Çoxhədlinin çoxhədliyə bölünməsi

• 6.1
• 11-ci sinif
• Çoxhədlilər

Çoxhədlinin çoxhədliyə bölünməsi

3x³ − 4x² − 5x + 6 çoxhədlisini x − 2-yə necə bölmək olar? Ədədləri böldüyün kimi — addım-addım. Bölən x − m şəklində olanda isə x yazmağa belə ehtiyac yoxdur: dörd əmsal və m = 2 kifayətdir. Cavab: qismət 3x² + 2x − 1, qalıq 4.

Bu dərsdə

• bölünən, bölən, natamam qismət və qalığı P(x) = B(x) · Q(x) + R(x) bərabərliyində tanıyacaqsan;
• çoxhədlini çoxhədliyə budaqlı bölüb cavabı vurma ilə yoxlayacaqsan;
• x − m ikihədlisinə Hörner sxemi ilə qısa yolla böləcəksən.

Hörner sxemi: 3x³ − 4x² − 5x + 6 çoxhədlisini x − 2-yə bölmək

Başla Yenidən Yenidən

1. Ədəd kimi
2. Bölmə bərabərliyi
3. Budaqlı bölmə
4. Hörner sxemi
5. Diqqət
6. Həyatda
7. Tarixdən
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

Çoxhədli də ədəd kimi bölünür

Natural ədədləri qalıqla bölməyi bilirsən: 159 : 12 = 13, qalıq 3. Bunu vurma ilə də yazmaq olar: 159 = 12 · 13 + 3. Burada 159 — bölünən, 12 — bölən, 13 — qismət, 3 — qalıq; qalıq həmişə böləndən kiçikdir.

Ədədin və çoxhədlinin budaqlı bölünməsi yanaşı

Solda ədəd, sağda çoxhədli: eyni addımlar — böl, vur, çıx, endir. Bölən mavi, qismət narıncı, qalıq lime qutudadır.

Sağdakı sxemdə x² + 5x + 9 çoxhədlisi x + 2-yə bölünür. İlk həddi bölənin ilk həddinə bölürük: x² : x = x. Sonra x(x + 2) = x² + 2x hasilini çıxırıq, 3x + 9 qalır. Yenə: 3x : x = 3, 3(x + 2) = 3x + 6, çıxanda 3 qalır. Qismət x + 3, qalıq 3.

Bu nümunədə x = 10 yaz. Onda x² + 5x + 9 = 159, x + 2 = 12, x + 3 = 13 olur — soldakı ədəd bölməsi alınır. Çoxhədlini bölmək ədəd bölməsinin «x-li» şəklidir.

Bir fərq var: ədədlərdə qalıq böləndən kiçikdir, çoxhədlilərdə isə qalığın dərəcəsi bölənin dərəcəsindən kiçikdir. 3 sabitdir (dərəcəsi 0), x + 2 birinci dərəcəlidir, ona görə bölmə burada dayanır.

2 · Qayda

Bölmə bərabərliyi

P(x) = anxⁿ + an−1xⁿ⁻¹ + … + a1x + a0, an ≠ 0 ifadəsi n dərəcəli birdəyişənli çoxhədlidir. anxⁿ — baş hədd, an — baş əmsal, a0 — sərbəst hədd. Məsələn, 3x³ − 4x² − 5x + 6 üçün dərəcə 3, baş hədd 3x³, baş əmsal 3, sərbəst hədd 6-dır.

Yadda saxla

Dərslikdəki qayda: «Bölünən = qismət × bölən + qalıq». Bölünən P(x), bölən B(x), natamam qismət Q(x), qalıq R(x) olduqda

P(x) = B(x) · Q(x) + R(x)

və R(x)-in dərəcəsi B(x)-in dərəcəsindən kiçikdir. Hər tərəfi B(x)-ə bölsək (B(x) ≠ 0):

P(x)B(x) / = Q(x) + R(x)B(x) /

Bölmə bərabərliyinin hissələri

Bərabərliyin dörd hissəsi. Rənglər dərs boyu eynidir: bölən, qismət, qalıq.

Qalıq 0 olarsa

P = B · Q

P(x) çoxhədlisi B(x)-ə qalıqsız bölünür, B(x) onun vuruğudur.

