Audio dərs · Müddət
14:59
Mətn (transkript)
Axşamdır. Pəncərəyə yağış döyür, stolun üstündə lampa yanır. Qalın bir kitab götürüb stola qoyursunuz. Kitab bağlıdır: üz qabığı ilə arxa qabığı biri o birinin üstündə uzanır, aralarında isə çoxlu vərəq var. İndi kitabı açırsınız. Bir yarısı stolun üstünə yatır, o biri yarısını isə dik saxlayırsınız, lap divar kimi. Sonra dik vərəqi bir az əyirsiniz, və o, maili dayanır. İndi təsəvvür edin ki, kitabı görmürsünüz. Sizə yalnız iki vərəqin tənliyini verirlər. Bu tənliklərə baxıb bilmək olarmı: bu iki vərəq heç vaxt görüşmür, düz bucaq altında görüşür, yoxsa başqa bir bucaq altında? Bu bucaq neçə dərəcədir? Kitab nümunəsini mən özüm seçmişəm. Dərslikdə isə üç şəkil var, və onlar məhz bu üç vəziyyəti göstərir: perpendikulyar müstəvilər, paralel müstəvilər və iki müstəvi arasındakı bucaq. Salam! Bugünkü mövzumuz müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyətidir. Əvvəlcə kiçik bir razılaşma. Vərəqin kənarları var, müstəvinin isə kənarı yoxdur. Ona görə hər vərəqi fikrimizdə bütün tərəflərə sonsuz uzadacağıq, və o, müstəviyə çevriləcək. Əvvəlki mövzulardan iki şeyi xatırlayaq. Birincisi: müstəvinin tənliyində iks, iqrek və zet-in əmsalları müstəvinin normalının komponentləridir. Normal isə müstəviyə perpendikulyar olan vektordur. İkincisi: sıfırdan fərqli iki vektor yalnız o zaman perpendikulyardır ki, onların skalyar hasili sıfıra bərabər olsun. Bu gün üç suala cavab verəcəyik: iki müstəvi nə vaxt perpendikulyardır, nə vaxt paraleldir, və aralarındakı bucağı necə tapmaq olar. Sonda kitaba qayıdacağıq. Birinci fəsil: perpendikulyar müstəvilər. Bütün dərsin əsas fikri budur: müstəvinin necə yerləşdiyini onun normalı göstərir. Normal müstəvinin baxdığı istiqamətdir, səthdən düz bayıra çıxan ox. Stolun üstünə yatan vərəqin normalı yuxarı baxır. Dik dayanan vərəqin normalı isə yana, üfüqi istiqamətdə baxır. Yuxarı və yan istiqamət bir-birinə perpendikulyardır. Dərslik bunu belə yazır: əgər müstəvilər perpendikulyardırsa, onların normalları da perpendikulyardır, və tərsinə. «Tərsinə» sözü vacibdir: normallar perpendikulyardırsa, müstəvilər də perpendikulyardır. Deməli, yoxlama üsulu hazırdır. Normalların skalyar hasilini hesablayırıq. Sıfır alınırsa, müstəvilər perpendikulyardır. Dərslikdəki nümunəyə baxaq. Alfa müstəvisinin tənliyi: iki iks, mənfi üç iqrek, üstəgəl zet, mənfi bir, bərabərdir sıfır. Beta müstəvisinin tənliyi: dörd iks, mənfi üç iqrek, mənfi on yeddi zet, bərabərdir sıfır. Əmsalları oxuyuruq. Alfanın normalı: iki, mənfi üç, bir. Betanın normalı: dörd, mənfi üç, mənfi on yeddi. İndi uyğun komponentləri vurub toplayaq. İki ilə dördün hasili səkkizdir. Mənfi üç ilə mənfi üçün hasili müsbət doqquzdur. Bir ilə mənfi on yeddinin hasili mənfi on yeddidir. Səkkiz üstəgəl doqquz on yeddi edir, on