Dəyişənin adı, cəmin inteqralı və naməlum sərhəd

a > 1 olduqda aşağıdakı bərabərliyi ödəyən a ədədini tapın.

\int_{1}^{a} \left(\sin^{2}x + 2x\right)dx + \int_{1}^{a} \cos^{2}t\,dt = 10

İzahı göstər

Müəyyən inteqralın xassələri · izah

a > 1 olduqda aşağıdakı bərabərliyi ödəyən a ədədini tapın.

(sin2x + 2x)dx + cos2t dt = 10

1 · Əsas fikir

Hansı xassə işləyir?

Xassə 1 və Xassə 3

Dəyişənin adı: f(x) dx = f(t) dt Cəm: f dx + g dx = (f + g) dx

İnteqralın qiyməti inteqrallama dəyişəninin adından asılı deyil, ona görə ikinci inteqralda t-ni x ilə əvəz edə bilərik. Sərhədləri eyni olan iki inteqral bir inteqrala birləşir və sin²x + cos²x = 1 eyniliyi işi sadələşdirir.

2 · Həll

Addım-addım həll

HəllXassə 1 + Xassə 3 + naməlum sərhəd

Xassə 1: cos2t dt = cos2x dx.
Xassə 3 ilə birləşdiririk: (sin2x + cos2x + 2x) dx = (1 + 2x) dx.
Nyuton-Leybnis: (x + x2)a1 = a + a2 − 2.
Tənlik: a2 + a − 2 = 10 ⇒ a2 + a − 12 = 0 ⇒ (a + 4)(a − 3) = 0.
Köklər −4 və 3; a > 1 şərtinə yalnız a = 3 uyğundur.

Cavab: 3

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

a = 3 üçün: ∫₁³(1 + 2x)dx = (3 + 9) − (1 + 1) = 10 ✓. Müstəqil yoxlamada ilkin iki inteqral (sin²x + 2x və cos²t) ayrıca ədədi inteqrallanıb və cəmi 10 alınıb.

4 · Tipik səhvlər

Niyə digər variantlar səhvdir

−4Kvadrat tənliyin ikinci köküdür, amma a > 1 şərtini ödəmir.
4Vuruqlara ayırmada işarə səhvi: (a − 4)(a + 3) = a² − a − 12, bizim tənlik isə a² + a − 12 = 0-dır.
√11sin²x + cos²t cəmi 1-ə çevrilməyib, ∫₁ᵃ 1 dx itib: yalnız a² − 1 = 10 həll olunub.
√10Həm ∫₁ᵃ 1 dx, həm də aşağı sərhəddəki qiymət unudulub: a² = 10.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Müəyyən inteqralın xassələri» bölməsi (səh. 245–249). Tapşırıq tipi DİM test toplusu modelində yeni ədədlərlə qurulub.