Bölən x − m olarsa

P(x) = (x − m) · Q(x) + r

Bölən birinci dərəcəlidir, qalıq isə ədəddir (dərəcəsi 0).

Qismətin dərəcəsi

3 − 1 = 2

Qismətin dərəcəsi bölünənin və bölənin dərəcələrinin fərqidir.

3 · Hesabla

Budaqlı bölmə

Dərslik qaydanı belə deyir: «Hər bir bölmə addımında soldan başlayaraq bölünənin ilk həddi bölənin baş həddinə bölünür». Başlamazdan əvvəl bölünəni dərəcənin azalma sırası ilə yaz və olmayan dərəcəni 0 əmsalla əlavə et. Sonra dörd hərəkət təkrarlanır:

1. Böl ilk həddi bölənin baş həddinə — qismətin növbəti həddi alınır.
2. Vur bu həddi bütün bölənə.
3. Çıx hasili yuxarıdakı sətirdən (hər həddin işarəsi dəyişir).
4. Endir növbəti həddi. Qalığın dərəcəsi bölənin dərəcəsindən kiçik olanda dayan.

Nümunə 1Birinci dərəcəli bölən

(3x³ − 4x² − 5x + 6) : (x − 2) bölməsini yerinə yetirin və cavabı yoxlayın.

Budaqlı bölmə: (3x³ − 4x² − 5x + 6) : (x − 2)

Başla Yenidən Yenidən

Künc sxemi: bölən sağda yuxarıda, qismət onun altında. Hər addımda bir qismət həddi, bir hasil və bir yeni sətir.

1. 3x³ : x = 3x². Vururuq: 3x²(x − 2) = 3x³ − 6x². Çıxırıq: −4x² − (−6x²) = 2x². −5x-i endiririk.
2. 2x² : x = 2x; 2x(x − 2) = 2x² − 4x; −5x − (−4x) = −x. 6-nı endiririk.
3. −x : x = −1; −1 · (x − 2) = −x + 2; 6 − 2 = 4. 4-ün dərəcəsi 0, bölənin dərəcəsi 1 — dayanırıq.
4. Kəsr şəklində: 3x³ − 4x² − 5x + 6x − 2 / = 3x² + 2x − 1 + 4x − 2 / . Bu yazılış x ≠ 2 üçündür: əks halda sıfıra bölmə alınır.
5. Yoxlama: (x − 2)(3x² + 2x − 1) + 4 = 3x³ + 2x² − x − 6x² − 4x + 2 + 4 = 3x³ − 4x² − 5x + 6. Q(x) = 3x² + 2x − 1, qalıq 4

Nümunə 2İkinci dərəcəli bölən, olmayan hədd

x³ − 3x + 2x⁴ + 4 çoxhədlisini x² − x + 1 çoxhədlisinə bölün.

Budaqlı bölmə: (2x⁴ + x³ − 3x + 4) : (x² − x + 1)

Boz + 0x² — x² həddi olmadığı üçün yazılmış boş yer; sütunlar onunla düz qalır.

1. Sırala və boşluğu doldur: 2x⁴ + x³ + 0x² − 3x + 4.
2. 2x⁴ : x² = 2x²; 2x²(x² − x + 1) = 2x⁴ − 2x³ + 2x²; çıxanda 3x³ − 2x², −3x endirilir.
3. 3x³ : x² = 3x; 3x(x² − x + 1) = 3x³ − 3x² + 3x; çıxanda x² − 6x, 4 endirilir.
4. x² : x² = 1; (x² − 6x + 4) − (x² − x + 1) = −5x + 3. Qalığın dərəcəsi 1, bölənin dərəcəsi 2 — dayanırıq. Q(x) = 2x² + 3x + 1, R(x) = −5x + 3

Yoxlama: (x² − x + 1)(2x² + 3x + 1) = 2x⁴ + x³ + 2x + 1; buna −5x + 3 əlavə edəndə 2x⁴ + x³ − 3x + 4 alınır.