yeddi çıxılsın on yeddi isə sıfırdır. Skalyar hasil sıfırdır, deməli, alfa və beta perpendikulyardır. Bir xəbərdarlıq da edim: dərslikdə həllin bir sətrində betanın normalı səhv çap olunub. Ona görə normalı həmişə tənlikdəki əmsallardan oxuyun: zet-in əmsalı mənfi on yeddidir. Burada bir qarışıqlıqdan qorunaq. Dərslik başqa bir fakt da verir: bir vektor müstəviyə paraleldirsə, yəni müstəvi boyunca uzanırsa, onun normal ilə skalyar hasili sıfıra bərabərdir. Bu da təbiidir: normal səthə perpendikulyardır, ona görə səth boyunca gedən hər istiqamətə də perpendikulyardır. Yəni sıfır skalyar hasil iki ayrı sualda işləyir. Vektor ilə normalın hasili sıfırdırsa, vektor müstəvi boyunca gedir. İki normalın hasili sıfırdırsa, iki müstəvi perpendikulyardır. Hansı iki vektoru vurduğunuzu həmişə yadda saxlayın. İkinci fəsil: paralel müstəvilər. Kitabı yenidən bağlayın. İndi bütün vərəqlər biri o birinin üstündə uzanır, və hamısının normalı eyni istiqamətə, yuxarı baxır. Dərslikdə yazılıb: əgər müstəvilər paraleldirsə, onların normalları da paraleldir, və tərsinə. Paralel vektorları əvvəlki mövzulardan tanıyırsınız: onlardan biri o birinin hansısa ədədə hasilidir. Normallar eyni ola bilər, biri o birinin iki misli ola bilər, hətta əks tərəfə də baxa bilər. Bunların hamısı paralellikdir. Dərsliyin ikinci nümunəsi. Alfa: iki iks, mənfi iki iqrek, mənfi zet, üstəgəl üç, bərabərdir sıfır. Beta: iki iks, mənfi iki iqrek, mənfi zet, mənfi bir, bərabərdir sıfır. Hər iki normal eynidir: iki, mənfi iki, mənfi bir. Deməli, müstəvilər paraleldir. Bəs bəlkə bu, eyni müstəvidir? Sərbəst hədlərə baxaq: birində üstəgəl üç, o birində mənfi bir. Onlar fərqlidir. Dərslik bu sərbəst həddi böyük de hərfi ilə adlandırır və nəticə çıxarır: bunlar üst-üstə düşməyən paralel müstəvilərdir. Səbəbini sözlə də demək olar. Betanın sol tərəfi həmişə alfanın sol tərəfindən dörd vahid azdır. Alfanın tənliyini ödəyən nöqtədə betanın sol tərəfi mənfi dörd olur, sıfır olmur. Ortaq nöqtə tapılmır, müstəvilər heç vaxt görüşmür. Bəs iki tənlik nə vaxt eyni müstəvini verir? Tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli eyni ədədə vursaq, müstəvi dəyişmir, sadəcə başqa cür yazılır. Ona görə normallar paraleldirsə və bir tənlik bütünlüklə, sərbəst həddi də daxil olmaqla, o birinin eyni ədədə hasilidirsə, müstəvilər üst-üstə düşür. Bunu dərsliyin nümunəsindən nəticə kimi çıxarırıq: dərslik üst-üstə düşməyən halı göstərir, üst-üstə düşən hal isə onun qarşı tərəfidir. Qısaca belə yadda saxlayın. Normallar paraleldir, sərbəst hədlər uyğun gəlmir: iki ayrı paralel müstəvi. Normallar paraleldir, sərbəst hədlər də uyğun gəlir: bir müstəvi, sadəcə iki dəfə yazılıb. Üçüncü fəsil: bir naməlum, iki sual. Dərslikdəki on üçüncü tapşırıq iki müstəvi verir. Birincisi: dörd iks, üstəgəl ka iqrek, mənfi iki