Audio dərs · Müddət
14:03
Mətn (transkript)
İynəsiz bir şpris götürün, içinə bir az hava çəkin və ucunu barmağınızla möhkəm bağlayın. Hava içəridə qalıb, çıxmağa yeri yoxdur. İndi porşeni yavaş-yavaş içəri itələyin. Barmağınız dərhal hiss edir ki, hava sıxıldıqca daha güclü itələyir. Havanın temperaturu dəyişmirsə, həcmi iki dəfə azaltdığınız anda təzyiq iki dəfə artır. Həcmi bir də iki dəfə azaldın, təzyiq yenə iki dəfə artacaq. Bəs porşeni lap sona qədər itələyib, havanın həcmini sıfıra endirmək olarmı? Həcm sıfıra nə qədər yaxınlaşsa, təzyiq o qədər böyüyür. Həcm sıfır olsaydı, təzyiq sonsuz böyük olmalı idi. Ona görə ideal qaz üçün həcm heç vaxt sıfıra çatmır. Əksinə, porşeni geri çəksəniz, həcm böyüyür, təzyiq isə azalır və sıfıra yaxınlaşır, amma heç vaxt sıfır olmur. Bu iki «heç vaxt» bugünkü dərsin mərkəzindədir. Dərsliyimiz ideal qaz qanunu ilə bağlı bir tapşırıqda məhz bunu soruşur: həcm sonsuz böyüdükcə təzyiqə nə olur? Biz cavaba rasional funksiyalarla gedəcəyik. Əvvəlcə ən sadə rasional funksiyanı və onun qrafikini sözlə çəkəcəyik. Sonra bu qrafiki yerindən sürüşdürəcəyik. Ardınca istənilən kəsrin asimptotlarını necə tapmağı öyrənəcəyik, sonda isə şprisə qayıdacağıq. Əvvəlcə adı aydınlaşdıraq. Dərsliyə görə, iki çoxhədlinin nisbəti şəklində verilən funksiyaya rasional funksiya deyilir. Yəni bu, surəti də, məxrəci də çoxhədli olan bir kəsrdir. Dinləyərkən izləmək asan olsun deyə, hər kəsri eyni qaydada deyəcəyəm: əvvəlcə surəti, sonra məxrəci və «bölünür» sözünü. Məsələn, «iks üstəgəl bir, iks minus ikiyə bölünür» deyəndə surət iks üstəgəl bir, məxrəc isə iks minus ikidir. Bir şeyi də xatırlayaq: məxrəcin sıfır olduğu nöqtədə kəsrin qiyməti yoxdur, funksiya orada təyin olunmayıb. Dərslik ən sadə rasional funksiya kimi bunu göstərir: igrek bərabərdir ka, iksə bölünür. Burada ka sıfırdan fərqli sabit ədəddir. Bu, tanış tərs mütənasiblikdir: iks iki dəfə artanda igrek iki dəfə azalır. Şprisdəki hava da elə belə davranırdı. Bu funksiyanın qrafiki hiperbola adlanır. Gəlin hiperbolanı sözlə çəkək. Ka müsbət olsun. İks müsbət olanda igrek də müsbətdir, ona görə qrafikin bir hissəsi sağ yuxarı rübdə, yəni birinci rübdə yerləşir. İksi sıfıra doğru kiçiltdikcə məxrəc kiçilir, kəsr isə böyüyür. Qrafik dik yuxarı qalxır və ordinat oxuna getdikcə daha çox yaxınlaşır, amma ona toxunmur. İksi böyütdükcə isə kəsr kiçilir. Qrafik aşağı enir və absis oxuna sonsuz yaxınlaşır, yenə də ona toxunmur. İks mənfi olanda igrek də mənfidir. Orada, sol aşağı rübdə, yəni üçüncü rübdə, eyni əyri koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik şəkildə təkrarlanır. Bu iki hissəyə hiperbolanın budaqları deyilir. Ka mənfi olsa, budaqlar o biri iki rübə, ikinci və dördüncü rübə keçir. Qrafikin sonsuz yaxınlaşdığı bu düz xətlərə asimptot deyilir. Ordinat oxu, yəni iks bərabərdir sıfır düz xətti, hiperbolanın şaquli asimptotudur. Absis oxu, yəni igrek bərabərdir sıfır düz xətti, onun üfüqi asimptotudur. Asimptotlar qrafikin özü deyil, amma onun hara getdiyini göstərir. Bunu yadda saxlayın, çünki dərsin qalan hissəsi asimptot axtarmaqdır. İndi hiperbolanı yerindən tərpədək. Dərslik deyir ki, hiperbolanı paralel köçürəndə koordinat başlanğıcının yerini yeni bir nöqtə tutur, asimptotlar da onunla birlikdə sürüşür. Yəni yeni şaquli asimptot həmin nöqtədən keçən şaquli düz xətt, yeni üfüqi asimptot isə həmin nöqtədən keçən üfüqi düz xətt olur. Bir nümunə götürək: iki, iksə bölünür. Məxrəcdə iksin yerinə iks