4 · Hesabla

Hörner sxemi: yalnız əmsallar

Nümunə 1-ə yenidən bax. Bölən x − 2 olanda qismətin əmsalları və qalıq bölünənin əmsallarından belə alınır:

3 → 3 −4 + 2 · 3 = 2 −5 + 2 · 2 = −1 6 + 2 · (−1) = 4

Niyə? Budaqlı bölmədə hər dəfə qismət həddini x − 2-yə vurub çıxırıq. Hasilin ikinci həddi «−2 · əmsal»-dır, onu çıxmaq «2 · əmsal» əlavə etmək deməkdir. x-lər isə sütunlarda öz yerindədir — onları yazmasaq da olar. Dərslik buna sintetik bölmə və ya Hörner sxemi deyir: yalnız əmsallar işləndiyi üçün hesab azdır.

Hörner sxemi: (3x³ − 4x² − 5x + 6) : (x − 2), m = 2

Sol xanada m = 2. Oxlar: alt sətirdəki ədədi m-ə vur, növbəti sütuna yaz, topla.

x − m-ə bölmə qaydası

1. Bölünənin əmsallarını dərəcənin azalma sırası ilə üst sətirə yaz; olmayan dərəcə üçün 0.
2. Böləni x − m şəklinə gətir: x + 3 = x − (−3), yəni m = −3. m-i sola yaz.
3. Baş əmsalı olduğu kimi aşağı endir.
4. Aşağıdakı ədədi m-ə vur, növbəti əmsalın altına yaz, topla. Sona qədər təkrarla.
5. Son ədəd qalıqdır, qalanları qismətin əmsallarıdır; qismətin dərəcəsi bölünəninkindən 1 azdır.

Ümumi halda P(x) = anxⁿ + … + a1x + a0 və qismət Q(x) = bn−1xⁿ⁻¹ + … + b1x + b0 olarsa:

bn−1 = an, bk−1 = ak + m · bk, r = a0 + m · b0

Nümunə 3x + m və sıfır əmsallar

(x⁴ + 2x³ − 5x + 1) : (x + 2) bölməsini Hörner sxemi ilə yerinə yetirin.

Hörner sxemi: (x⁴ + 2x³ − 5x + 1) : (x + 2), m = −2

Boz 0 — bölünəndə x² həddi yoxdur. Qismətdə də iki sıfır alınıb.

1. x + 2 = x − (−2), deməli m = −2. Əmsallar: 1, 2, 0, −5, 1.
2. 1 endir; 2 + (−2) · 1 = 0; 0 + (−2) · 0 = 0; −5 + (−2) · 0 = −5; 1 + (−2) · (−5) = 11.
3. Qismət üçüncü dərəcəlidir: 1 · x³ + 0 · x² + 0 · x − 5 = x³ − 5.
4. Yoxlama: (x + 2)(x³ − 5) + 11 = x⁴ + 2x³ − 5x − 10 + 11 = x⁴ + 2x³ − 5x + 1. Q(x) = x³ − 5, qalıq 11

Nümunə 4Bölən 2x − 4 olarsa?

Hörner sxemi x − m şəklində bölən üçündür. Dərslik soruşur: bölən 2x − 4 olarsa, nə etmək olar? (4x³ − 6x² + 2x − 7) : (2x − 4).

Hörner sxemi: 4x³ − 6x² + 2x − 7 çoxhədlisi x − 2-yə

Əvvəlcə x − 2-yə bölürük: m = 2.

1. 2x − 4 = 2(x − 2). Hörner sxemi ilə x − 2-yə bölək: 4, 2, 6 və qalıq 5.
2. Deməli 4x³ − 6x² + 2x − 7 = (x − 2)(4x² + 2x + 6) + 5.
3. 4x² + 2x + 6 = 2(2x² + x + 3), ona görə (x − 2) · 2(2x² + x + 3) = (2x − 4)(2x² + x + 3).
4. Nəticə: 4x³ − 6x² + 2x − 7 = (2x − 4)(2x² + x + 3) + 5. Qismət 2-yə bölündü, qalıq dəyişmədi. Q(x) = 2x² + x + 3, qalıq 5

Eyni yol 2x + 1 = 2(x + ½) kimi bölənlər üçün də işləyir: x + ½-ə bölmənin qisməti 2-yə bölünür, qalıq eyni qalır.

5 · Diqqət

Üç tipik səhv

1. Olmayan dərəcə üçün 0 yazılmayıb

(x³ − 7x + 6) : (x − 3), m = 3.

Səhv

1, −7, 6 → x − 4, qalıq −6

Əmsallar bir sütun sola sürüşüb: −7 x²-nın əmsalı kimi işlənib, qismət də bir dərəcə aşağı düşüb.