zet, üstəgəl bir, bərabərdir sıfır. İkincisi: iki iks, üstəgəl dörd iqrek, mənfi zet, üstəgəl dörd, bərabərdir sıfır. Ka ədədinin hansı qiymətində müstəvilər paralel olar, hansı qiymətində perpendikulyar? Əvvəlcə normalları yazaq. Birinci normalın komponentləri dörd, ka və mənfi ikidir. İkinci normalın komponentləri iki, dörd və mənfi birdir. Əvvəl paralellik. Birinci normalın birinci komponenti, dörd, ikincinin birinci komponentinin, yəni ikinin, iki mislidir. Üçüncü komponentlər də belədir: mənfi iki, mənfi birin iki mislidir. Normallar paralel olsun deyə, ortadakı komponent də iki misli olmalıdır. Dördün iki misli səkkizdir. Deməli, ka bərabərdir səkkiz, dərsliyin cavabı da budur. Bu halda müstəvilər üst-üstə düşürmü? İkinci tənliyi bütünlüklə ikiyə vursaq, sərbəst hədd səkkiz olur, birinci tənlikdə isə bir. Uyğun gəlmir, deməli, bunlar iki ayrı paralel müstəvidir. İndi perpendikulyarlıq. Normalların skalyar hasili sıfır olmalıdır. Dörd ilə ikinin hasili səkkizdir. Ka ilə dördün hasili dörd kadır. Mənfi iki ilə mənfi birin hasili müsbət ikidir. Cəm: səkkiz, üstəgəl dörd ka, üstəgəl iki, yəni on üstəgəl dörd ka. Bu cəm sıfıra bərabər olmalıdır. Buradan dörd ka mənfi on olur, ka isə mənfi iki yarım. Dərslikdə də cavab mənfi iki yarımdır, sadəcə onluq kəsr kimi yazılıb. Gördünüz? Eyni cüt müstəvi, bir naməlum, amma iki sual üçün iki ayrı şərt. Paralellikdə bir normal o birinin hansısa ədədə hasili olur. Perpendikulyarlıqda isə normalların skalyar hasili sıfır olur. Dördüncü fəsil: iki müstəvi arasındakı bucaq. Kitabı yenidən açın və bir vərəqi maili saxlayın. İki müstəvi kəsişirsə, aralarındakı bucağı necə ölçək? Dərsliyin üçüncü şəkli cavabı verir: bucağa normalların arasından baxırıq. Vərəqi bir az da əysəniz, onun normalı da eyni qədər dönür. Buradan dərslikdəki düstur gəlir, onu bir dəfə sözlə deyirəm. İki müstəvi arasındakı bucağın kosinusu normalların skalyar hasilinin modulunun, normalların uzunluqları hasilinə nisbətinə bərabərdir. Bu düsturda modul niyə var? Çünki normalın istiqamətini iki cür seçmək olar: yuxarı da, aşağı da. Normalı əks tərəfə çevirsəniz, normallar arasındakı bucaq kor bucağa çevrilə bilər, amma müstəvilər öz yerində qalır. Modul skalyar hasilin işarəsini atır, və cavab həmişə sıfır ilə doxsan dərəcə arasında olur. Bu aralıq dərslikdə ayrıca yazılmayıb, onu düsturdakı moduldan özümüz çıxarırıq. Buradan iki xüsusi hal da görünür. Skalyar hasil sıfırdırsa, kosinus sıfırdır, bucaq doxsan dərəcədir: perpendikulyar müstəvilər. Normallar paraleldirsə, kosinus birdir, bucaq sıfırdır: paralel müstəvilər. Dərsliyin on dördüncü tapşırığını həll edək. Birinci müstəvi: iks, mənfi iqrek, mənfi iki zet, üstəgəl üç, bərabərdir sıfır. İkinci müstəvi: iki iks, üstəgəl iqrek, mənfi zet, üstəgəl iki, bərabərdir sıfır. Birinci normalın