Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti

• 6.14
• 11-ci sinif
• Fəzada koordinatlar

Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti

α: x − y + z − 2 = 0 və β: −x + z − 2 = 0 müstəviləri necə yerləşib? Şəkil çəkməyə ehtiyac yoxdur — normallara bax: (1; −1; 1) · (−1; 0; 1) = −1 + 0 + 1 = 0, deməli müstəvilər perpendikulyardır.

Bu dərsdə

• normallara baxıb iki müstəvinin paralel, üst-üstə düşən, perpendikulyar və ya kəsişən olduğunu müəyyən edəcəksən;
• parametrin elə qiymətini tapacaqsan ki, müstəvilər paralel və ya perpendikulyar olsun;
• iki müstəvi arasındakı bucağı normallar vasitəsilə hesablayacaqsan.

Perpendikulyar müstəvilər α və β, normalları və düz bucaq

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Qayda
3. Hesabla
4. Parametr
5. Bucaq
6. Bucağı hesabla
7. Diqqət
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Bir müstəvi yerində, ikincisi dəyişir

Müstəvinin fəzada necə «durduğunu» onun normalı — müstəviyə perpendikulyar vektor — göstərir (6.13). Ona görə iki müstəviyə baxanda əvvəlcə iki normalı müqayisə edirik.

Aşağıda mavi π1: z − 1 = 0 müstəvisi yerində qalır, onun normalı n1(0; 0; 1) düz yuxarı baxır. Narıncı π2-ni dəyiş və normallara bax.

π2 necə yerləşsin?

Paralel Üst-üstə Perpendikulyar Bucaq altında

π₁ müstəvisi yerində qalır, π₂ dəyişir

π2: z − 3 = 0, n2(0; 0; 1). Normallar eynidir, sərbəst hədlər isə fərqlidir (−1 və −3). Müstəvilər paraleldir və ortaq nöqtələri yoxdur.

π2: 2z − 2 = 0, n2(0; 0; 2) = 2 · n1. Bu tənlik π1-in tənliyinin 2 mislidir: 2(z − 1) = 2z − 2. Deməli, π2 elə π1-in özüdür — müstəvilər üst-üstə düşür.

π2: y − 2 = 0, n2(0; 1; 0). n1 · n2 = 0 · 0 + 0 · 1 + 1 · 0 = 0: normallar perpendikulyardır, müstəvilər də perpendikulyardır. Diqqət et: n2 π1 boyunca yönəlib.

π2: y + z − 4 = 0, n2(0; 1; 1). Normallar nə kollineardır, nə də perpendikulyar (n1 · n2 = 1). Müstəvilər θ = 45° bucaq altında kəsişir — bu bucağı 5-ci mərhələdə hesablayacağıq.

Müstəvilər kölgəli paraleloqramlar, normallar oxlardır; qırıq xətt müstəvilərin kəsişdiyi yerdir. Oblik görünüş: x oxu bizə doğru, y sağa, z yuxarı.

Dörd halın hamısında cavabı şəkil yox, normallar verdi. İndi bunu qayda kimi yazaq.

2 · Qayda

Normallar hər şeyi deyir

Müstəvilər π1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 və π2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0 şəklindədir (bu dərsdə tənliyi həmişə belə yazırıq, d — sərbəst hədd). Normalları n1(a1; b1; c1) və n2(a2; b2; c2).

Yadda saxla

Əgər müstəvilər perpendikulyardırsa, onların normalları da perpendikulyardır və tərsinə. Əgər müstəvilər paraleldirsə, onların normalları da paraleldir və tərsinə.

π1 ⊥ π2 ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 π1 ∥ π2 ⇔ n1 ∥ n2 ⇔ n2 = k · n1

Perpendikulyarlığı 6.11-in skalyar hasili, paralelliyi isə 6.10-un kollinear vektorları yoxlayır.