Düzgün

1, 0, −7, 6 → x² + 3x + 2, qalıq 12

x² həddi yoxdur — 0 yazırıq: 1; 0 + 3 = 3; −7 + 9 = 2; 6 + 6 = 12.

2. m-in işarəsi

(x² + 5x + 9) : (x + 2) — Kəşf et bölməsindəki bölmə.

Səhv

m = 2 → x + 7, qalıq 23

Bölən x + 2-dir, x − 2 deyil.

Düzgün

m = −2 → x + 3, qalıq 3

x + 2 = x − (−2). Cavab budaqlı bölmə ilə tapdığımızla eynidir.

3. Çıxanda işarə dəyişmir

Nümunə 1-in birinci addımı: −4x²-dan −6x² çıxılır.

Səhv

−4x² − 6x² = −10x²

Hasilin həddi öz işarəsi ilə çıxılmayıb, sadəcə yanına yazılıb.

Düzgün

−4x² − (−6x²) = 2x²

Çıxanda hasilin hər həddi əks işarə ilə əlavə olunur.

6 · Həyatda

Hədiyyə qutusunun ölçüləri

Dərslikdəki məsələ: ölçüləri santimetrlə verilən hədiyyə qutularının həcmi V(x) = x³ + 7x² + 14x + 8 funksiyası ilə modelləşdirilir; x müsbət tam ədəddir və 5 ≤ x ≤ 15. Qutunun hündürlüyü h(x) = x + 1-dir. Digər ölçüləri çoxhədli şəklində necə ifadə etmək olar?

Hədiyyə qutusu: həcm x³ + 7x² + 14x + 8, ölçülər x + 1, x + 2, x + 4

Şəkil x = 5 üçün mütənasib çəkilib: hündürlük 6, en 9, dərinlik 7 sm.

Həcm = hündürlük × (digər iki ölçünün hasili). Deməli, V(x)-i x + 1-ə bölməliyik. Hörner sxemi, m = −1:

1 → 1 7 + (−1) · 1 = 6 14 + (−1) · 6 = 8 8 + (−1) · 8 = 0

Qalıq 0-dır: həcm hündürlüyə qalıqsız bölünür. Digər iki ölçünün hasili x² + 6x + 8-dir. Bu üçhədlini vuruqlara ayıraq: x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4).

Yoxlama x = 5 üçün: 6 · 7 · 9 = 378 və V(5) = 125 + 175 + 70 + 8 = 378.

Digər ölçülər: x + 2 və x + 4 sm

7 · Tarixdən

Bunları bilmək maraqlıdır

Paolo Ruffini

1765–1822

Dərslikdə deyilir ki, çoxhədlini ikihədliyə sintetik bölmə qaydasını ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı Paolo Ruffini vermişdir. Dərslik bu qaydanı Hörner sxemi adı ilə də verir.

Ömər Xəyyam

1048–1131

Rübailər ustadının adı dahi riyaziyyatçılarla yanaşı çəkilir: x³ − px − q kub çoxhədlisinin köklərini (p > 0, q > 0) həndəsi üsulla ilk dəfə o tapmışdır.

