Müəyyən inteqralın xassələri

• 6.57
• 11-ci sinif
• İnteqral

Müəyyən inteqralın xassələri

y = |x| funksiyasının bütün [−3; 4] parçasında bir düsturla yazılan ibtidaisini tapmaq çətindir. Amma inteqralı 0 nöqtəsində ikiyə bölsək, iki sadə üçbucaq alınır: 4,5 + 8 = 12,5. Bölmək, vurmaq, çevirmək — bunlara hansı qaydalar icazə verir?

Bu dərsdə

• inteqralı sabit vuruğa, cəmə və qonşu parçalara ayırmağı öyrənəcəksən;
• sərhədlərin yeri dəyişəndə işarənin niyə dəyişdiyini və inteqralın işarəsini funksiyanın işarəsinə görə deməyi biləcəksən;
• simmetrik parçada cüt və tək funksiyanın inteqralını qısa yolla tapacaqsan.

y = |x| qrafiki altında iki üçbucaq: 4,5 + 8 = 12,5

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Vuruq və cəm
3. Parçalar
4. Sərhədlər
5. İşarə
6. Simmetriya
7. Hesabla
8. Diqqət
9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Bütün xassələrin açarı

Keçən mövzuda gördük: f funksiyası [a; b] parçasında kəsilməzdirsə və F onun ibtidai funksiyalarından biridirsə, inteqral ibtidainin artımıdır:

inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: f(x) dx = F(b) − F(a)

Bərabərliyin sağ tərəfinə bax: orada x hərfi yoxdur. Müəyyən inteqral bir ədəddir və o, yalnız inteqralaltı funksiyadan və sərhədlərdən asılıdır. Buradan dərsliyin birinci xassəsi çıxır.

Xassə 1

«Müəyyən inteqralın qiyməti inteqrallama dəyişənindən asılı deyil»:

inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: f(x) dx = inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: f(t) dt

Dəyişəni hansı hərflə yazmağımız nəticəni dəyişmir. Bu, sonra iki inteqralı bir inteqrala birləşdirməyə imkan verəcək.

Bu dərsin bütün xassələrində f və g baxılan parçada kəsilməz funksiyalardır. Hər xassəni iki yolla anlayacağıq: F(b) − F(a) hesabı ilə və şəkillə — f ≥ 0 olanda inteqral qrafik altındakı sahədir.

2 · Qayda

Sabit vuruq və cəm

Xassə 2 və Xassə 3

İstənilən k ədədi üçün sabit vuruq inteqral işarəsi qarşısına çıxarılır:

inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: kf(x) dx = k inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: f(x) dx

Cəmin (fərqin) inteqralı inteqralların cəminə (fərqinə) bərabərdir:

inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: (f(x) ± g(x)) dx = inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: f(x) dx ± inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: g(x) dx

Niyə? F funksiyası f-in ibtidaisidirsə, kF funksiyası kf-in ibtidaisidir, çünki törəmədə sabit vuruq saxlanılır. Onda kF(b) − kF(a) = k(F(b) − F(a)). Eyni qayda ilə (F ± G)′ = f ± g. Şəkil dilində: bütün hündürlüklər k dəfə artanda sahə də k dəfə artır.

Nümunə 1Vuruğu çıxar

Hesablayın: inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 2: 3x3 dx.

1. 3 vuruğunu çıxarırıq: inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 2: 3x3 dx = 3 inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 2: x3 dx.
2. x3-ün ibtidaisi x44 / : 3 · x44 / , aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 2 = 34 / (24 − 14) = 34 / · 15. 454 /

Nümunə 2Cəmi hissələrə ayır

Hesablayın: inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 1: (ex + x2) dx.

1. Xassə 3: inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 1: ex dx + inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 1: x2 dx — hər birini ayrıca hesablayırıq.
2. ex, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 1 = e − 1, x33 / , aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 1 = 13 / .
3. Toplayırıq: e − 1 + 13 / . e − 23 /

3 · Qayda

Qonşu parçaları birləşdir

Xassə 4

a ≤ c ≤ b və f funksiyası [a; b] parçasında kəsilməzdirsə,

inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: f(x) dx = inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd c: f(x) dx + inteqral, aşağı sərhəd c, yuxarı sərhəd b: f(x) dx

Dərslik şəkli belə oxuyur: fiqurun bütün sahəsi iki sahənin cəmidir, S = S₁ + S₂.

