Rasional funksiya

• 6.8
• 11-ci sinif
• Çoxhədlilər

Rasional funksiya

y = 2x − 2x + 2 / funksiyasının qrafiki iki qırıq düz xəttə sonsuz yaxınlaşır, amma onları heç vaxt kəsmir. Bu xətləri — asimptotları — tapsan, qrafikin skeleti hazırdır.

Bu dərsdə

• rasional funksiyanı tanıyacaq, y = k/x hiperbolasının budaqlarını və asimptotlarını izah edəcəksən;
• y = k/(x − m) + n qrafikini y = k/x-in paralel köçürülməsi ilə quracaqsan;
• şaquli, üfüqi və maili asimptotları tapıb funksiyanın qrafikini sxematik çəkəcəksən.

y = (2x − 2)/(x + 2) funksiyasının qrafiki və asimptotları

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Hiperbola
3. Köçürmə
4. Hesabla
5. Asimptotlar
6. Nümunələr
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Sıfıra bölmək olmaz. Bəs sıfıra yaxın ədədə?

y = 4x / funksiyasına baxaq. x = 0 olanda kəsrin məxrəci sıfırdır, ona görə bu nöqtədə funksiya təyin olunmayıb. Bəs x sıfıra yaxınlaşanda, ya da çox böyüyəndə nə baş verir?

y = 4/x funksiyasının qiymətləri

x sıfıra yaxınlaşdıqca |y| sonsuz böyüyür: qrafikin nöqtələri y oxuna, yəni x = 0 düz xəttinə sonsuz yaxınlaşır. x modulca böyüdükcə y sıfıra yaxınlaşır: nöqtələr x oxuna, yəni y = 0 düz xəttinə yaxınlaşır. Amma 4/x heç vaxt 0 olmur və x = 0-da qiyməti yoxdur — qrafik bu xətlərə çatmır.

k-nı seç: y = k/x

k = 1 k = 4 k = −4

y = k/x hiperbolası k = 1, 4 və −4 üçün

k = 1: budaqlar I və III rübdədir, (1; 1), (2; 0,5), (0,5; 2) nöqtələrindən keçir. Hər nöqtədə x · y = 1.

k = 4: budaqlar yenə I və III rübdədir, amma koordinat başlanğıcından daha uzaqdadır: (1; 4), (2; 2), (4; 1). Hər nöqtədə x · y = 4.

k = −4: budaqlar II və IV rübə keçir: (1; −4), (2; −2), (−1; 4). k-nın işarəsi dəyişəndə qrafik x oxuna nəzərən əks olunur.

Hansı k-nı seçsən də, qırmızı qırıq xətlər — koordinat oxları — dəyişmir: budaqlar onlara sonsuz yaxınlaşır.

2 · Qayda

Rasional funksiya və hiperbola

Yadda saxla

İki çoxhədlinin nisbəti şəklində göstərilən funksiyaya rasional funksiya deyilir:

f(x) = P(x)Q(x) /

Burada P — surətdəki, Q — məxrəcdəki çoxhədlidir. Ən sadə nümunə y = kx / (k ≠ 0) funksiyasıdır; onun qrafiki hiperbola adlanır.

x = 0 düz xətti hiperbolanın şaquli asimptotu, y = 0 düz xətti isə onun üfüqi asimptotudur: hiperbolanın budaqları bu xətlərə sonsuz yaxınlaşır.

Məxrəcin sıfırı

Q(a) = 0

Məxrəc sıfır olan nöqtədə funksiya təyin olunmayıb — qrafikin orada nöqtəsi yoxdur.

k-nın işarəsi

k > 0: I, III · k < 0: II, IV

Budaqların hansı rüblərdə olduğunu k-nın işarəsi deyir.

3 · Qayda

Hiperbolanı sürüşdürək

Qrafikləri paralel köçürməyi bilirsən. Hiperbolanı da köçürmək olar — asimptotları ilə birlikdə.

