Mətn (transkript)
İksin dördüncü dərəcəsi çıxılsın iki iks kub. Bu inteqralın yarısı hesablanmadan sıfırdır. Hansı yarısı? Bu funksiyanı mənfi ikidən ikiyə qədər çəkək. Solda qrafik otuz ikiyə qədər qalxır. Sağda isə oxun altına azacıq enir. Əyri heç simmetrik görünmür. İnteqral bu əyrinin altındakı işarəli sahədir. Onu ibtidai funksiya ilə birbaşa hesablamaq olar. Amma xassələr daha qısa yol açır. İlk addım: ifadəni hissələrə bölmək. Birinci xassə belədir: cəmin inteqralı inteqralların cəminə bərabərdir. Fərq üçün də eynidir. Bunun üçün funksiyalar parçada kəsilməz olmalıdır, burada da belədir. Beləliklə, bir inteqral ikiyə ayrılır. Birincidə iksin dördüncü dərəcəsi qalır. İkincidə iki iks kub qalır, qarşısında çıxma işarəsi. Bəs ikincidəki iki ədədi ilə nə edək? Sabit vuruq inteqral işarəsinin qarşısına çıxa bilər. Qrafiki iki dəfə hündür edək. Hər nazik zolaq da iki dəfə hündürləşir. Ona görə sahə də düz iki dəfə böyüyür. Deməli, iki iks kubun inteqralı iks kubun inteqralının iki mislidir. İndi bütün sirr bir inteqralda qaldı: iks kub, mənfi ikidən ikiyə. Onun işarəsi nədir? İks kubun qrafikinə baxaq. Sıfırdan sağda qrafik oxun üstündədir. Orada inteqral müsbətdir. Sıfırdan solda qrafik oxun altına düşür. Orada inteqral mənfidir. Bu qayda aşağı sərhəd yuxarı sərhəddən kiçik olanda doğrudur. Bizim inteqralda həm müsbət, həm mənfi hissə var. Onları ayrıca görmək üçün parçanı sıfırda kəsməliyik. Parçanı istənilən aralıq nöqtədə kəsmək olar. Bütöv parçadakı inteqral iki hissədəki inteqralların cəminə bərabərdir. Dərslik bunu modul iks ilə göstərir, mənfi üçdən dördə qədər. Sıfırda kəsəndə iki üçbucaq alınır. Soldakının sahəsi doqquz bölü ikidir, sağdakının sahəsi səkkizdir. Cəmi on iki tam onda beş edir. Eyni kəsik iks kubu da iki yarıya bölür. Amma yarıları müqayisə etmək üçün daha bir xassə lazımdır. Sərhədlərin yerini dəyişəndə inteqralın işarəsi əksinə dəyişir. Səbəb Nyuton-Leybnis düsturundadır. Böyük ef be çıxılsın böyük ef a, böyük ef a çıxılsın böyük ef be fərqinin əksidir. Məsələn, iks kubun sıfırdan ikiyə inteqralı dördə bərabərdir. İkidən sıfıra isə mənfi dörd alınır. Sərhədlər eyni olanda inteqral sıfırdır: böyük ef a çıxılsın böyük ef a sıfırdır. İndi iks kubun iki yarısını üz-üzə qoyaq. İks kub tək funksiyadır: ef mənfi iks bərabərdir mənfi ef iks. Sol yarını ordinat oxu ətrafında çevirək. O, sağ yarının dəqiq güzgü əksi olur, ancaq oxun altında. Sağda inteqral dörddür, solda mənfi dörd. Cəmi sıfırdır. Simmetrik parçada tək funksiyanın inteqralı həmişə sıfırdır. Bəs cüt funksiyada nə baş verir? İksin dördüncü dərəcəsi cüt funksiyadır: qrafiki ordinat oxuna görə simmetrikdir. Sol yarını çevirəndə o, sağ yarının tam üstünə oturur. İşarələr eynidir, ona görə yarılar silinmir, toplanır. Bütöv inteqral yarım parçadakı inteqralın iki mislidir. Sıfırdan ikiyə bu inteqral otuz iki bölü beşdir. İki misli altmış dörd bölü beş edir. İndi hissələri yığmaq vaxtıdır. Birinci hissə altmış dörd bölü beşdir. İkinci hissə iki vurulsun sıfır, yəni yenə sıfırdır. Cavab altmış dörd bölü beşdir, yəni on iki tam onda səkkiz. Hesablanmadan sıfır olan yarı iki iks kub idi, çünki iks kub tək funksiyadır. Əyri simmetrik görünmürdü, amma cavabı simmetriya verdi. Xassələri bir yerə yığaq. Sabit vuruq çıxır, cəm hissələrə ayrılır. Oxun altındakı hissə mənfi sayılır. Parça kəsiləndə inteqrallar toplanır. Sərhədlər yer dəyişəndə işarə dəyişir. Simmetrik parçada isə tək hissə yox olur, cüt hissə ikiqat olur. Bir inteqralın yarısı hesablanmadan sıfırdırsa, orada tək funksiya gizlənib.