Sahə iki qonşu hissənin cəmidir: S = S₁ + S₂

Başla Yenidən Yenidən

Mavi S₁ [a; c] üzərindədir, narıncı S₂ [c; b] üzərində. Qonşu iki fiqur birləşəndə bütöv S alınır.

Niyə? İki artımı toplayaq: (F(c) − F(a)) + (F(b) − F(c)) = F(b) − F(a). Ortadakı F(c) ixtisar olunur — c nöqtəsi «keçid məntəqəsi»dir.

f daha böyük bir parçada kəsilməzdirsə, bərabərlik c nöqtəsi [a; b]-dən kənarda olanda da doğrudur: hesab eynidir.

Nümunə 3Modulu 0-da böl

Hesablayın: inteqral, aşağı sərhəd −3, yuxarı sərhəd 4: |x| dx.

1. x ≥ 0 olanda |x| = x, x < 0 olanda |x| = −x. Ona görə 0-da bölürük: inteqral, aşağı sərhəd −3, yuxarı sərhəd 0: (−x) dx + inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 4: x dx.
2. −x22 / , aşağı sərhəd −3, yuxarı sərhəd 0 = 0 − (−92 / ) = 92 / .
3. x22 / , aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 4 = 8 − 0 = 8. Yoxlama: üçbucaqların sahəsi ½ · 3 · 3 = 4,5 və ½ · 4 · 4 = 8. 4,5 + 8 = 12,5

4 · Qayda

Sərhədlərin yerini dəyiş

Xassə 5

«Müəyyən inteqralın sərhədlərinin yerini dəyişdikdə inteqralın işarəsi əksinə dəyişir»:

inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: f(x) dx = − inteqral, aşağı sərhəd b, yuxarı sərhəd a: f(x) dx

Doğrudan da, F(b) − F(a) = −(F(a) − F(b)): sərhədlər yer dəyişəndə çıxmanın sırası dəyişir.

Sərhədlərin yeri dəyişəndə inteqralın işarəsi dəyişir

Fiqur eynidir; a-dan b-yə getsək inteqral +I, b-dən a-ya getsək −I olur.

Eyni sərhədlər

inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd a: f(x) dx = 0

Nyuton–Leybnis düsturunun qutusundan: F(a) − F(a) = 0. Xassə 5 də bunu deyir: ədəd öz əksinə bərabərdirsə, 0-dır.

Sabit funksiya

inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: c dx = c(b − a)

f(x) = c olanda fiqur düzbucaqlıdır: hündürlük c, en b − a. Məsələn, inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 4: 5 dx = 5 · 3 = 15.

Xassə 4 və 5 birlikdə. Dərslik tapşırığı: inteqral, aşağı sərhəd 3, yuxarı sərhəd 11: f dx − inteqral, aşağı sərhəd 7, yuxarı sərhəd 11: f dx = inteqral, aşağı sərhəd 3, yuxarı sərhəd 7: f dx olduğunu göstərin.

3-dən 11-ə qədər hissədən 7-dən 11-ə qədər hissəni çıxsaq, 3-dən 7-yə qədər hissə qalır

Uzun parçadan onun sağ ucunu çıxanda sol hissə qalır.

1. Xassə 4 (c = 7): inteqral, aşağı sərhəd 3, yuxarı sərhəd 11: f dx = inteqral, aşağı sərhəd 3, yuxarı sərhəd 7: f dx + inteqral, aşağı sərhəd 7, yuxarı sərhəd 11: f dx.
2. Hər iki tərəfdən inteqral, aşağı sərhəd 7, yuxarı sərhəd 11: f dx çıxanda tələb olunan bərabərlik alınır.
3. Başqa baxış: Xassə 5 ilə − inteqral, aşağı sərhəd 7, yuxarı sərhəd 11: f dx = inteqral, aşağı sərhəd 11, yuxarı sərhəd 7: f dx. 3-dən 11-ə, sonra 11-dən geri 7-yə gedirik — nəticədə 3-dən 7-yə getmiş oluruq.