Yadda saxla

y = kx / hiperbolasını ⟨m; n⟩ vektoru ilə paralel köçürəndə bu funksiyanın qrafiki alınır:

y = kx − m / + n

Koordinat başlanğıcı (m; n) nöqtəsinə keçir; yeni hiperbolanın şaquli asimptotu x = m, üfüqi asimptotu y = n düz xəttidir.

y = 3/x hiperbolasının ⟨2; 1⟩ vektoru ilə köçürülməsi

Başla Yenidən Yenidən

Boz: y = 3/x. Mavi: y = 3/(x − 2) + 1. Hər nöqtə 2 vahid sağa, 1 vahid yuxarı köçür; asimptotlar x = 0, y = 0 olmaqdan çıxıb x = 2, y = 1 olur.

Mötərizədəki işarə

x + 3 = x − (−3)

y = 2/(x + 3) üçün m = −3: hiperbola 3 vahid sola köçür, şaquli asimptot x = −3-dür.

Mərkəz

(m; n)

Budaqlar asimptotların kəsişdiyi (m; n) nöqtəsinə nəzərən simmetrikdir — y = k/x-in budaqları O nöqtəsinə nəzərən simmetrik olduğu kimi.

4 · Hesabla

Skeletdən qrafikə

Rasional funksiyanın qrafikini qurmaq üçün dərslikdəki ardıcıllıq dörd addımdır:

1. Kəsişmə nöqtələri. Qrafikin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini (əgər varsa) tap.
2. Asimptotlar. Şaquli asimptotları, sonra üfüqi və ya maili asimptotu tap.
3. Qiymətlər cədvəli. Şaquli asimptotun solunda və sağında bir neçə nöqtə hesabla.
4. Budaqlar. Nöqtələri qeyd et və budaqları asimptotlara yaxınlaşdıraraq çək.

Nümunə 1Hero funksiyasını quraq

y = 2x − 2x + 2 / funksiyasının asimptotlarını tapın və qrafikini qurun.

1. Ox ilə: 2x − 2 = 0 ⇒ x = 1, nöqtə (1; 0). x = 0 olanda y = −2 : 2 = −1, nöqtə (0; −1).
2. Surəti məxrəcə bölək: 2x − 2 = 2(x + 2) − 6. Deməli, y = 2 − 6x + 2 / = −6x + 2 / + 2. Bu, y = −6/x hiperbolasının ⟨−2; 2⟩ vektoru ilə köçürülməsidir.
3. Asimptotlar: x = −2 (məxrəc sıfırdır, surət −6 ≠ 0) və y = 2. k = −6 < 0, ona görə budaqlar mərkəzdən yuxarı solda və aşağı sağdadır.
4. Cədvəl — şaquli asimptotun hər iki tərəfində: x −8 −5 −4 −3 −1 0 1 4 y 3 4 5 8 −4 −1 0 1 x = −2 və y = 2 asimptotlardır

Nümunə 1: y = (2x − 2)/(x + 2) qrafiki cədvəl nöqtələri ilə

Cədvəlin nöqtələri (mavi), oxlarla kəsişmələr (lime) və mərkəz (−2; 2) (narıncı). Sol budaq y = 2-dən həmişə yuxarıda, sağ budaq həmişə aşağıdadır: 6/(x + 2) heç vaxt sıfır olmur, ona görə y = 2 qiyməti alınmır.

5 · Qayda

Asimptotlar ümumi halda

Hər rasional funksiyanı köçürülmüş hiperbola kimi yazmaq olmur. Amma asimptotları birbaşa düsturdan tapmaq olar. f(x) = P(x)/Q(x) üçün P-nin dərəcəsini m, Q-nun dərəcəsini n, baş əmsallarını am və bn ilə işarə edək.

