Audio dərs · Müddət
10:19
Mətn (transkript)
Təsəvvür et ki, səhər tezdən düz bir kənd yolu ilə gedirsən. Bu yolda qəribə bir oyun var: yolun bəzi yerlərində sənə sikkə verirlər, bəzi yerlərində isə sən sikkə ödəyirsən. Nə qədər irəli getsən, cibindəki hesab da o qədər dəyişir. Yolun sonunda cibinə baxırsan və özünə bir sual verirsən: bu yürüşdən nə qədər qazandım, ya da nə qədər itirdim? Bu gün müəyyən inteqralın xassələrindən danışacağıq, və bu sadə yürüş bizə bələdçi olacaq. Əvvəlcə sənə bir tapmaca verim. Qrafiki gah yuxarı qalxan, gah aşağı enən, heç yerdə sakit dayanmayan bir funksiya götürək. Onun inteqralının sıfır olduğunu heç bir hesablama aparmadan deyə bilərikmi? Dərsin sonunda bu suala qayıdacağıq. Yol boyu isə bir neçə sadə qayda toplayacağıq. Əvvəlcə cibimizdəki hesabın necə işlədiyini anlayaq. Yol, absis oxunun bir parçasıdır, və biz həmişə soldan sağa, kiçik ədəddən böyük ədədə doğru gedirik. Funksiyanın qrafiki yolun üstündə olan yerdə sikkə qazanırıq, altında olan yerdə isə ödəyirik. Qrafik nə qədər hündürdürsə, hər addımda bir o qədər çox sikkə gəlir. Yolun sonunda cibdə qalan xalis nəticə elə müəyyən inteqralın özüdür: yuxarıdakı sahələr müsbət, aşağıdakı sahələr isə mənfi işarə ilə toplanır. Kitab bütün xassələrdə bir şərt qoyur: funksiya bu parçada kəsilməz olmalıdır, yəni qrafikdə heç bir qırılma, heç bir sıçrayış olmamalıdır. Buradan birinci qayda çıxır, işarə qaydası. Əgər bütün yol boyu qrafik oxdan yuxarıdadırsa, biz yalnız qazanırıq, və inteqral müsbət olur. Kitab bunu qısa bir nida ilə deyir: sahə iks oxundan yuxarıda yerləşir! Əgər qrafik bütün yol boyu oxdan aşağıdadırsa, yalnız ödəyirik, və inteqral mənfi olur. Qrafik oxu kəsəndə isə həm qazanc, həm də itki olur, və cavab onlardan hansının böyük olmasından asılıdır. Belə yolu necə hesablamağı bir az sonra görəcəyik. İkinci qayda daha da sadədir. Tutaq ki, yola çıxmadın, olduğun yerdə dayandın. Başlanğıc nöqtəsi ilə son nöqtə eynidir. Bir addım belə atmamısan, deməli, cibində heç nə dəyişməyib. Aşağı və yuxarı sərhədləri eyni olan inteqral sıfıra bərabərdir. Kitab bu qeydi Nyuton-Leybnis düsturunun yanında verir, çünki ibtidai funksiyanın eyni nöqtədəki qiymətindən özünü çıxanda sıfır alınır. İndi oyunun qaydalarını bir az dəyişək. Fərz et ki, yolun hər yerində sikkələr üç dəfə qiymətli oldu. Hər qazanc da, hər ödəniş də üç qat artdı. Onda yolun sonundakı nəticə də düz üç dəfə böyük olacaq. Bu, sabit vuruq qaydasıdır: funksiyanı hansısa ədədə vursaq, onun inteqralı da həmin ədədə vurulmuş olur. Yəni sabit vuruğu inteqral işarəsinin qarşısına çıxarmaq olar. Kitabdakı nümunədə iks kubun üç mislinin inteqralı var: üç kənara çıxarılır, əvvəlcə sadəcə iks kubun inteqralı tapılır, sonra nəticə üçə vurulur. Bu ədəd mənfi də ola bilər: onda bütün qazanclar itkiyə, itkilər isə qazanca çevrilir. Üçüncü qayda iki cibdən danışır. Tutaq ki, yolda səninlə bir dostun da gedir, və hər biriniz öz qaydası ilə sikkə toplayır. Sonda iki cibi bir yerə boşaltmaq olar, ya da əvvəlcədən ortaq bir kisə açıb hər addımda ikinizin sikkəsini ora atmaq olar. Nəticə eyni olacaq. Riyaziyyat dilində: iki funksiyanın cəminin inteqralı onların inteqrallarının cəminə bərabərdir. Fərq üçün də eynidir. Kitab bunu üstlü funksiya ilə kvadrat funksiyanın cəmi üzərində göstərir: çətin görünən bir inteqral iki ayrı, sadə inteqrala bölünür. Bu iki qayda imtahanda çox kömək edir: funksiyanın özü verilməsə belə, yalnız onun inteqralını bilib, onun bir neçə mislinin, ya da başqa funksiya ilə cəminin inteqralını tapmaq olur. İndi yolun özünə qayıdaq. Uzun yolda adam yorulur, və yolun ortasında, bir bulağın başında dincəlmək üçün dayanırsan. Bu dayanacaq yolu iki mərhələyə bölür. Birinci mərhələdə cibində bir nəticə yığılır, ikinci mərhələdə başqa bir nəticə. Bütün yolun xalis nəticəsi bu iki mərhələnin nəticələrinin cəminə bərabərdir, çünki bulaq başında dayanmaq cibə heç bir təsir etmir. Kitab bunu şəkillə göstərir: qrafikin altındakı bütün sahə iki kiçik sahənin cəmidir. Bəs yolu niyə bölürük? Çünki bəzən yolun xarakteri ortada dəyişir. Kitab