5 · Qayda

İnteqralın işarəsi

İşarə qaydası

b > a olsun.

[a; b]-də f(x) ≥ 0 olarsa, qrafik x oxundan yuxarıdadır və inteqralın qiyməti müsbət olur.

f(x) ≤ 0 olarsa, qrafik oxdan aşağıdadır və «uyğun inteqralın qiyməti mənfi olur».

Funksiya işarəsini dəyişirsə, Xassə 4 ilə inteqralı işarənin sabit qaldığı hissələrə bölürük: müsbət və mənfi hissələr bir-birini qismən «yeyir».

y = cos x: ox üstündəki hissə +1, altındakı hissə −2, inteqral −1

inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd π/2: cos x dx = 1, inteqral, aşağı sərhəd π/2, yuxarı sərhəd 3π/2: cos x dx = −2.

Dərsliyin nümunəsi: sin x, aşağı sərhəd π/2, yuxarı sərhəd 3π/2 = −1 − 1 = −2, ona görə inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 3π/2: cos x dx = 1 + (−2) = −1. Rənglənmiş fiqurun sahəsi isə 1 + 2 = 3 kv. vahiddir: sahə həmişə müsbətdir, inteqral isə işarəlidir. Sahələrin hesablanmasına növbəti mövzuda qayıdacağıq.

b > a şərti vacibdir: sərhədlər tərs yazılıbsa, Xassə 5 işarəni bir daha çevirir — f ≥ 0 olsa da, inteqral, aşağı sərhəd b, yuxarı sərhəd a: f(x) dx ≤ 0.

6 · Qayda

Simmetrik parça: cüt və tək funksiya

Xatırla: cüt funksiya üçün f(−x) = f(x), qrafiki ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir (|x|, cos x, x2, x4). Tək funksiya üçün f(−x) = −f(x), qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir (sin x, x, x3, x5).

Yadda saxla

İnteqrallama sərhədləri koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik olduqda:

cüt: inteqral, aşağı sərhəd −a, yuxarı sərhəd a: f(x) dx = 2 inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd a: f(x) dx tək: inteqral, aşağı sərhəd −a, yuxarı sərhəd a: f(x) dx = 0

Hansı funksiyaya baxaq?

Cüt: cos x Tək: sin x

Cüt funksiya cos x: iki bərabər yarım, 1 + 1 = 2

Tək funksiya sin x: yarımlar bir-birini silir, 2 + (−2) = 0

Başla Yenidən Yenidən

Cüt: sol yarım sağ yarımın güzgü əksidir və ox üstündə qalır, ona görə inteqralı da 1-dir: inteqral, aşağı sərhəd −π/2, yuxarı sərhəd π/2: cos x dx = 2 · 1 = 2.

Tək: sol yarım sağ yarımı başlanğıc ətrafında 180° fırlatmaqla alınır və ox altına düşür: +2 və −2 bir-birini silir, inteqral, aşağı sərhəd −π, yuxarı sərhəd π: sin x dx = 0.

Başla düyməsi sol yarımı sağ yarımdan qurur: cüt funksiyada güzgü əksi kimi, tək funksiyada 180° fırlanma kimi.

Niyə? Xassə 4 ilə [−a; a] parçasını [−a; 0] və [0; a] hissələrinə bölürük. Sol hissənin fiquru sağ hissənin əksidir. Cüt funksiyada əks fiqur oxun eyni tərəfində qalır — iki eyni ədəd toplanır. Tək funksiyada əks fiqur oxun o biri tərəfinə keçir — iki əks ədəd toplanır və 0 alınır.

Nümunə 4Tək hissəni sil, cüt hissəni ikiləşdir

Hesablayın: inteqral, aşağı sərhəd −2, yuxarı sərhəd 2: (x4 − 2x3) dx.