Niyə belədir? Normal müstəvidəki hər düz xəttə perpendikulyardır. Müstəvilər paraleldirsə, birinə perpendikulyar düz xətt digərinə də perpendikulyardır — iki normal eyni istiqamətdə olur. Müstəvilər perpendikulyardırsa, π1-in normalı π2 boyunca yönəlir (kəşfdəki perpendikulyar hal), π2-nin normalı isə π2-dəki hər istiqamətə perpendikulyardır, yəni n1 ⊥ n2.

Paralel, yoxsa eyni müstəvi? Normallar kollineardırsa (n2 = k · n1), birinci tənliyi k-ya vururuq — 6.13-dən bilirik ki, bu müstəvini dəyişmir. Sərbəst hədd də uyğun gəlirsə (d2 = k · d1), iki tənlik eynidir: müstəvilər üst-üstə düşür. Uyğun gəlmirsə, ortaq nöqtə yoxdur: bunlar üst-üstə düşməyən paralel müstəvilərdir (dərslikdəki Nümunə b). Normallar kollinear deyilsə, müstəvilər paralel deyil, deməli kəsişir.

İki müstəvinin dörd vəziyyəti

Vektor və müstəvi

a ∥ müstəvi ⇔ a · n = 0

Müstəviyə paralel vektor onun normalına perpendikulyardır (dərslik, çalışma 12).

Yoxlama ardıcıllığı

1) Normalları oxu. 2) Kollineardırmı? Bəli — sərbəst hədləri müqayisə et. 3) Xeyr — skalyar hasil: 0-dırsa perpendikulyar, deyilsə bucaq altında kəsişir.

3 · Hesabla

Tənliklərə görə vəziyyəti tapırıq

Nümunə 1Perpendikulyar müstəvilər (dərslik)

α: 2x − 3y + z − 1 = 0 və β: 4x − 3y − 17z = 0 müstəvilərinin perpendikulyar olduğunu əsaslandırın.

1. Normalları əmsallardan oxuyuruq: nα(2; −3; 1), nβ(4; −3; −17). β-da sərbəst hədd 0-dır, o normala aid deyil.
2. Skalyar hasil: 2 · 4 + (−3) · (−3) + 1 · (−17) = 8 + 9 − 17 = 0. α ⊥ β

Nümunə 2Paralel müstəvilər (dərslik)

α: 2x − 2y − z + 3 = 0 və β: 2x − 2y − z − 1 = 0 müstəvilərinin paralel olduğunu əsaslandırın.

1. Normallar eynidir: nα = nβ = (2; −2; −1). Deməli, müstəvilər ya paraleldir, ya da üst-üstə düşür.
2. Sərbəst hədlər fərqlidir: 3 və −1 (dərslik onu D adlandırır). Ortaq nöqtə olsaydı, onun üçün 2x − 2y − z ifadəsi həm −3, həm də 1 olardı — bu mümkün deyil. α ∥ β, üst-üstə düşmür

Nümunə 3Paralel, yoxsa eyni müstəvi?

α: 3x − y + 2z − 5 = 0, β: −6x + 2y − 4z + 10 = 0 və γ: −6x + 2y − 4z + 7 = 0. α ilə β-nın və α ilə γ-nın vəziyyətini tapın.

1. nβ = nγ = (−6; 2; −4) = −2 · (3; −1; 2) = −2 · nα. Normallar kollineardır, k = −2.
2. α-nın tənliyini −2-yə vururuq: −6x + 2y − 4z + 10 = 0. Bu, β-nın özüdür — α və β eyni müstəvidir.
3. γ-da sərbəst hədd 7-dir, 10 deyil: α ∥ γ və onlar üst-üstə düşmür. Yoxlama: A(1; 0; 1) α-da 3 − 0 + 2 − 5 = 0, β-da −6 + 0 − 4 + 10 = 0, γ-da isə −6 + 0 − 4 + 7 = −3 ≠ 0. α və β üst-üstə düşür; α ∥ γ

4 · Parametr

Şərti tənliyə çeviririk

Tənlikdə naməlum əmsal olanda vəziyyət şərtini yazırıq: paralellik üçün normallar kollinear olmalıdır, perpendikulyarlıq üçün skalyar hasil 0 olmalıdır.