Yadda saxla

Şaquli asimptot: ifadə x = a nöqtəsində məxrəci sıfıra çevrilən, surəti isə sıfırdan fərqli kəsr şəklindədirsə, x = a düz xətti şaquli asimptotdur.

Üfüqi asimptot dərəcələrdən asılıdır:

• m < n olarsa, y = 0 düz xətti üfüqi asimptotdur;
• m = n olarsa, y = ambn / düz xətti üfüqi asimptotdur;
• m > n olarsa, üfüqi asimptot yoxdur.

Maili asimptot: m = n + 1 olduqda P-ni Q-ya bölməkdən alınan qismət xətti funksiyadır, y = ax + b. x-in modulca böyük qiymətlərində qrafik bu düz xəttə sonsuz yaxınlaşır; y = ax + b maili asimptotdur.

Niyə belədir? Bölmə kəsri «qismət + qalıq kəsri» şəklinə salır, məsələn 3xx − 1 / = 3 + 3x − 1 / . Qalığın dərəcəsi məxrəcinkindən kiçikdir, ona görə x modulca böyüdükcə qalıq kəsri modulca kiçilir və sıfıra yaxınlaşır. Qrafik qismətə yaxınlaşır: qismət ədəddirsə — üfüqi, xətti funksiyadırsa — maili asimptot alınır. m < n olanda qismət 0-dır.

m < n · y = 0

m < n: y = 8/(x² + 4)

y = 8/(x² + 4): m = 0, n = 2. Məxrəc heç vaxt sıfır olmur — şaquli asimptot yoxdur.

m = n · y = 3/1

m = n: y = 3x/(x − 1)

y = 3x/(x − 1): m = n = 1, üfüqi y = 3; şaquli x = 1.

m = n + 1 · y = x

m = n + 1: y = (x² + 1)/x

y = (x² + 1)/x = x + 1/x: üfüqi asimptot yoxdur, maili y = x; şaquli x = 0.

6 · Hesabla

İki şaquli və bir maili asimptot

Nümunə 2m = n

y = 2x² + 2x² − 4 / funksiyasının asimptotlarını tapın və qrafikini sxematik təsvir edin.

1. Şaquli: x² − 4 = 0 ⇒ x = −2, x = 2. Bu nöqtələrdə surət 2 · 4 + 2 = 10 ≠ 0, deməli, x = −2 və x = 2 şaquli asimptotlardır.
2. Üfüqi: m = n = 2, baş əmsallar 2 və 1 ⇒ y = 2 : 1 = 2.
3. Ox ilə: 2x² + 2 > 0, ona görə qrafik x oxunu kəsmir. x = 0 olanda y = 2 : (−4) = −0,5, nöqtə (0; −0,5).
4. Cədvəl. x-in yerinə −x yazanda qiymət dəyişmir, ona görə müsbət x kifayətdir: x ±1 ±2,5 ±3 ±4 y ≈ −1,33 ≈ 6,44 4 ≈ 2,83 x = −2, x = 2, y = 2; üç budaq

Nümunə 2: y = (2x² + 2)/(x² − 4) qrafiki

Kənar budaqlar y = 2-dən yuxarıdadır və ona yuxarıdan yaxınlaşır; orta budaq iki şaquli asimptot arasında aşağıya açılır.

Nümunə 3m = n + 1

y = x² − 5x + 4x − 2 / funksiyasının asimptotlarını tapın və qrafikini sxematik təsvir edin.