1. Xassə 3 və 2: inteqral, aşağı sərhəd −2, yuxarı sərhəd 2: x4 dx − 2 inteqral, aşağı sərhəd −2, yuxarı sərhəd 2: x3 dx.
2. x3 təkdir: ikinci inteqral 0-dır. x4 cütdür: 2 inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 2: x4 dx.
3. 2 · x55 / , aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 2 = 2 · 325 / . 645 /

Nümunə 5Triqonometrik simmetriya

Hesablayın: inteqral, aşağı sərhəd −π/2, yuxarı sərhəd π/2: (cos x − 4sin3x) dx.

1. sin3(−x) = (−sin x)3 = −sin3x — tək funksiyadır, onun inteqralı 0-dır.
2. cos x cütdür: 2 inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd π/2: cos x dx = 2 sin x, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd π/2 = 2(1 − 0). 2

7 · Hesabla

Xassələri birləşdir

Çox vaxt funksiyanın özü verilmir, yalnız bəzi inteqralların qiyməti verilir. Onda xassələr yeganə alətdir.

Nümunə 6Verilənlərdən yeni inteqral

inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 3: f dx = 5, inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 3: g dx = −2, inteqral, aşağı sərhəd 3, yuxarı sərhəd 5: f dx = 2, inteqral, aşağı sərhəd 3, yuxarı sərhəd 5: g dx = 1. Tapın: inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 5: (2f − 3g) dx.

1. Xassə 4: inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 5: f dx = 5 + 2 = 7, inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 5: g dx = −2 + 1 = −1.
2. Xassə 2 və 3: 2 · 7 − 3 · (−1) = 14 + 3. 17

Nümunə 7Xassələr işi azaldır

Hesablayın: inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 2: (ln x − 2x) dx − inteqral, aşağı sərhəd 2, yuxarı sərhəd 1: (3t2 − ln t) dt.

1. Xassə 5: çıxılan inteqralın sərhədlərini dəyişirik, «−» işarəsi «+» olur: + inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 2: (3t2 − ln t) dt.
2. Xassə 1: t əvəzinə x yazırıq. İndi hər iki inteqral eyni parçadadır və Xassə 3 ilə birləşir: inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 2: (ln x − 2x + 3x2 − ln x) dx.
3. ln x ixtisar olunur — onun ibtidaisini axtarmağa ehtiyac qalmır: inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 2: (3x2 − 2x) dx = (x3 − x2), aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 2 = (8 − 4) − (1 − 1). 4

8 · Diqqət

İki tipik səhv

Səhv

inteqral, aşağı sərhəd 5, yuxarı sərhəd 2: f dx = inteqral, aşağı sərhəd 2, yuxarı sərhəd 5: f dx

Sərhədlər yer dəyişib, işarə isə unudulub.

Düzgün

inteqral, aşağı sərhəd 5, yuxarı sərhəd 2: f dx = − inteqral, aşağı sərhəd 2, yuxarı sərhəd 5: f dx

Xassə 5: yerdəyişmə həmişə «−» gətirir.

Səhv düşüncə

inteqral, aşağı sərhəd −π, yuxarı sərhəd π: sin x dx = 0, deməli sahə 0

İnteqral 0-dır, çünki +2 və −2 bir-birini silir; fiqur isə yox olmur.

Düzgün

inteqral 0, sahə 2 + 2 = 4

Sahə hissələrin mütləq qiymətlərinin cəmidir (6-cı mərhələdəki tək funksiya şəklinə bax).