Nümunə 4k-nı tapın (dərslik, çalışma 13)

k-nın hansı qiymətində 4x + ky − 2z + 1 = 0 və 2x + 4y − z + 4 = 0 müstəviləri: a) paraleldir; b) perpendikulyardır?

1. Normallar: n1(4; k; −2), n2(2; 4; −1).
2. a) x-də 4 = 2 · 2, z-də −2 = 2 · (−1): n1 = 2 · n2 olmalıdır. Onda y-də k = 2 · 4 = 8. Sərbəst hədlər: 2 · 4 = 8 ≠ 1, yəni müstəvilər üst-üstə düşmür.
3. b) 4 · 2 + k · 4 + (−2) · (−1) = 0, yəni 8 + 4k + 2 = 0, 4k = −10. a) k = 8; b) k = −2,5

Nümunə 5Müstəvi, ona perpendikulyar müstəvi və paralel vektor (dərslik, çalışma 12)

P(1; 2; −3) nöqtəsi normalı n(3; 2; 5) olan müstəvi üzərindədir. a) Müstəvinin tənliyini yazın. b) 2x + 2y − cz − 1 = 0 müstəvisi ona perpendikulyar olsun: c = ? c) a(−4; 1; 2) vektoru bu müstəviyə paraleldirmi?

1. a) 3(x − 1) + 2(y − 2) + 5(z + 3) = 0, yəni 3x + 2y + 5z − 3 − 4 + 15 = 0: 3x + 2y + 5z + 8 = 0.
2. b) İkinci normal (2; 2; −c): 3 · 2 + 2 · 2 + 5 · (−c) = 0, yəni 10 − 5c = 0, c = 2.
3. c) a · n = (−4) · 3 + 1 · 2 + 2 · 5 = −12 + 2 + 10 = 0. Vektor normala perpendikulyardır, deməli müstəviyə paraleldir. 3x + 2y + 5z + 8 = 0; c = 2; bəli, paraleldir

5 · Bucaq

İki müstəvi arasındakı bucaq

Kəsişən müstəvilər arasındakı bucağı da normallar verir. Kəşfdəki «bucaq altında» halına — π1: z − 1 = 0 və π2: y + z − 4 = 0 — yandan baxaq.

Yan görünüş: müstəvilər arasındakı bucaq normallar arasındakı bucağa bərabərdir

Başla Yenidən Yenidən

Ox oxu boyunca baxış. Hər iki normalın x koordinatı 0-dır, ona görə müstəvilər düz xətt, normallar isə həqiqi uzunluqda görünür.

Yadda saxla

Normalları n1 və n2 olan π1 və π2 müstəviləri arasındakı θ bucağı bu münasibəti ödəyir:

cos θ = |n1 · n2||n1| · |n2| /

Modul hasilin işarəsini atır, ona görə cos θ ≥ 0 və θ 0°-dən 90°-yə qədərdir.

Niyə normallar? Normal öz müstəvisinə perpendikulyardır: yan görünüşdə hər xətti 90° döndərsək, onun normalını alırıq. İki xətti eyni 90° döndərmək aralarındakı bucağı dəyişmir. Ona görə müstəvilər arasındakı 45° normallar arasında da 45°-dir: cos θ = |0 · 0 + 0 · 1 + 1 · 1| / (1 · √2) = 1/√2, θ = 45°.

Modul nəyə lazımdır? Normalın istiqamətini biz seçirik: n2 əvəzinə −n2 də normaldır (tənliyi −1-ə vurmaq müstəvini dəyişmir). n1 ilə −n2 arasında 135° alınır və kosinus mənfi olur. Müstəvilər arasında isə iki bucaq var — 45° və 135° — və onların bucağı kimi itisi götürülür. Modul məhz onu verir. 6.11-dəki vektorlar arasındakı bucağın düsturu ilə müqayisə et: orada modul yoxdur, çünki vektorun istiqaməti verilib.