1. Ox ilə: x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4) = 0 ⇒ (1; 0), (4; 0). x = 0 olanda y = 4 : (−2) = −2 ⇒ (0; −2).
2. Şaquli: x = 2-də məxrəc sıfırdır, surət 4 − 10 + 4 = −2 ≠ 0 ⇒ x = 2.
3. m = 2 > n = 1, üfüqi asimptot yoxdur. m = n + 1, ona görə bölürük (Hörner sxemi, x = 2): əmsallar 1 −5 4 x = 2 1 −3 −2 Qismət x − 3, qalıq −2: y = x − 3 − 2x − 2 / . Maili asimptot y = x − 3.
4. Cədvəl: x −2 0 1 1,5 3 4 6 y −4,5 −2 0 2,5 −2 0 2,5 x < 2 olanda −2/(x − 2) > 0, ona görə sol budaq maili asimptotdan yuxarıdadır; x > 2 olanda aşağıdadır. x = 2 şaquli, y = x − 3 maili asimptotdur

Nümunə 3: y = (x² − 5x + 4)/(x − 2) qrafikinin qurulması

Başla Yenidən Yenidən

Addımların sırası ilə: kəsişmə nöqtələri (lime), asimptotlar (qırmızı), cədvəl nöqtələri (mavi), sonda budaqlar.

7 · Diqqət

İki tipik səhv

Səhv

y = 5/(x + 3) − 1 ⇒ x = 3

Mötərizədəki «+3» sağa köçürmə demək deyil.

Düzgün

x + 3 = 0 ⇒ x = −3

Şaquli asimptot məxrəcin sıfırıdır: x − (−3), yəni m = −3, hiperbola sola köçür.

Səhv

y = 2/(−4) = −0,5

(2x² + 2)/(x² − 4) üçün sərbəst hədləri bölmək f(0) = −0,5-i verir — bu, y oxu ilə kəsişmədir, asimptot deyil.

Düzgün

m = n ⇒ y = 2/1 = 2

Üfüqi asimptotu baş əmsallar verir, çünki x böyük olanda kəsri ən yüksək dərəcəli hədlər idarə edir.

8 · Həyatda

Qazı sıxanda təzyiq necə dəyişir?

İdeal qaz qanununa görə təzyiq P, həcm V və temperatur T arasında PV = nRT münasibəti doğrudur; n — qazın mol sayı, R — universal sabitdir. Bu, dərslikdəki 6-cı tapşırığın mövzusudur.

Temperatur sabit olsa, c = nRT sabit müsbət ədəddir və P = cV / . Bu, k = c > 0 olan y = k/x funksiyasıdır.

• Həcm yalnız müsbətdir, ona görə qrafik I rübdəki bir budaqdır.
• Asimptotlar V = 0 və P = 0 düz xətləridir.
• PV sabit olduğundan həcm 2 dəfə artanda təzyiq 2 dəfə azalır: V₀, 2V₀, 4V₀ ⇒ P₀, P₀/2, P₀/4.
• Həcm sonsuz böyüdükcə təzyiq azalır və sıfıra sonsuz yaxınlaşır, amma sıfır olmur.