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 4: f(x) dx = 6 olarsa, inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 4: 5f(x) dx nəyə bərabərdir? Cavab variantları 30 11 65 / Düzdür! Sabit vuruq çıxır: 5 · 6 = 30. Yox. 5 vuruğu inteqralın qarşısına çıxır və nəticəyə vurulur — toplanmır, bölünmür. Həllə bax Xassə 2: inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 4: 5f dx = 5 inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 4: f dx = 5 · 6 = 30.
2. Asan inteqral, aşağı sərhəd 2, yuxarı sərhəd 7: g(x) dx = −3 olarsa, inteqral, aşağı sərhəd 7, yuxarı sərhəd 2: g(x) dx nəyə bərabərdir? Cavab variantları −3 3 −13 / Əla! Sərhədlər yer dəyişdi, işarə də dəyişdi. Yox. Sərhədlərin yeri dəyişəndə yalnız işarə dəyişir: −(−3). Həllə bax Xassə 5: inteqral, aşağı sərhəd 7, yuxarı sərhəd 2: g dx = − inteqral, aşağı sərhəd 2, yuxarı sərhəd 7: g dx = −(−3) = 3.
3. Orta inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 6: f dx = 10 və inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 2: f dx = 4 olarsa, inteqral, aşağı sərhəd 2, yuxarı sərhəd 6: f dx = ? Cavab variantları 14 6 −6 Düzdür: 10 − 4 = 6. Şəkli düşün: [0; 6] = [0; 2] + [2; 6]. Bütövdən məlum hissəni çıx. Həllə bax Xassə 4: inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 6: f dx = inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 2: f dx + inteqral, aşağı sərhəd 2, yuxarı sərhəd 6: f dx, yəni 10 = 4 + ?, axtarılan inteqral 6-dır.
4. Orta inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 3: f dx = 4, inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 3: g dx = −1. inteqral, aşağı sərhəd 1, yuxarı sərhəd 3: (f − 2g) dx = ? Cavab variantları 2 5 6 Əla! 4 − 2 · (−1) = 6. İki yerdə səhv olur: 2 vuruğunu unutmaq və ya mənfi ədədi çıxanda işarəni itirmək. 4 − 2 · (−1)-i hesabla. Həllə bax Xassə 3 və 2: 4 − 2 · (−1) = 4 + 2 = 6.
5. Çətin inteqral, aşağı sərhəd −2, yuxarı sərhəd 2: (x3 + 3x2 − x) dx = ? Cavab variantları 0 8 16 Düzdür! Tək hissələr 0, cüt hissə ikiləşir: 2 · 8 = 16. Yalnız tək funksiyaların inteqralı 0-dır. 3x² cütdür: 2∫₀² 3x² dx götür. Həllə bax x3 və x təkdir — onların inteqralı 0. 3x2 cütdür: 2 inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 2: 3x2 dx = 2 · x3, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd 2 = 2 · 8 = 16.
6. Çətin inteqral, aşağı sərhəd −π, yuxarı sərhəd π: (sin x + 1) dx = ? Cavab variantları 0 π 2π Əla! sin x hissəsi 0, sabit 1 isə düzbucaqlı verir: 1 · 2π. sin x təkdir, amma 1 tək deyil. Sabit funksiyanın inteqralı c(b − a)-dır: [−π; π] parçasının uzunluğu 2π-dir. Həllə bax Xassə 3: inteqral, aşağı sərhəd −π, yuxarı sərhəd π: sin x dx + inteqral, aşağı sərhəd −π, yuxarı sərhəd π: 1 dx. Birincisi 0 (tək funksiya), ikincisi 1 · (π − (−π)) = 2π.

Xülasə

Yadda qalanlar

• k və ± çıxır inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: kf dx = k inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: f dx; cəmin inteqralı inteqralların cəmidir.
• Parçalar və istiqamət inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd b: f dx = inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd c: f dx + inteqral, aşağı sərhəd c, yuxarı sərhəd b: f dx; sərhədlər yer dəyişəndə işarə dəyişir, inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd a: f dx = 0.
• İşarə və simmetriyab > a və f ≥ 0 olsa, inteqral müsbətdir; [−a; a]-da cüt funksiya — 2 inteqral, aşağı sərhəd 0, yuxarı sərhəd a: f dx, tək funksiya — 0.

Növbəti mövzu: 6.58 Əyrilərlə hüdudlanmış fiqurun sahəsi

Mənbə: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, «Müəyyən inteqralın xassələri», səh. 245–249 və «Ümumiləşdirici tapşırıqlar», səh. 261; inteqral, aşağı sərhəd a, yuxarı sərhəd a: f dx = 0 bərabərliyi «Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu», səh. 240. Nümunə 1–5 dərsliyin nümunələridir; Nümunə 6 və 7 dərslik tapşırıqlarıdır, onların həlli və sualların ədədləri bu dərs üçün yazılıb.