İki nöqtədən keçən və verilmiş müstəviyə perpendikulyar müstəvi

1 · Əsas fikir

İki şərt — iki tənlik

Qayda

Axtarılan α müstəvisinin normalı n(a; b; c) olsun. İki şərt var:

AB α-nın üzərindədir ⇒ n · AB = 0

α ⊥ π ⇒ n · nπ = 0

Bu iki tənlikdən a : b : c nisbəti tapılır, sonra d nöqtələrdən birini yerinə yazmaqla. Cavabı ikinci nöqtə və perpendikulyarlıq şərti ilə yoxlayırıq.

2 · Həll

Addım-addım həll

Məsələİki nöqtədən keçən və verilmiş müstəviyə perpendikulyar müstəvi

A(1; 2; 0), B(3; 1; 2) nöqtələrindən keçən və π: x + y − z + 4 = 0 müstəvisinə perpendikulyar olan müstəvinin tənliyini yazın.

1. AB vektoru: (3 − 1; 1 − 2; 2 − 0) = (2; −1; 2). O, axtarılan α müstəvisinin üzərindədir, ona görə n · AB = 0: 2a − b + 2c = 0.
2. Perpendikulyarlıq: α ⊥ π ⇒ n · (1; 1; −1) = 0: a + b − c = 0.
3. Sistemi həll edirik. İki tənliyi toplasaq: 3a + c = 0 ⇒ c = −3a. İkincidən b = c − a = −4a. a = 1 götürək: n(1; −4; −3).
4. d‑ni tapırıq. A(1; 2; 0): 1 − 8 − 0 + d = 0 ⇒ d = 7. Cavab: x − 4y − 3z + 7 = 0.

Cavab: x − 4y − 3z + 7 = 0

Perpendikulyar müstəvilər və onların normalları

α müstəvisi π-yə perpendikulyardır: α-nın normalı n π-nin normalına perpendikulyardır, AB parçası isə α-nın üzərindədir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

B(3; 1; 2): 3 − 4 − 6 + 7 = 0 ✓. Perpendikulyarlıq: (1; −4; −3)·(1; 1; −1) = 1 − 4 + 3 = 0 ✓.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

n = AB

AB normal götürülüb — müstəvi AB‑yə perpendikulyar alınır.

Düzgün

n · AB = 0

AB müstəvinin üzərindədir, normal ona perpendikulyardır.

Digər cavablar niyə səhvdir

• x + 2y − 5 = 0 — A və B‑dən keçir (1 + 4 − 5 = 0, 3 + 2 − 5 = 0), amma π-yə perpendikulyar deyil: (1; 2; 0)·(1; 1; −1) = 3 ≠ 0.
• 2x − y + 2z = 0 — AB vektoru normal kimi götürülüb. Belə müstəvi AB‑yə perpendikulyar olur, halbuki AB axtarılan müstəvinin üzərində olmalıdır. B bu müstəvidə deyil: 6 − 1 + 4 = 9 ≠ 0.
• x − 4y − 3z − 7 = 0 — Normal düzgündür, d‑nin işarəsi səhvdir: A üçün 1 − 8 − 0 + d = 0 ⇒ d = 7. −7 olanda A: 1 − 8 − 7 = −14 ≠ 0.
• x + y − z − 3 = 0 — π-nin normalı götürülüb: bu müstəvi A‑dan keçir, amma π-yə paraleldir, perpendikulyar deyil; B də onda deyil: 3 + 1 − 2 − 3 = −1 ≠ 0.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti», səh. 61; «Ümumiləşdirici tapşırıqlar», səh. 303, №115. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.