Cüt və tək funksiya bir inteqralda

Müəyyən inteqralın xassələri · izah

Cüt və tək funksiya bir inteqralda

f cüt, g isə tək funksiyadır; hər ikisi [−3; 3] parçasında kəsilməzdir və

f(x) dx = 7

g(x) dx = 5

olduğu məlumdur. Aşağıdakı inteqralı hesablayın.

(f(x) − 4g(x)) dx

1 · Əsas fikir

Hansı xassə işləyir?

Simmetrik parçada cüt və tək funksiya

Cüt funksiya: f dx = 2 f dx = 2 f dx Tək funksiya: g dx = 0

Cüt funksiyanın qrafiki ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir: sol və sağ yarılardakı sahələr bərabərdir, ona görə bütöv inteqral yarının iki mislidir. Tək funksiyanın inteqralı isə simmetrik parçada sıfırdır.

2 · Həll

Addım-addım həll

Həllcüt/tək funksiya + xəttilik

1. Xassə 2 və 3: (f − 4g) dx = f dx − 4 g dx.
2. f cütdür, iki yarı bərabərdir: f dx = 2 f dx = 2 · 7 = 14.
3. g təkdir: g dx = g dx + g dx = −5 + 5 = 0. Verilən ∫₀³ g = 5 qiyməti nəticəyə təsir etmir.
4. Nəticə: 14 − 4 · 0 = 14.

Cavab: 14

Cüt funksiyanın iki yarısı

Şərti ödəyən cüt funksiyalardan biri, f(x) = 1 + 4x²/9: iki yarının inteqralı bərabərdir, 7 + 7 = 14.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Nümunə: f(x) = 1 + 4x²/9 (cüt, ∫₋₃⁰ f = 3 + 4 = 7) və g(x) = 10x/9 (tək, ∫₀³ g = 5). Bu funksiyalarla ∫₋₃³(f − 4g)dx ədədi olaraq 14 alınır ✓.

4 · Tipik səhvlər

Niyə digər variantlar səhvdir

• −26Tək g üçün də cüt funksiya qaydası tətbiq olunub: ∫₋₃³ g = 10 sanılıb (14 − 40). Tək funksiyanın simmetrik parçada inteqralı 0-dır.
• 7f-in inteqralı ikiqat artırılmayıb: yalnız ∫₋₃⁰ f götürülüb. Cüt funksiyanın iki yarısı bərabərdir: 7 + 7.
• −13Hər funksiya yalnız bir yarıda götürülüb: 7 − 4 · 5. İnteqral bütün [−3; 3] parçası üzrədir.
• 0Simmetrik parçada hər funksiyanın inteqralı 0 sayılıb. Bu yalnız tək funksiyalar üçün doğrudur; cüt f-in inteqralı 14-dür.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Müəyyən inteqralın xassələri» bölməsi (səh. 245–249). Tapşırıq tipi DİM test toplusu modelində yeni ədədlərlə qurulub.