modul funksiyasını götürür, mənfi üçdən dördə qədər. Bu funksiyanın qrafiki iki düz xətdən ibarətdir, və onlar düz sıfırda bucaq əmələ gətirir. Sıfırın solunda bir düstur işləyir, sağında başqa. Yolu sıfırda bölən kimi hər mərhələ sadə bir üçbucağa çevrilir. Qrafik oxu kəsəndə də eyni yolu tuturuq: kəsişmə nöqtəsində dayanırıq, və hər mərhələni öz işarəsi ilə sayırıq. İndi isə maraqlı bir şey edək: eyni yolla geri qayıdaq. Sondan başlanğıca doğru gedəndə, gedərkən qazandığın hər sikkəni eyni yerdə geri qaytarırsan, ödədiyin hər sikkəni isə geri alırsan. Elə bil, kino lenti tərsinə fırlanır. Gediş-gəlişdən sonra cib əvvəlki halına qayıdır. Deməli, geri yolun nəticəsi irəli yolun nəticəsinin tam əksidir. Bu dərsdə yeganə düsturumuz da elə budur: son nöqtədən başlanğıca alınan inteqral, başlanğıcdan sona alınan inteqralın əks işarəlisinə bərabərdir. Qısaca, sərhədlərin yerini dəyişəndə inteqralın işarəsi dəyişir. Bu qayda ikinci qaydanı da yenidən izah edir. Başlanğıcı və sonu eyni olan yol öz geri yolu ilə eynidir. Yəni belə inteqral öz əksinə bərabərdir. Öz əksinə bərabər olan yeganə ədəd isə sıfırdır. Gördün? Olduğun yerdə dayanmaq da, gedib eyni yerə qayıtmaq da cibi dəyişmir. Bu qaydaların necə iş qənaət etdiyinə kitabın bir tapşırığında baxaq. Orada bir inteqraldan başqası çıxılır. Birincisi birdən ikiyə gedir. İkincisi isə ikidən birə, yəni geriyə gedir, üstəlik onun dəyişəni iks yox, te hərfi ilə yazılıb. Kitabın ilk xassəsi deyir ki, dəyişənin adı nəticəyə təsir etmir: iks də, te də sadəcə addımın adıdır. Geriyə gedən inteqralı çevirəndə isə çıxma toplamaya çevrilir. İki inteqral eyni yolda birləşir, içlərindəki natural loqarifmlər bir-birini silir, və geriyə sadə bir çoxhədli qalır. Qorxulu görünən iş iki qayda ilə xeyli sadələşir. Son mərhələmiz güzgülərdir. Bu dəfə yol kəndin meydanından, yəni sıfır nöqtəsindən iki tərəfə eyni məsafədə uzanır: solda mənfi bir ədəddən başlayır, sağda həmin ədədin müsbətində bitir. Belə parçaya sıfıra nəzərən simmetrik parça deyilir. Əgər funksiya cütdürsə, onun qrafiki ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir: yolun sol yarısı sağ yarısının güzgüdəki əksidir. Hər iki yarıda eyni qazanc, eyni itki olur. Onda bütün yolun nəticəsi sağ yarının nəticəsinin iki mislidir. Modul funksiyası, kosinus və cüt üstlü qüvvət funksiyaları, məsələn iks kvadrat, belə funksiyalardır. Tək funksiyada isə güzgü bir az hiyləgərdir. İksin işarəsini dəyişəndə, funksiyanın da işarəsi dəyişir. Onun qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir: yolun sol yarısı sağ yarısının güzgüdəki əksidir, amma tərsinə çevrilmiş əksi. Sağda harada qazanırıqsa, solda, həmin yerin güzgü nöqtəsində, eyni miqdarda ödəyirik. Qazanclar və itkilər bir-birini tam tarazlayır, və bütün yolun nəticəsi sıfır olur. Sinus və tək üstlü qüvvət funksiyaları, məsələn iks kub, təkdir. Kitab bu iki qaydanı bir nümunədə birləşdirir. Kosinusdan sinus kubun dörd misli çıxılır, və inteqral mənfi pi bölü ikidən pi bölü ikiyə qədər alınır. Sinus kub təkdir, ona görə onun payı simmetrik yolda tam yox olur. Kosinus isə cütdür, onun payı sağ yarının iki misli kimi hesablanır. Hesablamanın böyük hissəsi heç başlamadan bitir, və kitab cavab olaraq iki alır. İndi dərsin əvvəlindəki tapmacaya qayıdaq. Gah qalxan, gah enən bir funksiyanın inteqralını hesablamadan sıfır deyə bilərikmi? Bəli, bilərik, əgər funksiya təkdirsə və yol sıfıra nəzərən simmetrikdirsə. Məsələn, sinusun mənfi pidən pi-yə qədər inteqralı sıfırdır. Burada qrafik sıfır deyil. Sadəcə hər qazanc güzgüdə öz itkisi ilə qarşılaşır. Yadda saxlamalı olduğun əsas fikir budur: müəyyən inteqral yol boyu aparılan bir hesabdır, və bu hesabın istiqaməti var. Yuxarıda qazanırıq, aşağıda ödəyirik. Ədədə vursaq, hesab da vurulur. Cəmləsək, hesablar da cəmlənir. Yolu bölsək, mərhələlər toplanır. Geri getsək, işarə dəyişir. Yerimizdə dayansaq, nəticə sıfırdır. Güzgüdə isə cüt funksiya ikiqat olur, tək funksiya yox olur. Bu qaydaları addım-addım, rəqəmlərlə işləmək üçün oxu dərsinə və videoya bax. Xoş yol, və növbəti dərsdə görüşənədək!