Mətn
M(2; −1; 3) nöqtəsi və π müstəvisi verilib:
M nöqtəsindən keçən və π müstəvisinə paralel olan müstəvinin tənliyini tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Paralel müstəvi — eyni normal, başqa d
Qayda
İki müstəvi paraleldirsə, onların normalları da paraleldir (kollineardır) və tərsinə:
π₁ ∥ π₂ ⇔ n₂ = k · n₁
Normallar kollineardırsa, sərbəst hədlərə baxırıq: sərbəst hədd də eyni k ilə mütənasibdirsə, tənliklər eyni müstəvini verir (müstəvilər üst-üstə düşür); mütənasib deyilsə, müstəvilər üst-üstə düşməyən paralel müstəvilərdir.
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələNöqtədən keçən və verilmiş müstəviyə paralel müstəvi
M(2; −1; 3) nöqtəsindən keçən və π: 3x − 2y + z + 7 = 0 müstəvisinə paralel olan müstəvinin tənliyini yazın.
- Normalı götürürük. Paralel müstəvilərin normalları kollineardır; π-nin normalı n(3; −2; 1) axtarılan müstəvi üçün də normaldır. Tənlik: 3x − 2y + z + d = 0.
- M‑i yerinə yazırıq. 3·2 − 2·(−1) + 3 + d = 0 ⇒ 6 + 2 + 3 + d = 0 ⇒ 11 + d = 0 ⇒ d = −11.
- Cavab: 3x − 2y + z − 11 = 0.
Cavab: 3x − 2y + z − 11 = 0
Paralel müstəvilər və onların normalları
Paralel müstəvilər: normallar kollineardır, n₂ = k · n₁.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
M(2; −1; 3): 6 + 2 + 3 − 11 = 0 ✓. Normallar eyni, sərbəst hədlər −11 və 7 fərqlidir — müstəvilər paraleldir və üst-üstə düşmür.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
d = −7
−2·(−1) hasili −2 kimi hesablanıb.
Düzgün
d = −11
−2·(−1) = +2: 6 + 2 + 3 = 11, d = −11.
Digər cavablar niyə səhvdir
- 3x − 2y + z + 11 = 0 — d‑nin işarəsi səhvdir: 11 + d = 0 ⇒ d = −11. +11 olanda M müstəvidə deyil: 11 + 11 = 22 ≠ 0.
- 3x − 2y + z + 7 = 0 — π-nin özü götürülüb. M π-də deyil: 6 + 2 + 3 + 7 = 18 ≠ 0.
- 3x − 2y + z − 7 = 0 — −2·(−1) hasili −2 kimi hesablanıb: 6 − 2 + 3 = 7. Düzgün: 6 + 2 + 3 = 11. Bu müstəvi M‑dən keçmir: 11 − 7 = 4 ≠ 0.
- 2x − y + 3z − 14 = 0 — M‑in koordinatları normal kimi götürülüb. Müstəvi M‑dən keçir (4 + 1 + 9 − 14 = 0), amma normalı (2; −1; 3) π-nin normalı (3; −2; 1) ilə kollinear deyil — müstəvilər kəsişir.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti», səh. 61, Nümunə b). Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.