minus üç yazaq: iki, iks minus üçə bölünür. İndi məxrəc iks üçə bərabər olanda sıfıra çevrilir. Deməli, şaquli asimptot üç vahid sağa keçib: iks bərabərdir üç düz xətti. Diqqət edin: məxrəcdəki «minus üç» qrafiki sola yox, sağa aparır. Sonra bütün kəsrin üstünə bir əlavə edək. Qrafik bir vahid yuxarı qalxır və üfüqi asimptot igrek bərabərdir bir düz xətti olur. Hiperbolanın yeni mərkəzi asimptotların kəsişdiyi nöqtədir: absisi üç, ordinatı bir. Dərslikdəki birinci nümunə bu fikri tərsinə işlədir. Funksiya belədir: iki iks minus bir, iks minus birə bölünür. İlk baxışda hiperbolaya oxşamır. Amma surəti məxrəcə bölsək, funksiya iki üstəgəl bir kəsr şəklinə düşür, həmin kəsr isə belədir: bir, iks minus birə bölünür. Deməli, bu, sadəcə bir, iksə bölünür hiperbolasıdır, bir vahid sağa və iki vahid yuxarı köçürülüb. Şaquli asimptotu iks bərabərdir bir, üfüqi asimptotu isə igrek bərabərdir iki düz xəttidir. Qrafik oxları harada kəsir? İks sıfır olanda surət mənfi bir, məxrəc də mənfi birdir, kəsr isə bir edir. Qrafik ordinat oxunu birə bərabər nöqtədə kəsir. Surət sıfır olanda kəsr də sıfırdır. İki iks minus bir sıfırdırsa, iks yarıma bərabərdir. Qrafik absis oxunu yarıma bərabər nöqtədə kəsir. Bu iki nöqtə şaquli asimptotun solundakı budağın üzərindədir. Həmin budaq şaquli asimptota yaxınlaşdıqca aşağı enir, sola getdikcə isə ikiyə bərabər üfüqi asimptota aşağıdan yaxınlaşır. Sağdakı budaq isə hər yerdə ikidən yuxarıdadır. Dərslik xüsusi qeyd edir: iki budaq, absisi bir, ordinatı iki olan nöqtəyə nəzərən simmetrikdir. Hər rasional funksiya belə asanlıqla hiperbolaya çevrilmir. Ona görə dərslik ümumi bir plan verir: qrafiki qurmaq üçün əvvəlcə onun koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini, əgər varsa, və asimptotlarını tapmaq lazımdır. Şaquli asimptotdan başlayaq. Qayda belədir: məxrəc hansı nöqtədə sıfıra çevrilirsə və surət orada sıfırdan fərqlidirsə, həmin nöqtədən keçən şaquli düz xətt asimptotdur. Səbəbini hiss etmək asandır: sıfıra çox yaxın ədədə bölmək kəsri modulca çox böyüdür. Şprisdə də həcm sıfıra yaxınlaşanda təzyiq məhz belə qalxırdı. Üfüqi asimptot isə uzaqda, iks modulca çox böyük olanda, qrafikin hansı səviyyəyə yaxınlaşdığını göstərir. Burada həlledici olan surətin və məxrəcin dərəcələridir, çünki iks çox böyük olanda hər çoxhədlidə ən böyük dərəcəli hədd qalanlarını üstələyir. Üç hal var. Surətin dərəcəsi məxrəcinkindən kiçikdirsə, üfüqi asimptot igrek bərabərdir sıfır düz xəttidir. Dərəcələr bərabərdirsə, üfüqi asimptot baş əmsalların nisbətidir: surətin baş əmsalı, məxrəcin baş əmsalına bölünür. Surətin dərəcəsi məxrəcinkindən böyükdürsə, üfüqi asimptot yoxdur. Dərslikdəki tapşırıqlardan iki nümunəyə baxaq. Birincisi: iks kvadrat, iks kvadrat üstəgəl birə bölünür. Dərəcələr bərabərdir, ikisi də ikidir. Baş əmsallar da birdir, deməli, üfüqi asimptot igrek bərabərdir bir düz xəttidir. Dərsliyin cavabı da budur. Şaquli asimptot isə burada yoxdur, çünki iks kvadrat üstəgəl bir heç vaxt sıfır olmur. İkinci nümunə: iki iks, iks kvadrat minus birə bölünür. Surətin dərəcəsi bir, məxrəcinki isə ikidir. Deməli, üfüqi asimptot igrek bərabərdir sıfırdır. Məxrəc iks bir olanda da, iks mənfi bir olanda da sıfıra çevrilir, surət isə bu nöqtələrdə sıfır deyil. Ona görə iki şaquli asimptot var: iks bərabərdir bir və iks bərabərdir mənfi bir. Dərsliyin cavabı da məhz belədir. Bu nümunədə maraqlı bir detal var. İks sıfır olanda funksiya da sıfırdır, yəni qrafik koordinat