Sabit temperaturda ideal qazın təzyiqi P-nin həcm V-dən asılılığı

Sabit temperaturda P(V) qrafiki. İdeal qaz real qazın sadələşdirilmiş modelidir.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan y = 5x − 4 / + 1 funksiyasının asimptotları hansılardır? Cavab variantları x = −4, y = 1 x = 4, y = 1 x = 4, y = 5 x = 1, y = 4 Düzdür! m = 4, n = 1. Yox. y = k/(x − m) + n şəklində m = 4, n = 1; k = 5 asimptotu dəyişmir. Həllə bax Funksiya y = 5/x-in ⟨4; 1⟩ vektoru ilə köçürülməsidir. Şaquli asimptot x = 4 (məxrəc sıfır), üfüqi asimptot y = 1.
2. Asan y = −6x / hiperbolasının budaqları hansı rüblərdədir? Cavab variantları I və III II və IV I və II III və IV Əla! k < 0 olduğu üçün II və IV rüb. k-nın işarəsinə bax: x > 0 olanda y = −6/x mənfidir. Həllə bax x > 0 olanda y < 0 (IV rüb), x < 0 olanda y > 0 (II rüb). Budaqlar x oxunun hər iki tərəfindədir, ona görə «I və II» və ya «III və IV» ola bilməz.
3. Orta y = 5x − 2x²4x² + 1 / funksiyasının üfüqi asimptotu hansıdır? Cavab variantları y = 1,25 y = 0 y = −0,5 y = −2 Düzdür! Baş əmsallar −2 və 4. Yox. Baş hədd ən yüksək dərəcəli həddir, birinci yazılan yox: surətdə −2x², məxrəcdə 4x². Həllə bax m = n = 2. Surətin baş əmsalı −2 (5x yox), məxrəcinki 4. y = −2 : 4 = −0,5. y = 1,25 ilk yazılan əmsalları (5 və 4) bölməkdən, y = −2 məxrəci unutmaqdan, y = 0 isə m < n sanmaqdan alınır.
4. Orta y = x − 1x² − 4x / funksiyasının şaquli asimptotları hansılardır? Cavab variantları yalnız x = 4 x = 1 x = −4 və x = 0 x = 0 və x = 4 Düzdür! Məxrəcin iki sıfırı var, surət orada sıfır deyil. Məxrəci vuruqlara ayır: x² − 4x = x(x − 4). Şaquli asimptot məxrəcin sıfırındadır, surətin yox. Həllə bax x(x − 4) = 0 ⇒ x = 0 və x = 4. Surət x − 1 bu nöqtələrdə −1 və 3-dür, sıfırdan fərqlidir. Deməli, x = 0 və x = 4 şaquli asimptotlardır. x = 1 surətin sıfırıdır — orada qrafik x oxunu kəsir.
5. Çətin y = 3x² + x − 1x + 1 / funksiyasının maili asimptotu hansıdır? Cavab variantları y = 3x − 2 y = 3x y = 3x + 2 y = 3 Əla! Qismət 3x − 2, qalıq 1. Surəti məxrəcə tam böl: qismətin hər iki həddi lazımdır, çıxmada işarələrə diqqət et. Həllə bax m = 2 = n + 1. Hörner sxemi (x = −1): əmsallar 3, 1, −1 ⇒ 3, −2, 1. Qismət 3x − 2, qalıq 1: y = 3x − 2 + 1/(x + 1). Yoxlama: (x + 1)(3x − 2) + 1 = 3x² + x − 1. Maili asimptot y = 3x − 2.
6. Çətin y = 4x / hiperbolasını hansı vektorla köçürsək, y = 4x + 3 / − 2 qrafiki alınar? Cavab variantları ⟨3; −2⟩ ⟨−3; 2⟩ ⟨−3; −2⟩ ⟨3; 2⟩ Düzdür! Mərkəz (−3; −2)-yə keçir. y = 4/(x − m) + n ilə müqayisə et: x + 3 = x − (−3), «− 2» isə n = −2 deməkdir. Həllə bax x + 3 = x − (−3) ⇒ m = −3; −2 ⇒ n = −2. Vektor ⟨−3; −2⟩: 3 vahid sola, 2 vahid aşağı. Asimptotlar x = −3 və y = −2.

Xülasə

Yadda qalanlar

• Asimptotlar — skeletKəsişmə nöqtələri, asimptotlar və asimptotun hər iki tərəfində bir neçə qiymət sxematik qrafik üçün kifayətdir.
• y = k/(x − m) + ny = k/x-in ⟨m; n⟩ köçürülməsi: asimptotlar x = m, y = n; k-nın işarəsi budaqların yerini deyir.
• m < n, m = n, m = n + 1Üfüqi y = 0 və ya y = am/bn; m = n + 1 olanda bölmənin qisməti maili asimptotdur.

Növbəti mövzu: 6.9 Fəzada Dekart koordinat sistemi

Mənbə: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, «Rasional funksiya», səh. 29–31 (tərif, hiperbola və asimptotlar, paralel köçürmə, asimptot qaydaları, 6-cı tapşırıq — ideal qaz qanunu). Nümunələrdəki və suallardakı funksiyalar bu dərs üçün seçilib.