Polinomoqrafiya

Rəssamlıq, riyaziyyat və kompüter elminin sintezi olan incəsənət növü: kompüter proqramı çoxhədlinin köklərini şəkil kimi göstərir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 5-ci dərəcəli çoxhədli 2-ci dərəcəli çoxhədliyə bölünür. Natamam qismətin dərəcəsi neçədir? Cavab variantları 3 7 10 Düzdür! 5 − 2 = 3. Dərəcələr nə toplanır, nə vurulur: B · Q-nun dərəcəsi 5 olmalıdır. Həllə bax P = B · Q + R və R-in dərəcəsi 2-dən kiçikdir, ona görə B · Q-nun dərəcəsi 5-dir. Hasilin dərəcəsi dərəcələrin cəmidir: 2 + dərəcə Q = 5, dərəcə Q = 3.
2. Asan (x³ − 4x² + x + 6) : (x − 2) bölməsində qismət və qalıq hansıdır? Cavab variantları x² − 6x + 13, qalıq −20 x² − 2x − 3, qalıq 0 x − 2, qalıq −3 Düzdür! x − 2 bu çoxhədlinin vuruğudur. m = 2-dir (x − 2), −2 deyil; son sətirdə 4 ədəd var: ilk üçü qismətin əmsalları, sonuncusu qalıq. Həllə bax m = 2, əmsallar 1, −4, 1, 6: 1; −4 + 2 = −2; 1 − 4 = −3; 6 − 6 = 0. Qismət x² − 2x − 3, qalıq 0.
3. Orta (x³ − 5x + 4) : (x + 2) bölməsində qismət və qalıq hansıdır? Cavab variantları x − 7, qalıq 18 x² + 2x − 1, qalıq 2 x² − 2x − 1, qalıq 6 Düzdür! Həm 0 əmsalı, həm m = −2 yerindədir. x² həddi yoxdur — 0 yaz; bölən x + 2 olduğu üçün m = −2 götür. Həllə bax m = −2, əmsallar 1, 0, −5, 4: 1; 0 − 2 = −2; −5 + 4 = −1; 4 + 2 = 6. Qismət x² − 2x − 1, qalıq 6.
4. Orta (x³ + 2x² − x + 3) : (x² + 1) bölməsində qismət x + 2-dir. Qalıq hansıdır? Cavab variantları −2x + 1 −2x + 5 −x + 1 Düzdür! Qalığın dərəcəsi 1, bölənin dərəcəsi 2. x(x² + 1) = x³ + x — x həddini unutma; 2(x² + 1)-i çıxanda 3 − 2 alınır. Həllə bax x³ : x² = x, x(x² + 1) = x³ + x, çıxanda 2x² − 2x + 3. 2x² : x² = 2, 2(x² + 1) = 2x² + 2, çıxanda −2x + 1.
5. Çətin (3x³ − 3x² − 3x + 5) : (3x − 6) bölməsində qismət və qalıq hansıdır? Cavab variantları 3x² + 3x + 3, qalıq 11 x² + x + 1, qalıq 11 x² + x + 1, qalıq 11/3 Düzdür! Qismət 3-ə bölünür, qalıq yox. 3x − 6 = 3(x − 2): x − 2-yə bölmənin qismətini 3-ə böl, qalığı isə olduğu kimi saxla. Həllə bax m = 2: 3; −3 + 6 = 3; −3 + 6 = 3; 5 + 6 = 11. Deməli P = (x − 2)(3x² + 3x + 3) + 11 = (3x − 6)(x² + x + 1) + 11.
6. Çətin x³ + ax² + x − 6 çoxhədlisi x − 2-yə qalıqsız bölünür. a neçədir? Cavab variantları 4 −5/2 −1 Düzdür! x³ − x² + x − 6 = (x − 2)(x² + x + 3). m = 2 götür və son ədədi — qalığı — 0-a bərabər et. Həllə bax m = 2, əmsallar 1, a, 1, −6: 1; a + 2; 1 + 2(a + 2) = 2a + 5; −6 + 2(2a + 5) = 4a + 4. Qalıq 0: 4a + 4 = 0, a = −1.

Yekun

Üç əsas fikir

• P = B · Q + RBölünən = bölən × qismət + qalıq; qalığın dərəcəsi bölənin dərəcəsindən kiçikdir.
• Böl, vur, çıx, endirBudaqlı bölmə istənilən bölən üçün işləyir; əvvəl sırala, olmayan dərəcəyə 0 yaz, sonda vurub yoxla.
• x − m → HörnerYalnız əmsallar: aşağı endir, m-ə vur, topla. x + m üçün m mənfidir; 2x − 4 = 2(x − 2).

Növbəti mövzu — Qalıq haqqında teorem. Kəşf et bölməsinə bax: x² + 5x + 9-da x = −2 yazsaq, 3 alınır. Qalıq da 3 idi. Təsadüfdür?

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11-ci sinif», 1-ci bölmə «Çoxhədlilər»: bölmənin açılış səhifəsi (riyazi lüğət və «Bunları bilmək maraqlıdır!») və səh. 7–10 (çoxhədli və bölmə terminləri, bölmə bərabərliyi, budaqlı bölmə, Hörner sxemi, hədiyyə qutusu məsələsi). Sitatlar dərslikdəndir; nümunə və sualların ədədləri bu dərs üçün seçilib və yoxlanıb.