başlanğıcından keçir və öz üfüqi asimptotunu kəsir. Bu, səhv deyil. Üfüqi asimptot qrafikin ortada nə etdiyini yox, uzaqda hara yaxınlaşdığını göstərir. Bəs surətin dərəcəsi böyük olanda nə olur? Üfüqi asimptot yoxdur, amma qrafik yenə də istiqamətsiz qalmır. Dərslik bir xüsusi halı izah edir: surətin dərəcəsi məxrəcin dərəcəsindən düz bir vahid böyük olanda. Onda surəti məxrəcə böləndə qismət xətti funksiya olur, yəni maili bir düz xətt. İks modulca böyüdükcə qrafik bu düz xəttə sonsuz yaxınlaşır. Belə düz xəttə maili asimptot deyilir. Dərsliyin ikinci nümunəsi belədir: iks kvadrat minus dörd, iks minus birə bölünür. Surətin dərəcəsi iki, məxrəcinki birdir, fərq düz birdir. Bölməni aparanda funksiya belə yazılır: iks üstəgəl bir, çıxılsın bir kəsr, həmin kəsr isə belədir: üç, iks minus birə bölünür. İks modulca çox böyük olanda bu kəsr sıfıra yaxınlaşır və qrafik igrek bərabərdir iks üstəgəl bir düz xəttinə sonsuz yaxınlaşır. Bu, maili asimptotdur. Şaquli asimptot isə iks bərabərdir bir düz xəttidir: orada məxrəc sıfırdır, surət isə mənfi üçdür. İndi bu qrafiki təsəvvür edək. Maili asimptot hər vahid sağa getdikcə bir vahid qalxan düz xəttdir və ordinat oxunu birə bərabər nöqtədə kəsir. Şaquli asimptotun solunda qrafik aşağıdan, maili xəttin yanından gəlir. O, absis oxunu mənfi ikidə, ordinat oxunu isə dördə bərabər nöqtədə kəsir və şaquli asimptota yaxınlaşdıqca dik yuxarı qalxır. Şaquli asimptotun sağında isə qrafik aşağıdan başlayır, absis oxunu ikidə kəsir və yuxarı qalxaraq yenə maili xəttə yaxınlaşır. Dərslik qrafik qurmağın ardıcıllığını da göstərir: əvvəlcə oxlarla kəsişmə nöqtələri, sonra şaquli asimptotlar, sonra üfüqi və ya maili asimptot, ardınca şaquli asimptotun solunda və sağında bir neçə nöqtədə qiymətlər, və nəhayət, asimptotlara yaxınlaşan budaqlar. Bir tapşırığı özünüz yoxlayın: iki iks kvadrat üstəgəl iks üstəgəl iki, iks üstəgəl birə bölünür. Dərsliyin cavabına görə, şaquli asimptot iks bərabərdir mənfi bir, maili asimptot isə igrek bərabərdir iki iks minus bir düz xəttidir. İndi şprisə qayıdaq. Dərslikdə ideal qaz qanunu qısa bir bərabərliklə yazılıb: təzyiqlə həcmin hasili qazın mollar sayının, universal sabitin və temperaturun hasilinə bərabərdir. Temperatur dəyişmirsə, bu hasil sabit müsbət ədəddir. Deməli, təzyiq bərabərdir həmin sabit ədəd, həcmə bölünür. Bu, dərsin əvvəlindəki igrek bərabərdir ka, iksə bölünür funksiyasıdır: igrekin yerində təzyiq, iksin yerində həcm, ka isə müsbətdir. Həcm yalnız müsbət ola bilər, ona görə hiperbolanın yalnız birinci rübdəki budağı qalır. Onun şaquli asimptotu həcm bərabərdir sıfır düz xəttidir: həcm sıfıra yaxınlaşdıqca təzyiq hədsiz böyüyür. Ona görə porşen həcmi heç vaxt sıfıra endirə bilmir. Üfüqi asimptotu isə təzyiq bərabərdir sıfır düz xəttidir: həcm sonsuz böyüdükcə təzyiq azalır və sıfıra yaxınlaşır, amma heç vaxt sıfır olmur. Dərsliyin cavablarında bu tapşırığın cavabı verilməyib, amma indi onu özümüz deyə bilərik. Dərsin əvvəlindəki iki «heç vaxt» bu hiperbolanın iki asimptotudur. Gəlin əsas fikri bir daha deyək. Rasional funksiya iki çoxhədlinin nisbətidir və onun qrafikini asimptotlar istiqamətləndirir. Məxrəcin sıfır, surətin isə sıfırdan fərqli olduğu yerdə şaquli asimptot var. Uzaqda qrafikin hara yaxınlaşdığını dərəcələr deyir: üfüqi asimptot ya var, ya yoxdur, surətin dərəcəsi düz bir vahid böyük olanda isə qrafik maili asimptota yaxınlaşır. Addım-addım həlləri və qrafikləri yazılı dərsimizdə tapa bilərsiniz.