Koordinatlarla:

cos θ = |a1a2 + b1b2 + c1c2|√(a12 + b12 + c12) · √(a22 + b22 + c22) /

θ = 90°

n1 · n2 = 0 ⇒ cos θ = 0

Perpendikulyar müstəvilər — 2-ci mərhələnin qaydası düsturun xüsusi halıdır.

θ = 0°

n2 = k · n1 ⇒ cos θ = 1

Normallar kollineardırsa, düstur 0° verir: müstəvilər paraleldir və ya üst-üstə düşür.

6 · Bucağı hesabla

Normallardan bucağa

Nümunə 6Bucağı tapın (dərslik, çalışma 14)

x − y − 2z + 3 = 0 və 2x + y − z + 2 = 0 müstəviləri arasındakı bucağı tapın.

1. Normallar: n1(1; −1; −2), n2(2; 1; −1).
2. n1 · n2 = 1 · 2 + (−1) · 1 + (−2) · (−1) = 2 − 1 + 2 = 3.
3. |n1| = √(1 + 1 + 4) = √6, |n2| = √(4 + 1 + 1) = √6.
4. cos θ = 3 / (√6 · √6) = 3/6 = 1/2. θ = 60°

Nümunə 7Hasil mənfi çıxanda

α: x − z + 1 = 0 və β: y + z − 3 = 0 müstəviləri arasındakı bucağı tapın.

1. Olmayan dəyişənin əmsalı 0-dır: nα(1; 0; −1), nβ(0; 1; 1).
2. nα · nβ = 1 · 0 + 0 · 1 + (−1) · 1 = −1.
3. |nα| = |nβ| = √2.
4. cos θ = |−1| / (√2 · √2) = 1/2. Modulsuz −1/2 alınardı və 120° — bu, normallar arasındakı korbucaqdır, müstəvilər arasındakı bucaq deyil. θ = 60°

7 · Diqqət

İki tələsik nəticə

Səhv düşüncə

2x − 4y + 2z − 1 = 0 və x − 2y + z + 5 = 0: normallar fərqlidir, deməli paralel deyil

Normalların bərabər olması tələb olunmur.

Düzgün

(2; −4; 2) = 2 · (1; −2; 1) ⇒ paraleldir; 2 · 5 = 10 ≠ −1 ⇒ üst-üstə düşmür

Kollinearlıq kifayətdir: n2 = k · n1.

Səhv düşüncə

x + 2y − z − 3 = 0 və 3x + 6y − 3z − 9 = 0: normallar kollineardır, deməli iki paralel müstəvi

Sərbəst hədlər yoxlanmayıb.

