Müstəvi cütlərinin qarşılıqlı vəziyyəti

1 · Əsas fikir

Vəziyyəti normallar müəyyən edir

Qayda

Tənliklə verilmiş iki müstəvinin vəziyyətini normallarına görə müəyyən edirik:

n₂ = k · n₁ ⇒ paralel və ya üst-üstə düşür

n₁ · n₂ = 0 ⇒ perpendikulyar

Normallar kollinear deyilsə, müstəvilər kəsişir; skalyar hasil sıfırdırsa, kəsişmə bucağı 90°-dir. Paralel halda sərbəst hədd də k ilə mütənasibdirsə, müstəvilər üst-üstə düşür.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələMüstəvi cütlərinin qarşılıqlı vəziyyəti

Cütlər: a) x − 2y + 3z − 1 = 0 və −2x + 4y − 6z + 2 = 0; b) 2x + y − z + 4 = 0 və x − y + z − 3 = 0; c) 3x − y + z − 2 = 0 və 6x − 2y + 2z + 5 = 0. Vəziyyətlər: 1) paraleldir, üst-üstə düşmür; 2) üst-üstə düşür; 3) perpendikulyardır; 4) kəsişir, amma perpendikulyar deyil.

1. a) n₂(−2; 4; −6) = −2·(1; −2; 3) — kollineardır. Sərbəst hədd: −2·(−1) = 2 — ikinci tənliyin sərbəst həddi də 2‑dir. Bütün tənlik −2‑yə vurulub: üst-üstə düşür (2).
2. b) (2; 1; −1) və (1; −1; 1) kollinear deyil (2 : 1 ≠ 1 : (−1)). Skalyar hasil: 2·1 + 1·(−1) + (−1)·1 = 0 — perpendikulyardır (3).
3. c) (6; −2; 2) = 2·(3; −1; 1) — kollineardır. Sərbəst hədd: 2·(−2) = −4, amma ikinci tənlikdə 5‑dir: −4 ≠ 5 — paraleldir, üst-üstə düşmür (1).
4. Uyğunluq: a – 2, b – 3, c – 1.

Cavab: a – 2, b – 3, c – 1

Cütlərin müqayisəsi

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

a) (1; 0; 0) hər iki tənliyi ödəyir: 1 − 1 = 0 və −2 + 2 = 0 — ortaq nöqtəli paralel müstəvilər eynidir. c) (0; 0; 2) birinci müstəvidədir (2 − 2 = 0), ikincidə deyil (4 + 5 = 9 ≠ 0).

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

a – 1

Normallar kollineardır deyə dərhal «paralel» deyilib, sərbəst hədd yoxlanmayıb.

Düzgün

a – 2

Sərbəst hədd də −2‑yə vurulub — tənliklər eyni müstəvini verir.

Digər cavablar niyə səhvdir

• a – 1, b – 3, c – 2 — a və c cütləri yerini dəyişib. a‑da bütün əmsallar, sərbəst hədd də daxil, −2 ilə mütənasibdir — üst-üstə düşür; c‑də x, y, z əmsalları 2 dəfə artıb, sərbəst hədd isə −2‑dən 5‑ə keçib — paraleldir.
• a – 2, b – 4, c – 1 — b cütündə ikinci normalın −1 komponenti +1 götürülüb: 2 + 1 − 1 = 2 ≠ 0. Düzgün: 2·1 + 1·(−1) + (−1)·1 = 0 — perpendikulyardır.
• a – 1, b – 3, c – 1 — a cütündə yalnız normallar müqayisə olunub. Normallar kollinear olanda sərbəst hədd də yoxlanmalıdır: 2 = (−2)·(−1), deməli a‑dakı tənliklər eyni müstəvini verir.
• a – 2, b – 3, c – 4 — c cütündə sərbəst hədd mütənasib olmadığı üçün müstəvilərin kəsişdiyi düşünülüb. Normallar (3; −1; 1) və (6; −2; 2) kollineardır — müstəvilər paraleldir; sərbəst hədd yalnız üst-üstə düşüb-düşməməsini həll edir.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti», səh. 61, Nümunə a), b). Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.