İnteqralın işarəsi: hesablamadan

Müəyyən inteqralın xassələri · izah

İnteqralın işarəsi: hesablamadan

Hesablama aparmadan müəyyən edin: aşağıdakı inteqrallardan hansının qiyməti mənfidir?

1 · Əsas fikir

Hansı xassə işləyir?

İşarə qaydası və Xassə 5

b > a və [a; b]-də f ≥ 0 olarsa: f dx ≥ 0 f ≤ 0 olarsa: f dx ≤ 0 Tərs sərhəd: f dx = − f dx

İnteqralın işarəsini iki şey müəyyən edir: funksiyanın parçadakı işarəsi və sərhədlərin istiqaməti. Aşağı sərhəd yuxarıdan kiçikdirsə, f ≥ 0 müsbət, f ≤ 0 mənfi inteqral verir; sərhədlər tərs yazılıbsa, işarə bir dəfə də dəyişir.

2 · Həll

Addım-addım həll

Həllişarə qaydası + Xassə 5 (hesablamasız)

1. ∫₃¹ (x² + 1)dx: [1; 3]-də x2 + 1 > 0, ona görə ∫₁³ müsbətdir; sərhədlər tərsdir, işarə dəyişir ⇒ mənfi.
2. ∫₋₃⁻¹ x² dx: x2 ≥ 0, sərhədlər düz sıradadır (−3 < −1) ⇒ müsbət.
3. ∫₋₂² x³ dx: tək funksiya, simmetrik parça ⇒ 0.
4. ∫₂⁰ (x − 3)dx: [0; 2]-də x − 3 < 0 ⇒ ∫₀² mənfi; tərs sərhəd ⇒ müsbət.
5. ∫₋₁¹ exdx: ex > 0, düz sıra ⇒ müsbət.

Cavab: ∫₃¹ (x² + 1) dx

Müsbət funksiya, tərs sərhədlər

Funksiya müsbətdir, amma inteqrallama 3-dən 1-ə — tərs istiqamətdə gedir, ona görə inteqral mənfidir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Hesablasaq: ∫₃¹(x² + 1)dx = −(9 + 3 − 1/3 − 1) = −32/3 < 0; digərləri 26/3, 0, 4 və e − 1/e ≈ 2,35-dir ✓.

4 · Tipik səhvlər

Niyə digər variantlar səhvdir

• ∫₋₃⁻¹ x² dxSərhədlər mənfidir, amma inteqralaltı funksiya x² ≥ 0 və aşağı sərhəd yuxarıdan kiçikdir (−3 < −1); inteqral müsbətdir.
• ∫₋₂² x³ dxx³ təkdir və parça simmetrikdir; oxdan aşağı və yuxarı sahələr bərabərdir, inteqral 0-dır — mənfi deyil.
• ∫₂⁰ (x − 3) dx[0; 2]-də x − 3 < 0, ona görə ∫₀² (x − 3)dx < 0; sərhədlər tərs olduğu üçün işarə bir də dəyişir və inteqral müsbətdir.
• ∫₋₁¹ eˣ dxeˣ > 0 və −1 < 1, ona görə inteqral müsbətdir.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Müəyyən inteqralın xassələri» bölməsi (səh. 245–249). Tapşırıq tipi DİM test toplusu modelində yeni ədədlərlə qurulub.