni verir. Gəlin başlanğıcdakı suala qayıdaq. Sonsuz sayda nazik zolağın cəmi necə bir çıxmaya çevrilir? Çünki sahə qrafikin hündürlüyü qədər sürətlə böyüyür. Bu o deməkdir ki, sahə funksiyası ibtidai funksiyadır. İbtidai funksiyanın iki nöqtə arasında nə qədər artdığını bilmək üçün isə iki qiyməti bir-birindən çıxmaq kifayətdir. Nyuton və Leybnisin adını daşıyan düstur törəmə ilə inteqralı belə birləşdirir. Yadda saxlamalı olduğunuz bir fikir budur: müəyyən inteqral ibtidai funksiyanın artımıdır, sabit ədəd isə fərqdə itir. Növbəti dəfə bir dəyişmə sürəti görəndə xatırlayın: onun ibtidai funksiyasını tapın və iki ucdakı qiymətlərin fərqini götürün. Dinlədiyiniz üçün sağ olun.