Düzgün

3 · (x + 2y − z − 3) = 3x + 6y − 3z − 9 ⇒ eyni müstəvidir

Normallar kollineardırsa, d2 = k · d1 olub-olmadığını da yoxla.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Hansı müstəvi x + 3y − z + 2 = 0 müstəvisinə paraleldir? Cavab variantları 2x + 6y − 2z − 1 = 0 x + 3y + z + 2 = 0 3x + y − z + 2 = 0 Düzdür! (2; 6; −2) = 2 · (1; 3; −1). Yox. Normallar kollinear olmalıdır: hər koordinat eyni ədədə vurulmalıdır, işarələr də daxil. Həllə bax Normal (1; 3; −1). 2x + 6y − 2z − 1 = 0 üçün (2; 6; −2) = 2 · (1; 3; −1) — kollineardır; 2 · 2 = 4 ≠ −1, ona görə üst-üstə düşmür, paraleldir. (1; 3; 1)-də z-in işarəsi, (3; 1; −1)-də x və y-nin yeri dəyişib.
2. Asan Hansı müstəvi 4x − y + 2z − 3 = 0 müstəvisinə perpendikulyardır? Cavab variantları 8x − 2y + 4z + 1 = 0 −x + 4y + 2z − 3 = 0 x + 2y − z + 5 = 0 Əla! 4 · 1 + (−1) · 2 + 2 · (−1) = 0. Normalların skalyar hasilini hesabla — 0 olmalıdır. Kollinear normal paralellik verir, əmsalların yerini dəyişmək isə perpendikulyarlıq vermir. Həllə bax (4; −1; 2) · (1; 2; −1) = 4 − 2 − 2 = 0. 8x − 2y + 4z + 1 = 0 paraleldir (normal 2 mislidir); (4; −1; 2) · (−1; 4; 2) = −4 − 4 + 4 = −4 ≠ 0.
3. Orta 3x − 6y + 3z + 2 = 0 və −x + 2y − z + 4 = 0 müstəviləri necə yerləşib? Cavab variantları üst-üstə düşür paraleldir, üst-üstə düşmür kəsişir Düzdür! Normallar kollineardır, sərbəst hədlər isə uyğun gəlmir. Normalları müqayisə et: (3; −6; 3) = −3 · (−1; 2; −1). Sonra sərbəst həddi də −3-ə vur. Həllə bax n1 = −3 · n2, deməli paraleldir və ya eynidir. İkinci tənliyi −3-ə vursaq: 3x − 6y + 3z − 12 = 0; sərbəst hədd −12 ≠ 2. Müstəvilər paraleldir və üst-üstə düşmür.
4. Orta m-in hansı qiymətində mx − 2y + z + 1 = 0 və 3x + y − 4z − 2 = 0 müstəviləri perpendikulyardır? Cavab variantları m = −2 m = 4/3 m = 2 Düzdür! 3m − 2 − 4 = 0. Üç hasilin hamısını işarəsi ilə yaz: m · 3, (−2) · 1 və 1 · (−4). Həllə bax (m; −2; 1) · (3; 1; −4) = 3m − 2 − 4 = 3m − 6 = 0, m = 2. «−2» işarələri səhv götürəndə (3m + 2 + 4 = 0), «4/3» isə y-in hasilini unudanda alınır.
5. Çətin x − y + 3 = 0 və y − 2 = 0 müstəviləri arasındakı bucağı tapın. Cavab variantları 45° 135° 60° Əla! cos θ = 1/√2. Hasilin modulunu götür və normalların uzunluğunda kökü unutma: |(1; −1; 0)| = √2. Həllə bax n1(1; −1; 0), n2(0; 1; 0). Hasil 0 − 1 + 0 = −1; |n1| = √2, |n2| = 1. cos θ = |−1| / √2 = 1/√2, θ = 45°. 135° modulsuz alınır, 60° isə |n1| = 2 yazanda.
6. Çətin a(2; m; 1) vektoru 3x − 2y + 4z − 5 = 0 müstəvisinə paraleldir. m neçədir? Cavab variantları m = −5 m = 5 m = 1 Düzdür! 6 − 2m + 4 = 0. Vektor müstəviyə paraleldirsə, a · n = 0. Normal (3; −2; 4) — işarələrə diqqət et. Həllə bax a · n = 2 · 3 + m · (−2) + 1 · 4 = 10 − 2m = 0, m = 5. «−5» y-in işarəsini, «1» isə z-in hasilini mənfi götürəndə alınır.

Xülasə

Yadda qalanlar

• n2 = k · n1Normallar kollineardır: müstəvilər paraleldir; d2 = k · d1 olarsa, üst-üstə düşür.
• n1 · n2 = 0Normallar perpendikulyardır: müstəvilər perpendikulyardır.
• cos θ = |n1 · n2| / (|n1| · |n2|)Müstəvilər arasındakı bucaq; modul sayəsində 0°-dən 90°-yə qədər.

Növbəti mövzu: 6.15 Sferanın tənliyi

Mənbə: Riyaziyyat, 11-ci sinif dərsliyi, «Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti», səh. 61: qaydalar, bucaq düsturu, Nümunə a) və b), çalışmalar 12–14; cavablar səh. 313. Açılış, kəşf, Nümunə 3 və 7, Diqqət və Özünü yoxla nümunələri bu dərs üçün tərtib olunub.