komponentləri bir, mənfi bir və mənfi ikidir. İkinci normalın komponentləri iki, bir və mənfi birdir. Skalyar hasil: bir ilə ikinin hasili iki, mənfi bir ilə birin hasili mənfi bir, mənfi iki ilə mənfi birin hasili müsbət iki. Cəm üçdür. İndi uzunluqlar. Birinci normalda kvadratlar bir, bir və dörddür, cəmi altıdır. İkinci normalda kvadratlar dörd, bir və birdir, cəmi də altıdır. Deməli, hər iki normalın uzunluğu altının kvadrat köküdür. Altının kvadrat kökünü özünə vursaq, altı alınır. Deməli, kosinus üç bölü altıdır, yəni yarım. Kosinusu yarım olan bucaq altmış dərəcədir. Dərsliyin cavabı da altmış dərəcədir. İndi kitaba qayıdaq və vərəqlərə öz koordinatlarımızı verək. Ölçüləri santimetrlə götürürük. Stolun səthi iks və iqrek oxlarının yaratdığı koordinat müstəvisidir, zet oxu yuxarı baxır, kitabın tikişi isə iqrek oxu boyunca uzanır. Stolun üstünə yatan vərəq zet bərabərdir sıfır müstəvisidir, normalı sıfır, sıfır, bir, yəni düz yuxarı. Dik dayanan vərəq iks bərabərdir sıfır müstəvisidir, normalı bir, sıfır, sıfır. Skalyar hasil sıfır üstəgəl sıfır üstəgəl sıfırdır, yəni sıfır. Vərəqlər perpendikulyardır, və tənliklər də bunu təsdiq edir. Kitabı bağlayaq. Qalınlığı üç santimetr olsun. Alt qabıq zet bərabərdir sıfır müstəvisindədir, üst qabıq isə zet mənfi üç bərabərdir sıfır müstəvisində. Normallar eynidir: sıfır, sıfır, bir. Sərbəst hədlər isə fərqlidir: sıfır və mənfi üç. Bunlar üst-üstə düşməyən paralel müstəvilərdir. Qabıqlar heç vaxt görüşmür, aralarında vərəqlər var. Nəhayət, maili vərəq. Onu elə əyək ki, tənliyi iks mənfi zet bərabərdir sıfır olsun. Bu müstəvi tikişdən keçir, çünki tikişin hər nöqtəsində iks də, zet də sıfırdır. Onun normalı: bir, sıfır, mənfi bir. Yatan vərəqin normalı ilə skalyar hasil mənfi birdir, modulu isə bir. Uzunluqlar: biri bir, o biri ikinin kvadrat kökü. Kosinus birin ikinin kvadrat kökünə nisbətidir, bu da qırx beş dərəcənin kosinusudur. Deməli, kitab qırx beş dərəcə açıqdır. Vərəqi tikişin o biri tərəfinə eyni qədər əysəniz, kitab daha geniş, kor bucaq altında açılar. Amma düstur yenə qırx beş dərəcə verəcək, çünki müstəvilər arasındakı bucaq sıfır ilə doxsan dərəcə arasında götürülür. Gəlin əvvəldəki suala cavab verək. Bəli, yalnız tənliklərə baxıb iki vərəqin vəziyyətini bilmək olar, və bunun üçün normallar kifayətdir. Normalların skalyar hasili sıfırdırsa, müstəvilər perpendikulyardır. Normallar paraleldirsə, müstəvilər də paraleldir, sərbəst hədlər də uyğun gəlirsə, bu, eyni müstəvidir. Qalan hallarda bucağın kosinusunu normallardan tapırıq. Yadda saxlamalı bir fikir: müstəvinin vəziyyətini onun normalı göstərir, ona görə iki müstəvini müqayisə etmək iki normalı müqayisə etmək deməkdir. Addım-addım hesablamalar üçün oxu dərsinə və videoya baxın. Mən isə kitabı bağlayıram və lampanı söndürürəm. Sağ olun!